книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

иыми слагаемыми. Таким образом, к указанным выше графи­ ческим операциям дуализации следует присовокупить правила

\слева направо (рис. 25). Легко

Рис. 25. заметить, что и противополож­ ная ориентация приведет к нужному результату; следует лишь при выборе ориентации

строго придерживаться одного из возможных вариантов. Напомнив в заключение параграфа об эквивалентности ин­

дуктивных, и кондуктивных связей, заметим, что взаимоиндук­ тивности при дуализации эквивалентна емкость.

§ 3. Построение

электрических цепей, эквивалентных механическим системам

Вернемся теперь к вопросу, который возник в конце § 1. Можно утверждать, что главным препятствием на пути пере­ хода от механических систем к эквивалентным электрическим цепям лежат традиции, которые оставили механику без пра­ вил, посредством которых идеализированному представлению механической системы можно было бы сопоставить графическое

цепях и их схемах сливаются настолько, что слова «цепь» и «схема» часто замещают друг друга без особых оговорок.

Восполнить этот пробел нетрудно, используя способы, раз­ работанные электротехникой.

В табл. 6 и 7 представлены условные знаки двухполюсни­ ков, с помощью которых механические системы можно графи­

занные зависимости можно принять в качестве определений двухполюсников. Рис. 26 дает правила последовательного и па­ раллельного соединений механических двухполюсников.

80

'I а б л и ц а 6. Механические двухполюсники поступательного дви­

жения

Т а б л и ц а 7. Механические двухполюсники вращательного движения

Скорость конца цепочки m последовательно соединенных механических двухполюсников (рис. 26, а) относительно ее на­ чала равна

Для механического двухполюсника, эквивалентного m парал­ лельно соединенным между собою двухполюсникам (рис. 26,6), имеем

m

Пользуясь определениями двухполюсников и правилами их последовательного и параллельного соединений, можно строить

схемы механических систем. Читатель может теперь самостоя­ тельно изобразить схемы механических систем, рассмотренных выше в примерах 1.1 и 1.3.

Однако построить схему системы примера 1.2 не удастся, поскольку предложенный метод пригоден лишь для линейных механических систем. Ограниченность возможностей метода следует непосредственно из определений двухполюсников, при­ веденных в табл. 6 и 7.

Со способами моделирования нелинейных механических сис­ тем посредством электриче­ ских цепей читатель может познакомиться, изучая спе­ циальную литературу.*

Сопоставляя между со­ бою правила последователь­ ных и параллельных соеди­ нений для механических и электрических двухполюсни­ ков, можно заметить, что на каждый из последовательно соединенных механических двухполюсников действует одна и та же сила,, в то вре­ мя как через все последова­ тельно соединенные электри­ ческие двухполюсники про­ текает один и тот же ток; концы всех параллельно со­ единенных механических

двухполюсников перемещаются один относительно другого с общей для всех двухполюсников скоростью, а между по­

напряжение — скорости. Следовательно, при использовании вто­ рой системы ЭМ-аналогий структура схемы замещения механи­

ме переходят в параллельные соединения в эквивалентной элект­ рической схеме, параллельные соединения — в последователь­ ные.

Теперь можно окончательно сформулировать правила пере­ хода от механической системы к эквивалентной ей электрцчекой цепи. Последовательность выполняемых при этом операций условно выглядит так:

Операция 0—1 может быть выполнена, если механическая сис­ тема линейна. Тогда эта операция сведется к построению схе­ мы замещения механической системы с помощью механических двухполюсников. Операция 1—2 переводит механическую сис­ тему в электрическую цепь по прямой системе ЭМ-аналогий. При этом структура схемы замещения сохраняется, лишь ме­ ханические двухполюсники заменяются электрическими с со­ блюдением соответствий: сила-кгок, скорость —>-э.д.с. (или на­ пряжение), механическое сопротивление—>-проводимость, мас­ сажем кость, жесткость-*- инверсная индуктивность. Операция 2—3 позволяет получить электрическую цепь,, эквивалентную исходной механической системе по обратной (максвелловой) системе аналогий, и сводится к дуализации электрической цепи П, полученной из механической системы посредством операции 1—2.

