Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Поскольку

мы

ввели

замену vt

In llf

v2 =

In Z 2

запишем:

a ( W ^ i ! g2) =

g2 )- 'Такая

запись неудобна,

поэтому

введем

новую

функцию

а0

(х, g2 ) =

а (е~х,

g2).

Тогда a (Xpe~Vl,

S2) — ао

(vi — In

g2).

Раскрывая

(7.17)

получаем

ПО

ОО

а0 (Vy

— In XF, gn) =

Л (У2 ) CZL>2

— Ajpe-1''

/о (і;.,) cZy2 =

1П l.p—Ui

ІП

г>і —

In X„ + 4 ^

7.4 — In

— 4^-

М - " Ф

-.л-

(7.18)

* w = w i e x p ( - - r ) *

— интеграл	— 00
— интеграл	вероятности.
ФуИкция	A (vlt g2), очевидно,	равна
А (Уі, g2 ) =	a0 (vy — In XF , g2 )	g2 .

Мы видим, что функция Л (%, g2 ) представляет собой гладкую

ПОВерХНОСТБ В треХМерНОМ Пространстве ПеремеННЫХ Vy, g2 и А.

Предположим, что g2 может принимать дискретный ряд значений. Не трудно видеть, что если мы выберем любые два значения из этого ряда, ска

жем, g2 = ё'г	и g2 = g"v	то равенство А {vy, g'2)	= А (vy,	g2 ) может иметь
место лишь в изолированных точках на оси vt.			Поэтому на всей оси vy, за
исключением	отдельных	изолированных точек,	функция А	(уц, gz) достигает

максимума по g2 при единственном значении g2 из нашего ряда. Оптимальная функция g2 = £2(г>і) является ступенчатой (подобная ей функция изображе на на рис. 21). В каждой точке разрыва мы можем придать функции g 2 (vy) либо то значение, которое она имеет слева от точки разрыва, либо то значе ние, которое она имеет справа от этой точки. Таким образом мы получаем несколько оптимальных функций, отличающихся друг от друга лишь в точ ках разрыва. Согласно разд. 4.7, показатели F, D и JEJ (g2 ) не зависят от

выбора значений функции в точках разрыва и, следовательно, при всех опти мальных функциях g0, (vy) эти показатели имеют одни и те же значения. Далее мы снова будем рассматривать величину g2 как непрерывную и увидим,


что	оптимальная		функция		g° (v{) имеет точки разрыва.			Показатели	F,	D
и	(g2)	и в этом		случае	не зависят	от выбора значений функции			g°	(vy)
в точках		разрыва.
	Исследуем		свойства		функции	а0	(г\ — I n Х.р, g2 ). Обозначим
v — v-y — In XF.				Тогда	(7.18) можно		записать в	виде

••<••«-•(w+ J £ ) - ^ ( 7 i r - J ! * L ) - ( 7 л 9 )

При	v =	0	имеем
«о(О,		ga )	= 1 - 2Ф ( -	.		(7.20)
Нетрудно видеть, что эта функция вогнута по переменной g%.
При	v =t 0 функция а0 (у, g2 )			при малых	g2 является	выпуклой,
а при больших g2 — вогнутой. При g2=Q					частная производная
da0/dg2	равна нулю для v=f= 0 и положительна для v =					0 (рис. 29).

Рис. 29	Рис.	30
Рассмотрим теперь выражение
A = a0(v,g2)-^-g2.		(7.21)
Максимум функции А по g2 при	фиксированном v = In IJXp
можно найти графически, проведя	на рис. 29	прямую

и разыскав точку g2, в которой разность между соответвующей данному значению v кривой и прямой максимальна. Пусть, на пример, v равно нулю и этому значению v соответствуют пунктирная прямая и кривая а0 (0, g2) на рис. 29. Тогда, проведя касательную GE к кривой, параллельную прямой Х\ g2/lx, найдем точку каса ния (точка В). Ее абсцисса равна оптимальному значению функ


ции	g2 — g\ (vt)	для	данной		точки	vx.
На рис. 30—32 показаны различные варианты взаимного^рас
положения кривых а0 (v, g2)				и прямых %1 g2/lx-				В случае, показан
ном на рис. 30, можно провести						две	касательных. В случае
рис.	31 имеется только		одна		касательная.			Касание	происходит
в точке перегиба		кривой.		В случае		рис.	32	касание	вообще не
имеет места. Количество точек					касания прямо связано с числом


