книги из ГПНТБ / Синдлер Ю.Б. Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в технике

Процедуры поиска подобного типа подробно исследованы в [11]. Там же показано, что эти процедуры в некоторых случаях позволяют сократить среднюю продолжительность процесса по сравнению со случаем равномерного поиска.

Существует еще один путь сокращения продолжительности поиска. Он может быть реализован в тех случаях, когда мы имеем возможность осуществлять наблюдение над группой урн одновре­ менно. Предполагается, что при таком наблюдении можно прове­ рить, содержится ли шар в одной из урн группы, но нельзя устано­ вить, в какой именно. При такой ситуации в иекоторых случаях целесообразно все т урн разделить на группы и производить поиск Шефа в две ступени. На первой ступени осуществляют последова­ тельно наблюдение над группами и ищут ту из них, которая содер­ жит урну с шаром. После того как такая группа найдена, проводят вторую ступень поиска, которая заключается в обследовании урн данной группы. При этом находят урну, содержащую шар.

Процедуры поиска подобного типа подробно исследованы в [12, 13].

Заметам, что объединение урн в группы не всегда приводит it успеху. Условия, при которых такое объединение невыгодно, рас­ смотрены в [11[.

Естественно, что, помимо учебных задач, где рассматриваются шары ц урны, вопросы теории поиска явились предметом исследо­ ваний, связанных с конкретными техническими приложениями. Заметим, кстати, что указанные выше работы [11—13] относятся к области радиотехники.

В радиотехнике часто возникает проблема поиска сигнала в си­ стеме, включающей в себя много каналов. Этой проблеме посвяще­ на обширная литература (см., папример, [11—19]). Типичным при­ мером является случай, когда производится настройка радиопри­ емника на частоту сигнала нужной радиостанции; предпола­ гается, что сигнал может передаваться по одному из частотных ка­ налов. Проблема поиска сигнала возникает и в радиолокации (см., например, [14]), где сигнал возникает в результате отражения электромагнитных волн от некоторого предмета (цели), попадаю­ щего в луч радиолокатора. Область пространства, которую радио­ локатор может зондировать лучом, можно разделить на элемен­ тарные объемы. Сигнал поступает в приемную систему радиолока­ тора из того элементарного объема, в котором находится цель. До­ пустим, что оператору радиолокационной станции известно, что в одном из элементарных объемов находится цель, и требуется ука­ зать этот объем. В такой ситуации возникают задачи поиска, по­ добные приведенным выше.

Отметим еще одну область техники, для которой развитие тео­ рии поиска имеет существенное значение. В памяти современных ЭВМ хранятся большие массивы информации. Вопросы организа­ ции поиска нужных данных в таких массивах довольно сложны (см., например, [20]). Каждый элемент массива характеризуется

некоторым признаком, который в общем случае состоит из несколь­ ких полей. Так, например, в библиографическом массиве в качест­ ве первого поля элемента (книги) может фигурировать фамилия автора, второго поля — инициалы, третьего поля — первое слово названия книги и т. д.

В [20] рассматривается следующая задача. В неупорядоченном массиве вероятность совпадения значений і-го поля двух элемен­ тов равна ut (0 < ut < 1), и на сравнение значений і-го поля за­ трачивается время tt. Чтобы найти элемент с заданным признаком, перебирают элементы массива и признак каждого из них сравнива­ ют с заданным. Вначале сравниваются значения одного поля, за­ тем второго ит . д., пока не обнаружатся различные значения полей. Требуется установить такой порядок сравнения полей, при кото­ ром средняя продолжительность поиска будет минимальной. Оп­ тимальное правило таково: сравнение полей следует производить, расположив их в порядке возрастания величин £*/(1 — иг ), и начи­ нать с того поля, для которого эта величина минимальна.