• В табл. 8 приведено пять примеров, иллюстрирующих все вышеизложенное. В столбце 0 этой таблицы различными спо­ собами изображены механические системы, в столбце 1 — схе­ мы замещения изображенных в предыдущем столбце механиче­

механическая система, изображенная ранее на рис. 21, а. Здесь рука представляет приложенный к грузу источник силы. Во втором примере — второй строке — система, подобная извест­ ной детской игрушке «раскидаю». Здесь рука, совершающая

строках эквивалентные электрические цепи строятся для меха­ нических систем, рассмотренных ранее в примерах 1.1 и 1.3. В пятой строке построение эквивалентных электрических цепей демонстрируется для произвольной механической системы, об­ ладающей пятью степенями свободы. Предоставляем читателю убедиться в том, что при соответствующих выборах перемен­ ных и направлений их отсчета уравнения движения будут иметь вид:

широкие приложения в электроакустике, где используется для исследования электроакустических аппаратов, представляющих собою ЭМС. Но при моделировании ЭМС с помощью эквива­ лентных электрических цепей мало найти электрический ана­ лог механической системы, необходимо также, чтобы в экви­ валентной электрической цепи нашла отражение и ЭМ-связь. Как это осуществляется, можно проследить на примере элект­ родинамической системы, изображенной на рис. 20, уравнения

стемы можно использовать второе из уравнений. (1.60), поло­ жив, что член х - ^ - представляет собою напряжение некото­ рого двухполюсника, входящего в состав последовательной цепи (рис. 27, а). Для выяснения характера двухполюсника

85

Но тогда окончательно исход­ ную электромеханическую сиРис. 27. стему можно представить в ви­ де эквивалентной цепи, содер­

жащей две индуктивности L и L M , емкость С м , сопротивление R и источник э.д.с. е (рис. 27,6). Изучение этой электрической цепи позволит найти ответы на все вопросы, связанные с исследова­ нием динамического режима в исходной ЭМС; к этому и сво­ дится главным образом назначение и содержание теории ЭМаналогий в электроакустике.

§ 4. Графы физических систем

Для иллюстрации законов Кирхгофа (см. рис. 11) при определении последовательных и параллельных соединений в

ла интерес лишь структура физической системы, способы объ­ единения различных элементов в определенные группы. Упо­ мянутые вопросы далеко не единственные, когда возникает на­ добность отвлечься от физической природы элементов системы

иобратиться к изучению ее топологической структуры. Топологической структурой называют такую характеристи-

86

ку объекта, которая относится лишь к его геометрическому ос­ тову, определяя свойства формы этого остова, взаимного рас­ положения отдельных его частей независимо от размеров и прямолинейности или криволинейное™ составляющих их от­ резков. Другими словами, топологическая структура отражает лишь топологические свойства геометрической формы объекта, к которым относятся такие, например, как замкнутость или разомкнутость кривой, наличие или отсутствие точек пересече­ ния и т. п., — свойства, не меняющиеся при однозначных не­ прерывных преобразованиях геометрических форм.

Структуру физической системы как объект раздела геомет­ рии, именуемого топологией, называют графом системы. Выше уже прослеживалась последовательная цепь рассуждений, при­ водящих от конкретной физической системы к некоторой сово­ купности знаков, объединенных в схему. Дальнейшее абстра­ гирование, связанное с отвлечением от физических свойств, со­ храняющее лишь топологическую структуру системы, и приво­ дит к графу. В графе двухполюсник заменяется отрезком (пря­ молинейным или криволинейным — безразлично).

Следует заметить, что раздел топологии, посвященный графам, находит широкие приложения в физике. Прикладная теория графов позволяет весьма экономно и изящно получать результаты громоздких вычислений, если граф рассматривает­ ся как топологическая структура исходных формул. Разнооб­ разные заключения о свойствах физических систем удается по­ лучить, если граф отражает структуру дифференциальных урав­ нений движения этой системы. Однако в данном пособии в по­ нятие графа вкладывается лишь указанный выше узкий смысл: под графом подразумевается чертеж, полученный из схемы путем замены в ней двухполюсников отрезками. Причем ниже будут приведены лишь некоторые определения и приложение графов для вывода уравнений движения. В то же время далее при такой трактовке теория графов дает возможность получить весьма широкие выводы о свойствах системы, например, опре­ делить из ее графа весь спектр собственных частот, минуя про­ цедуру составления дифференциальных уравнений.

2°. Графом называется множество отрезков, общими точками которых являются вершины. Изоморфными называют графы, имеющие равное количество вершин, и притом такие, что каж­ дому отрезку, соединяющему определенную пару вершин в од­ ном из них, отвечает определенный отрезок, связывающий со-

87

Из определения 5° следует, что совокупность ветвей, из ко­ торых складывается дерево, устанавливается неоднозначно.

вариантов деревьев для графа, изображенного ранее па рис. 28. Ветви на рис. 29 выделены жирными линиями, хорды изобра­ жены тонкими линиями. Дерево на рис. 29,в относится к типу

89