корней		уравнения
	В случае рис.		30 это уравнение имеет два корня,		g\ и g"2
(Si	^> Si)- Из рисунка видно, что наибольшее			значение	функция
A	(v, go) имеет при		большем корне. Следовательно, нужно брать
корень		g2 = g2 - В	случае рис. 31 уравнение	(7.22) имеет один

корень, а в случае рис. 32 это уравнение вообще не имеет корней.

Рис. 31

Рис. 32

Выведем тенерь уравнение для функции g2 (vx) аналитически. Подставив (7.19) в (7.21) и дифференцируя по g2, получим

I ъ "

gi	^=*- exp	2g2	+
	Vg:
v	+		0.	(7.23)
+ ёг Vg% exp		2#2

Уравнение (7.23) было получено Вальдом. Это уравнение удоб но представить в параметрической форме. Для этого введем па раметр р:

(7.24)

После несложных преобразований получаем

			(7.25)
1 / X	-Р'/2	р — е~р'	(7.26)

На рис. 33 показан характер кривой g2 (z\). При изменении р в пределах от — оо до + °° точка, изображающая функцию

g2 (vj, перемещается по замкнутой кривой в направлении, пока занном стрелками. При этом величина vx изменяется в пределах некоторого интервала vm ^ vt ^ v*1B. Уравнение (7.23) имеет два корня во всех внутренних точках интервала, за исключением особой точки vt = In Яр. Максимального значения функция

Рис. 33		Рис. 34
Функция g2 (fj) обладает некоторым свойством инвариантнос
ти: если изменять	множители	Яр и Я^, оставляя их отношение
ЯР/Я£ неизменным,	то функция	g2 (г>х), не изменяя формы, сме

щается по оси i\. На рис. 34 показана форма кривых g2 (vj) при различных значениях отношения ^J/Яр. На оси абсцисс даны зна

чения	величины	v' — ( У Х	— In Яр)/(г>1м		— In Яр), а	на оси орди
нат — значения		величины	g' = g2/g2M-		Сплошная	кривая	дана
для	Я^/Яр = 0,025, пунктирная			кривая — для		Я£/Яр =	0,1,
штрихпуиктирная — для			Я£/Яр =	0,2.
Перейдем теперь к вопросу об оптимальной области продол
жения испытаний Ugt. С первого взгляда может показаться,							что

отрезок, заключенный между точками v*m и v*1B, и составляет об

ласть	Ug.. В действительности	же к	области Ug,		принадлежит
только часть этого интервала. Точки			у ш и	соответствуют		та
кому	расположению кривой а0	(v, g2)	и	прямой	(Я^/У g2,	при

котором касание происходит в точке перегиба кривой а0 (v, g2)

(см. рис.	31). Из этого рисунка видно, что максимальное значение
функции	А — а0 (v, g2)	r	g2 находится в	точке g2 =	0. Та-
ким образом, точки		v[s	тз. v*ln находятся	вне области	продол
жения испытаний.

Как было показано в главе 4, нижний и верхний пределы об ласти продолжения испытаний (обозначим эти пределы через

У 1 Н И VyB) ДОЛЖНЫ УДОВЛеТВОрЯТЬ УСЛОВИЯМ А ~ О И Л = 1 — Xpjly соответственно. Отсюда получаем уравнение для нижнего предела

УвЛ	„-»нгТїГ_"я	Vg:	О
			(7.27)
где vs = w1 H — In Хр.
Уравнение для	верхнего предела	имеет	вид

-	Д	e-^gi - 1 + <f"B = 0,	(7.28)
где	vB =	v1B — In Хр.

7.3. Оптимальная двухступенчатая процедура

обнаружения сигнала с неизвестными амплитудой и фазой.

