книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

ставляет максимум функции Лагранжа (4.28) при некоторых зна­ чениях множителей Лагранжа.

Пусть TJ ( X ) и т2 (У) — статистики, на которых можно пост­ роить окончательное правило процедуры s°, a x„ (X) — статистика, на которой можно осуществить построение промежуточного пра­ вила s°.

Статистики (X) и т° (У) обычно легко определяются из выра­ жения, связывающего суммарное отношение правдоподобия I с

(4.36)) может быть представлена как функция от ярп и тг2 и, следо­ вательно, оптимальное промежуточное правило может быть по­ строено на статистике т° = ярп (X) .

Рассмотрим часто встречающийся случай, когда выборки X и У статистически независимы при обеих гипотезах. Как известно, при этом Z (X, У) = Zj (X) 12 (У). Оптимальное окончательное пра­ вило может быть построено на статистиках хі — Іг (X) и т2 = Z2 (У). Кроме того, функция а (X, п2) может быть представлена как функция от Zx (см. разд. 4.6). Следовательно, функция А (X, ?г2) (см. (4.36)) также может быть представлена в виде функции от 1Х. Далее, значение тг2, при котором функция А (X, п2) достигает мак­ симума, зависит от Zj, и, следовательно, оптимальное промежуточ­ ное правило может быть построено на статистике Тц = Zx (X) .

Рассмотрим случай, когда выборки зависимы при одной гипо­ тезе, а при другой независимы. Тогда статистику TJ (X) = яр] (X) можно использовать для построения не только оптимального

Ш

окончательного правила, но и оптимального промежуточного пра­

допущениях, как видно из (4.54), оптимальное промежуточное правило может быть построено на статистике т? (X) — ipx (X).

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Э. Леман. Проверка статистических гипотез. М., «Наука», 1964.

2.Б. Л. Ван-дер-Варден. Математическая статистика. М., ИЛ, 1960.

Г л а в а 5

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНЫХ ДВУХСТУПЕНЧАТЫХ ПРОЦЕДУР

5.1. Общие положения

В этой главе мы рассмотрим методы расчета оптимальных двух­ ступенчатых процедур, предназначенных для проверки двух ги­ потез. Эти методы будут даны применительно к процедурам детер­ минированного типа с постоянным или переменным объемом вто­ рой выборки, поскольку они представляют наибольший интерес для практики.

Как мы уже отмечали, для того чтобы построить оптимальную процедуру, нужно выбрать некоторое, количество показателей и решить условно-экстремальную задачу: найти экстремум одного показателя, когда другие удовлетворяют заданным ограничениям.

объема выборки, которые мы рассматривали в главах 3 и 4. На практике могут встретиться случаи, когда эти моменты необходимо принимать в расчет. В связи с этим может оказаться полезной следующая задача (методику решения которой мы приведем в кон­

Обычно процедуры строят на некоторых статистиках тх (X) и т2 (У).

Иногда статистики тх (X) и т2 (У) постулируют (см., например, разд. 6.5). В этом случае для построения двухступенчатой про­ цедуры в качестве исходных данных должны быть заданы совмест­ ные распределения статистик Р0 (тх , т2 ) и Р х (т, т2 ) или / 0 (тх , т2 ) и Л fa, т2 ).

Часто оказывается возможным определить статистики т° (X) и т2 (У), на которых можно построить оптимальную двухступенча­ тую процедуру.

В главах 6 и 7 мы будем решать задачи вида (5.1) при условии, что выборочные величины X = (жх,...,.т„,) и У = (?/і,...,?у„г) ста­ тистически независимы, когда верна гипотеза Нп. В задачах такого типа, чтобы определить статистики тх {X) и т2 (У), следует про­ анализировать отношение заданных распределений (суммарное от­ ношение правдоподобия)

1 ( Х , У ) = £

если наблюдаемые величины дискретны, или

где Х А , ХІ, Х\ — множители Лагранжа.

Варьируя эти множители, мы можем максимизировать L (s, к)

ипроизвести расчет оптимальной двухступенчатой процедуры.

Впроцессе расчета процедур с постоянным объемом второй выборки должны быть определены:

При расчете процедур с переменным объемом второй выборки должны быть определены:

— объем первой выборки /гх;

—оптимальное промежуточное правило /г2 (X);

—оптимальное окончательное правило.

Оптимальное окончательное правило во всех случаях может быть определено в следующем виде. Пусть в процессе эксперимента

Такой же вид имеет окончательное правило, когда процедура строится па постулированных статистиках. В этом случае следует только вместо I (X, Y) взять отношение распределений статистик

Л (Ті, т2 )/^о ( f i , т2 ) и л и к fa, Та )//о fa, т2).