Если для нашего массива вероятности и( неизвестны, то в неко­ торых случаях, прежде чем начинать поиск нужных нам элемен­ тов, целесообразно провести исследование статистических свойств массива. Для этого следует извлечь из массива представительную выборку элементов и по ней определить частоты йі совпадения зна­ чений полей. Далее следует вести поиск нужных элементов по при­ веденному выше правилу, используя полученные частоты й% вме­ сто величин Uj. Детально такая двухступенчатая процедура, по-ви­ димому, еще не исследована.

До сих пор в качестве критерия качества процедуры поиска мы рассматривали критерий минимума средней продолжительно­ сти. Возможен и другой критерий. Предположим, что момент вре­ мени принятия решения заранее фиксирован. Требуется организо­ вать поиск таким образом, чтобы вероятность ошибочного решения была минимальной. Мы используем этот критерий ниже при реше­ нии задач обнаружения.

Рассматривая задачи поиска, мы исходили из предположения, что некоторый объект содержится в одной из т ячеек. Возможна также ситуация, когда нам неизвестно, существует ли объект вооб­ ще. Если он существует, то мы должны его обнаружить и указать ячейку, в которой он находится. В противном случае должно быть принято решение об отсутствии объекта.

В общем случае в нашей системе из т ячеек может существовать много объектов, причем число их неизвестно. В такой ситуации мы должны провести обследование всех ячеек ж для каждой принять решение об отсутствии или наличии в ней объекта.

Рассмотрим случай, когда обнаружение объектов производится в две ступени, причем порядок просмотра на каждой ступени мо­ жет быть произвольным.

Пусть время наблюдения во всех ячейках на первой ступени одинаково и равно tx. Пусть t2i — время наблюдения в і-й ячейке

Для удобства записи решений введем величины 6;, равные нулю, если принято решение о том, что в і-й ячейке нет объекта, и едини­ це, если принято решение о том, что объект есть.

На основании данных хх, хт определяются времена наблю­ дения в каждой ячейке на второй ступени эксперимента t2i. Сум­ марная продолжительность второй ступени равна заданному чис­ лу Т2. Таким образом,

названием задачи распределения усилий (см., например, [14—17]). Мы рассмотрим несколько более широкую задачу, полагая, что после первой ступени, помимо распределения времени Г 2 , должны быть определены правила, по которым будут приняты окончательные решения. В этой связи мы примем одно существен­ ное допущение: в каждой ячейке решение принимается независимо от решений в других ячейках. Правило принятия решения имеет

вид:

Здесь С; — порог, который должен быть выбран для г-й ячейки по­ сле первой ступени наблюдения, если в ней решено провести второе наблюдение (t2i > 0). Если же вторая ступень эксперимента не проводится (t2i = 0), то решение 8j = 0 или 6j = 1 принимается после первой ступени в зависимости от полученного значения xt. О том, когда следует брать б г = 0, а когда 8t — 1, будет сказано ниже.

Заметим, что допущение о независимости принятия решений относительно содержимого разных ячеек соответствует схеме Бернулли, когда в каждой ячейке случайно и независимо от содержи-

вероятность того, что в і-й ячейке содержится объект, очевидно, равна

эксперимента можно рассматривать как априорные вероятности наличия и отсутствия объекта.

смысл которых состоит в следующем. Величина (?л представляет собой среднее число объектов, ложно объявленных в тех ячейках, где объектов в действительности нет. Величина Qa представляет собой среднее число правильно обнаруженных объектов.

Сформулируем следующую задачу, разделить все ячейки на множества UQ, U\, U T ; для множества UT найти величины t2i и ct так, чтобы был достигнут максимум Qn при условиях <?л ^ Ьл и

2 ^ 1 ^ Величины Ьл и Т2 заданы.

і

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

Подставив выражения для показателей, получаем

(2.33)

где

а Хл и Х4 — множители Лагранжа.