Случай независимых флуктуации

В этом разделе мы рассмотрим случай, когда амплитуды и фа зы сигналов флуктуируют, причем их значения на первой и вто рой ступенях статистически независимы. Энергия сигнала в дан ном случае является случайной величиной, и мы можем управлять лишь средними значениями энергий. Величины gy и g2 здесь обо значают средние значения отношения сигнал/шум на первой и второй ступенях. В силу независимости наблюдений на первой и второй ступенях мы можем использовать в качестве статистик логарифмы отношений правдоподобия и на них построить опти мальную двухступенчатую процедуру. Плотности вероятности ве личин Vy и v2 можно записать в виде [1]

/о Ы	= ^ - j r ^ е х	Р	{ -	К +	In (1 +	gH)]\ ,	Ъ =	1, 2
при отсутствии сигнала				и				(7.29)
при отсутствии сигнала				и
fy (vk)	= \| J - exp j	-	j	- [vk + In (1 +	Л ) ] J ,	k =	1, 2	(7.30)

при наличии сигнала. Эти формулы справедливы лишь при vk ^>

> — In (1 + gh). Если vk < — In (1 + gh), то f0 (vh) = fy (»ft) =

=0.

Нетрудно видеть, что оптимальная кривая g2 (г^) должна быть расположена в той части плоскости v1Og2, для которой выполня ются условия:

W	l >	_ 1п(1 + f t ) ,	(7.31)
g 2	>	макс 0 , ^ - - l j .	(7.32)

Условие (7.31) очевидно. Условие (7.32) вытекает из следующих рас

суждений. Минимальное возможное значение v2 равно — In (1 +						ft).
Пороговым значением величины г>2,			разделяющим области			при
нятия решений об отсутствии сигнала и о его				наличии (области
U%, (vt) и и\„ (у,))	является точка		v2 — In XF	— vv	Естественно
потребовать, чтобы этот		порог превышал минимально			возможное
-<-	— vx	> — In (1 +	ft) или ft	е1'	1.
значение^у2 : In %F				^> -т

Учитывая, кроме того, что всегда ft > 0, получаем (7.32). Функция а0 (v, ft), где v = vx — In %F , в данном случае равна

или,	после	несложных		преобразований,
«о (v, ft)		=				(7.33)
_	( т + V е х р		{ ~ " І " [		~ У + 1 , 1 ( 1	+ ^ ) ] } ' е с л и v < 1 , 1 ( 1 + в>
	( 1 — e~v,		если	V >	111 (1 +	ft).

Мы видим, что эта формула совпадает с выражением (2.41), если

принять, что ё° — Pi и ft =					t2i.
Вычислив	производную			-щ^			~~ ~Y~e'v	и приравняв ее
нулю, получаем		уравнение		для			оптимальной	функции	ft (г>х)
в неявном виде.		Имеем
l n ( l + g 2 ) - »		o v n	ГJ_Г„ м	і	ff\	_	In 1\ Л. <*Л\ _	Л	0, (7.34)
%г (1 +	#»)	ехр	(1 +		ft)	-	la (1 + ft)]} -	- j A =	0, (7.34)
%г (1 +	#»)

ГДЄ = % — ІП Xj7.

Функцию ft (г^) удобно представить в параметрической форме. Введем параметр р:

p = i r [ l n ^ - i ; 1 + l n ( l + f t ) ] .

(7.35)

Исключая из (7.34) и (7.35) величину v = vx — In Кр, получаем

(7.36)

Исключая из (7.35) и (7.36)					величину g2, имеем
vx	=	I n		In	+	р +	laXF.			(7.37)
Две	последние		формулы		определяют		оптимальную		функцию
§2 (vi)	в	параметрической форме. Для данной						процедуры		форма
кривой		gz (vx) определяется			не самими		параметрами		XF	и	ХІ,
а их	отношением. На			рис. 35 приведен пример такой кривой							при
In {Xp/Xl)		= 2. На	рисунке		на оси абсцисс построены две шкалы,
v и	vx.
Верхний и нижний пределы
области продолжения				испытаний
Пусть vXB и v[B			— точки		обрыва	функции g2		(vx) (см. рис. 35).
Как и в предыдущем разделе, точки vla							и vXB,	ограничивающие
область		продолжения		испытаний,		должны
лежать внутри интервала vXH <^vx<i						v*B. Ниж
ний предел vxu удовлетворяет					уравнению
А = а0 (у1 н — In XF, g2 (и1 и )) —
~Xle-v^g2(vXB)			= 0.			(7.38)

Если обозначить через р и значение пара метра р, соответствующее порогу vxa, то с помощью (7.36) и (7.37) для величины р и получим уравнение

р„ - 1 =	0.	(7.39)
Верхний	предел vXB	должен удовлетво

рять условию

IS 'IB

P H C . 35

А = а0 (vXB — I n XF, g2 (vXB)) — Xle~vu>g2 [vXB) = 1

XFe~v™.