Заметим, что вычисление функции I (X, Y) во многих случаях затруднительно. Поэтому обычно стремятся представить оконча­ тельное правило в другой более удобной форме. Для этого преоб­ разуют неравенства I (X, Y) <[ \„ и I {X, У) ^> Ка и заменяют их более простыми соотношениями. Например, в задаче контроля доли дефектных изделий в партии продукции (см. главу 6) эти неравен­ ства приобретают вид dx -f- d2 <^ с3 и dx -f- d2 ^> с3, где число dx — число дефектных изделий в первой выборке, d2 — число дефектных изделий во второй выборке, с3 — некоторая постоянная.

Методы расчета оптимальных промежуточных правил более сложны, чем методы расчета окончательных правил, и им будут специально посвящены разд. 5.2 и 5.3. В одном из этих методов, графоаналитическом, в качестве исходных данных используются рабочие характеристики второй ступени эксперимента (см. главу 3),

мы не будем рассматривать методические вопросы, связанные с построением рабочих характеристик. Эти вопросы изложены, на­ пример, в [1]. Укажем лишь, что рабочие характеристики строятся на плоскости осу О зту для каждого значения объема второй выбор­

У:13 (У|Х)>Хв /І,(Х)

апо оси О Лу — величина

Графоаналитический метод, который будет изложен ниже, соб­ ственно и заключается в поиске максимума функции А (X, п2) по п2. При применении этого метода наряду с вычислениями по формулам производятся графические построения. Правила этих построений достаточно формализованы, так что метод без особого труда может быть реализован на электронных вычислительных машинах, и в этом случае его можно рассматривать как численный метод.

Рис. 19 Рис. 20

В разд. 4.5 были приведены свойства функции а (X, п2) и, в частности, показана связь этой функции с рабочими характеристи­ ками второй ступени. Функция а {X, По) может быть определена графически с помощью этих рабочих характеристик. В виде при­ мера на рис. 19 изображено качественно семейство рабочих харак­ теристик для случая, когда наблюдаемые величины во второй вы­ борке Y являются дискретными. Рабочие характеристики в этом случае представляют собой последовательности точек, которые строятся для каждого значения п2.

Заметим, что в общем случае семейства рабочих характеристик при различньїхїХ получаются различными.

Для того чтобы графическим путем определить значение функ­ ции а (X, По) для некоторых X и п2, следует сначала вычислить отношение правдоподобия ^, а затем на графике рабочей характе­ ристики, соответствующей данным X и п2, провести прямую под

%

хотя бы через одну точку рабочей характеристики и в то же время

ни одна точка рабочей характеристики не должна быть расположе­ на выше прямой. Этому требованию удовлетворяют, например, прямая F K и рабочая характеристика Н на рис. 19.

После того как указанная наклонная прямая построена, не­ трудно определить искомое значение функции а (X, п2): оно равно ординате точки пересечения наклонной прямой и оси ординат.

Построение оптимального промежуточного правила п2 (X) производится следующим образом. Производят перебор значений

собой последовательность точек, определенных только для целых значений п2. Однако, учитывая, что величина п2 имеет обычно достаточно большое количество значений, можно функцию а {Х,п2)

сколько изменяется, они имеют небольшую «волнистость». Под­ робно этот вопрос будет рассмотрен в главе 6.

абсцисс Оп2, причем любая точка прямой должна быть расположена не ниже кривой а (X, ?г2) и в то же время прямая и кривая должны иметь хотя бы одну общую точку. Абсциссы точек совпадения определяют искомые значения п2.

Количество точек совпадения может быть различным. Допустим сначала, что имеется только одна точка совпадения. При этом бу­ дем различать три случая.

1. Наклонная прямая и кривая а (X, п2) касаются друг друга в некоторой точке F с координатами /г2 = /г° ^> 0, а ^> 0 (прямая НК на рис. 20). В этом случае рассматриваемое значение X следует отнести к области продолжения испытаний, а объем второй выбор­

рая ступень эксперимента не должна проводиться; сразу же после первой ступени должна быть принята гипотеза Нй.

3. Наклонная прямая (например, прямая E D ) совпадает с кри­ вой а (X, п2) в точке п2 — 0, а ]> 0. Вторая ступень в этом случае также не должна проводиться; сразу после первой ступени при­ нимается гипотеза Нг.