Из выражений (2.33) и (2.34) непосредственно вытекает следу­ ющий алгоритм поиска максимума функции Лагранжа. Произво­ дят перебор ячеек (і — 1, т). Для £-й ячейки производят пере­ бор значений t2i в интервале 0 < i2i ^ Г3 с некоторым шагом. Для каждого значения t2i производят перебор с ; и находят такое сг =

=с°, при котором функция hi (l2i, СІ) достигает максимального

чение t%, а для случая, когда решено не проводить вторую ступень

вать функцию Лагранжа, следует сравнить между собой величины 0, pi — Лл<7г и 1гп и определить наибольшую из них. Оптимальным

когда имеет место равенство этих величин, мы здесь рассматривать не будем.

В качестве примера приведем случай радиолокационного на­ блюдения с помощью импульсных сигналов со случайными амп­ литудами и фазами, когда фазы распределены равномерно в ин­

где

Оптимальное значение с\ здесь зависит от £ г г . Если подставить (2.38) в (2.37), после несложных преобразований получим

строив кривую hi (t2i, сі) и найдя ее максимум. Пример такого по­ строения будет приведен в разд. 7.3.

До сих пор мы считали, что наблюдение в каждый момент вре­ мени можно проводить только в одной ячейке. Рассмотренная за­ дача легко обобщается на случай, когда наблюдения проводятся одновременно в к ячейках. Допустим, что наша система из тп ячеек разделена на тг групп по к ячеек в каждой; mt = тік. Проведя наблюдение в некоторой группе, мы получаем реализации к слу­ чайных величии, т. е. /с-мерный вектор.

Пусть по-прежнему функции а у и лу имеют вид (2.36). Вместо величин xt, І/І, lu, l2i, pi, qt, ct, p ; , б ; введем /«-мерные векторы Xj» Ум l i b lai, Рь Ч І І Cj, Pi. 6j и отнесем их к і-й группе ячеек, t = l , . . .

m r Составляющие векторов имеют два индекса, і и /, причем і

/-й ячейке г-й группы. Остальные величины определяются анало­ гично.

Процедура обнаружения состоит в следующем. На первой сту­ пени равномерно просматривают все группы и получают векторы

В этом случае множество ячеек і-й группы делят на два подмноже­

функцию

Оптимальным считается такое значение £2І = i ' t . при котором функция h (t2i) достигает максимума.

2.4. Усеченные последовательные процедуры

Процедуры последовательного анализа часто называют усечен­ ными, если в процессе эксперимента допускается некоторое огра­ ниченное число коррекций плана. Двухступенчатые процедуры представляют собой частный случай усеченных последовательных процедур, когда допускается только одна коррекция.

Некоторые фундаментальные результаты, касающиеся усечен­ ных процедур, были получены А. Вальдом в его основополагаю­ щей работе [1]. Позже эти процедуры исследовались в ряде работ (см., например, [22, 23]).

Методы вычисления оптимальных значений параметров усе­ ченных процедур, по-видимому, еще развиты недостаточно. Наи­ большие успехи получены в случае так называемых «близких ги­ потез», когда в процессе накопления информации вклад каждой от­ дельной ступени относительно мал по сравнению с общим вкладом всех ступеней.

В данном разделе мы рассмотрим случай трехступенчатой про­ цедуры, когда каждая ступень вносит достаточно большой вклад. Сначала мы рассмотрим задачу проверки двух простых конкури­ рующих гипотез Н0 и Ну в общем виде. Затем будет дан пример ре­ шения задачи проверки гипотез о наличии и об отсутствии импуль­ сного сигнала на фоне шума.

Допустим, что мы имеем возможность выполнять эксперимент в три ступени. Примем, что на і-й ступени (і — 1, 2, 3) наблюда­ ется величина Xt, которая является непрерывной и имеет плот­

Проверка гипотез проводится по схеме, показанной на рис. 13. На первой ступени, имея результат первого наблюдения Ху, вы­ числяют 1у. Если ly ^ Су, то принимают гипотезу Н0. Если 1Х ] > с2 ,