(7.40)

Отсюда, используя (7.36) и (7.37), получаем уравнение для пара метра р = рв , соответствующего порогу vXB. Имеем

(«* + рв - 1) I n ^

) - p ^ l + 3^) + Р в = 0.

(7.41)

Найдя параметры р н и р в из этих уравнений, по формуле (7.37) получим значения порогов г;1Н и vXB.

7.4. Оптимальная двухступенчатая процедура обнаружения при наличии зависимых флуктуации параметров сигнала

В этом разделе мы рассмотрим две задачи обнаружения сиг нала с неизвестными амплитудой и фазой. При этом будем счи тать, что флуктуации параметров сигнала на первой и второй ступенях статистически зависимы.

Определим статистики, на которых должна быть построена оптимальная двухступенчатая процедура. Отношения правдопо

добия

1Х и Z2 в данном случае не являются такими

статистиками.

Пусть

xt =

их (t), у} — щ

(tj)

(і =

1, ... ,

Ту,

) =

1, ... ,

Т2) — величины,

полученные

в результате

наблюдения

на

первой и второй

ступенях (см.

разд. 7.2.)

Примем

допущение

том, что шумовые

процессы

на

первой и второй

ступенях

пг

(t) и п2

(t) независимы. При отсутствии сигнала

(гипотеза

Н0)

совместная

плотность

вероятностей

выборок

может

быть

представлена в

виде произведения плотностей

f0(X,Y)

= f0(X)f0(Y).

(7.42)

Будем считать, что амплитуды сигналов на первой и второй ступенях связаны линейной зависимостью, случайны и подчиня ются релеевскому закону распределения. Что же касается фаз сигналов, то мы будем считать, что они также случайны и распре делены равномерно в интервале длины 2it. При этом рассмотрим два случая: когда фазы независимы и когда они связаны линейной зависимостью. В первом случае имеет место некогерентное сло жение сигналов, во втором случае — когерентное.

Некогерентное сложение сигналов

Для того чтобы определить совместное распределение выборок при наличии сигнала (гипотеза Hi), мы воспользуемся результа тами работы [1]. В § 44 этой работы получено выражение (44.11) для суммарного отношения правдоподобия при сложении двух одинаковых сигналов. В нашем случае сигналы на первой и вто рой ступенях не одинаковы, отношения сигнал/шум gx и g2, как правило, не равны друг другу. Обобщение результата работы [1] на этот случай не представляет труда. Суммарное отношение правдоподобия в нашем случае равно

4X,Y)=

i + gi + gi			M		2 ( i + g l	+ g 2 )		J / S ' ° V	i + gi + g*
		1			і		Н1+Щ	1 r	(	\	/7/04
= 1		+ g l +	g 2	x	e x p U i +		g l + g	2 ) j h	i i + g l + g 2 - ) '		( 7 - 4 3 )
где / 0	— модифицированная						функция Бесселя,
Ri	=	u\s +	4 ,	T;	R\ =	ul + u L					(7.44)
		. - I	Ті	T;
		. - I	2	2	QWi	sin Ыг		~			(7 -^5)
if-,.	=	WSx	2	2	QWi	sin Ыг		~			(7 -^5)
			i = l	3=1
			r ,	T ,
		kVsl	2 2 Q & M c o				s ШЇ	— ь)>			(7-46)

1=1 3=1

к — некоторая	постоянная,
e.j = е (tj),	= ip (tj),	і, У = 1 , . . . , 2\.

f.~' Выражения для ц2 8 и гг2с имеют аналогичный вид и мы их приводить не будем.


fgaf Устройство,	осуществляющее	операции		(7.45) и	(7.46), на
зывают обычно	квадратурным фильтром.			Величины	uXs и u2s
называют синусными компонентами, и 1 с и и2с				— косинусными ком
понентами, a R x n R 2 — огибающими сигналов на выходе					фильтра.
Как видно из (7.43), оптимальную двухступенчатую					процедуру
можно построить на статистиках R x и R 2 . При отсутствии						сигнала
величины R x и	R 2 подчиняются	закону	распределения			Релея,
и их совместная	плотность вероятностей		равна

Плотность вероятности статистик R x и R 2 при наличии сигнала легко найти на основании известного соотношения

jx(Rx,R2)

= U{Rx,R2)l{X,

Y).]