Если при некотором X число точек совпадения равно двум или более, то, как было указано в разд. 4.6, оптимальная функция По, (X) получается неоднозначной. Мы имеем при этом две или более оптимальных стратегии поведения. Пусть, например, прямая E R совпадает с кривой а (X, п2) в двух точках; абсциссы этих точек равны 0 и ?г\. В этом случае мы имеем два различпых оптимальных решающих правила: одно из них предусматривает при данном X принятие гипотезы Ну без второй ступени, а второе — проведение второй ступени с объемом выборки п\. Оба эти правила обеспечива­ ют достижение экстремума функции Лагранжа.

Промежуточные правила с постоянным объемом второй выборки

Излагая метод построения промежуточных решающих правил с постоянным объемом второй выборки, мы будем по-прежнему ис­ ходить из предположения, что множители Лагранжа фиксированы, а окончательное правило — оптимальное. Кроме того, будем счи­ тать фиксированными значения объемов выборки на первой и вто­ рой ступенях эксперимента.

Рассмотрим вопрос о том, как построить область продолжения испытаний ипг, а также области £7° и U\ (области принятия гипо­ тез Н0 и Нг без второй ступени). Эти области могут быть определе­ ны следующим образом. Производят перебор значений вектора X. При каждом X осуществляют следующие операции:

1. Строят рабочую характеристику второй ступени для данных

X и п2.

2.Вычисляют отношение правдоподобия 1у.

3.Находят значение функции а (X, п2) описанным выше спо­

собом.

испытаний Un„. Если ciy <^ 0 и а2 <[ 0, то данный исход X следует отнести к области Z7J3 (области принятия гипотезы Н0 без второй ступени). Если а2^> ау ж а2^> 0, то X следует отнести к области U\ (области принятия гипотезы Ну без второй ступени).

Мы изложили метод построения оптимального промежуточного правила в самом общем случае, когда аргументом функции п2 (X) является вектор X. Естественно, что практически производить перебор всех значений вектора X не представляется возможным. Обычно в качестве аргумента промежуточного правила использу­ ют одномерную или двумерную статистику Ху (X). Эта величина либо постулируется, либо определяется как статистика, на которой можно построить оптимальное промежуточное правило. Вместо

оптимальной функции п2 (X) мы должны в данном случае найти оптимальную функцию п2 (хг). Метод ее построения ничем по су­ ществу не отличается от метода построения оптимальной функции

второй ступенях, статистически зависимы, графоаналитический ме­ тод имеет одну неприятную особенность. Эта особенность состоит в том, что рабочие характеристики второй ступени эксперимента зависят от исхода первой ступени, т. е. зависят от X (или от xx (X)). Поэтому для каждого X (для каждого хг) приходится строить ра­ бочие характеристики заново.

Если наблюдаемые величины на первой и второй ступенях ста­ тистически независимы, процесс построения оптимального проме­ жуточного правила существенно упрощается. В этом случае рабо­ чие характеристики второй ступени уже не зависят от X, и поэтому для всех X можно использовать одно и то же семейство рабочих характеристик.

Заметим, что при использовании этого метода при счете на ЭВМ зависимость рабочих характеристик от X не имеет существен­ ного значения, если эти характеристики не хранятся в памяти ЭВМ, а воспроизводятся по мере необходимости в процессе счета.

5.3. Аналитический метод определения оптимального промежуточного правила

Метод, изложенный в разд. 5.2, позволяет построить график функции п2 (хг), если в качестве статистики тх выбрана некоторая одномерная величина. Иногда в качестве статистики тх берут отношение правдоподобия 1Х. В некоторых случаях, в частности, когда выборки X и Y независимы, на статистике ly можно постро­ ить оптимальное промежуточное правило.

Функция п2 (ly) имеет вид ступенчатой целочисленной функции (рис. 21). Если число скачков достаточно велико, то эту функцию с некоторым приближением можно заменить непрерывной кривой g2 (ly). В тех случаях, когда мы имеем эксперимент с непрерывным временем наблюдения и непрерывными наблюдаемыми величинами, представление промежуточного правила в виде непрерывной функции является точным. В случае же, если объем второй выбор­ ки или наблюдаемые величины дискретны, такое представление является неточным, приближенным.

Допустим, что мы имеем задачу, в которой функцию п2 (1Х) можно с достаточно хорошим приближением рассматривать как непрерывную. В настоящем разделе мы приведем соотношения, с помощью которых можно получить уравнение функции g2 (ly) в удобной аналитической форме.

Напомним, что оптимальное промежуточное правило в процеду­ рах с переменным объемом второй выборки определяется из условия, чтобы был достигнут максимум функции A (ly, п2).