(7.48)

Используя (7.43), получаем

fx (Rx,	=	g l g , (	i	+	g;+	g l )	x
X exp ( -	4 -	[ g S ( 1	+	g 8	)	+ ^	+ 8" R>] } l J i	) . (7.49)

Построение оптимального промежуточного правила методами главы 5 по этим формулам с помощью ЭВМ не представляет труд ностей.

Когерентное сложение сигналов

Определим отношение правдоподобия I (X, Y) и найдем ста тистики, на которых можно построить оптимальную двухступен чатую процедуру. В [ 1 , § 34] получено выражение для отношения правдоподобия одного импульсного сигнала. Пусть g — отноше ние сигнал/шум, us и в ( — синусная и косинусная компоненты на выходе квадратурного фильтра. Тогда отношение правдоподобия Z для одного импульсного сигнала равно (см. [1], формулу (34.16))

,	1	ехр L 2 ( 1 + в )
I =	-т-1—	ехр L 2 ( 1 + в )

Этой формулой можно воспользоваться для определения I (X, Y) при когерентном сложении сигналов. В самом деле, два импульс ных сигнала, линейпо связанных по фазе и амплитуде, мы можем рассматривать как один сигнал, для которого g = gx + g2,

us — uls	"T~ U2s,		uc	— ulc	~Ь	И 2 с .	Тогда
I (X, Y)		=	Z (uls,	u2s,	ulc,	u2c)	=
		1	g2 X	exp			: + "2c)3
1	+	g l +	g2 X	exp

Мы видим, что искомыми статистиками в этой задаче являются вектор-функции:

хг (X) =

(uls,

и1е),

т2

(Y)

(u2s, и2с).

(7.51

Согласно

изложенному

разд.

4.7,

функции

а (X, g2)

Л (X, g2 ) можно представить как функции величин

uls и ц1 с . Ве

личины H 1 S

ulc,

u2s

и2с

при

отсутствии

сигнала

распределены

нормально

и независимы. Совместная плотность.вероятности

этих

величин имеет

вид

[ 1 , § 34]

/о ( W l s ) Ulci

U2si

U2c)

4 л - £ і £ 2

' Є Х Р

(7.52)

{

2gi

Выражение для плотности вероятности этих величин при на

личии сигнала

представляет

собой произведение правых частей

(7.50)

и (7.52).

Оптимальное

окончательное правило в

данной

процедуре

имеет следующий

вид.

Пусть на первой ступени получены вели

чины uls и и1с. Плоскость

u2sOu2c

должна

быть разделена на две области, Uy(uls,

и1с)

и Uy

(uls,

и1с).

Для первой из них

должно

быть

ВЫПОЛПеНО

ЗГСЛОВИЄ

I ( M l s , u

l c i

w 2s,

M2c) <

^p"і

а для

второй — I (uls,

ulc,

u2s,

u2c)~^>Kp.

Из

(7.50)

видим, что

область

(uls,

ulc) представляет собой

круг,

радиус

которого

равен

Рис. 36

с =

{2 (1 + g

l +

g2 )ln [\F

(1 + g l +

g2)]y>,

(7.53)

а центр находится

точке

координатами

u2s

— иl s i

№ 2 c

=— ulc (рис. 36).

Покажем, что оптимальное промежуточное правило в данной процедуре может быть построено на статистике т п (X) = Rj_ = = V^u2, + ulc- Действительно, функцию а(Х, g2) на основании (4.52), (4.45) и (4.46) можно записать в виде

а (X, g2) = а (ии, ulc, g2) = ^ 5 ] х (u2s, uic | и.и, ии)

du2sdu2

(7.54)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