Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

G = R 1 называют	проводимостью. Условным знаком сопротив
ления служит продолговатый светлый прямоугольник.
Индуктивность	— это двухполюсник, характеризующий уча

сток цепи, в котором предполагается сосредоточенным магнит ное поле тока. Для определения величины индуктивности ис пользуется равенство, являющееся следствием определения потокосцепления электрического контура с магнитным полем и за

кона индукции

Фарадея.

Если векторные линии, представляющие магнитное поле, пе

ресекают

поверхность,

ограниченную

контуром

из

проводника,

то говорят,

что

контур

сцеп

лен с

магнитным

полем. При

этом

магнитным

потоком

контура

называют

поток

век

тора магнитной индукции

В че

рез

поверхность

S, ограничен

ную

контуром:

J BndS=

f BdS,

(1.35)

(S)

где

— проекция

вектора

на

положительное

на

правление

нормали

эле-

Рис

ментарной

площадке

dS,

вы

dS — вектор,

деленной

из

поверхности

по

модулю

равный

площади

элементарной

площадки,

по

направлению совпадающий

положитель

ным направлением нормали к ней; положительная

ориентация

нормали

определяется

поступательным

движением

правого-

винта, который

ввинчивают,

вращая

в заданном

направлении

обхода контура (рис. 7).

Если контур из проводника образует несколько витков, вы числение интеграла (1.35) становится затруднительным. В этом случае поверхность, натянутую на контур, разбивают на ряд простых площадок, ограниченных отдельными витками (рис. 8). Сумму магнитных потоков, сцепленных с простыми составляю щими сложного контура, называют потокосцеплением и обозна чают W

где Фи — магнитный	поток через поверхность k-то витка,	JV —
число витков. Когда	площадки всех витков пронизываются	од

ним и тем же потоком, что осуществляется,	например,	при уло
женных вплотную друг к другу N витках	соленоида	(рис. 9),
потокосцепление равно
W = N<b,		( 1 . 3 6 ) '

где Ф — магнитный поток, сцепленный с одним из витков, или,, иначе, поток через поперечное сечение соленоида.

Понятие о потокосцеплении используется в законе индукции Фарадея, утверждающем, что изменение потокосцепления кон тура влечет возникновение в нем э.д. с , равной скорости убы вания потокосцепления:

d Чг

e = ~ d J .

(1.37>

Если внешнее магнитное поле, изменяясь со временем, возбуж дает в контуре электрический ток индукции, то имеет место и об-

Рис. 8.	Рис. 9.
ратное явление: ток, текущий в контуре, порождает		магнитное
поле, сцепленное с этим контуром. Направление	э.д.с.	индукции

таково, что вызванный ею ток создает магнитное поле, препят ствующее изменению потокосцепления с внешним магнитнымполем, или, другими словами, компенсирующее это изменение

(это явление дало основание Э. X. Ленцу				ввести представление
об электромагнитной		инерции).
Если	магнитное поле		порождено током, то потокосцепление
с этим	полем называют		потокосцепление•м	самоиндукции.	Оно,,
как экспериментально			установлено, пропорционально		току
в контуре
			ЧГ = Ы.		(1.38>
Последнее равенство		определяет индуктивность L , служащую,

в нем коэффициентом пропорциональности. Индуктивность яв ляется строго положительной величиной для любого контура и* зависит лишь от его размеров и конфигурации. Если контур не меняет форму, то L = const.*

Для контура неизменной формы с током і, если отсутствуют

внешние	магнитные	поля,	потокосцепление	определяется фор-
* Последние утверждения безусловно верны для контуров в среде, ней
тральной	по отношению	к магнитному полю (вакууме); в магнетиках — сре
дах, магнитные свойства		которых	в магнитном поле	изменяются,— принимая,

эти утверждения, допускают некоторую погрешность.

мулой (1.38), и в соответствии с законом Фарадея (1.37) э.д. с. самоиндукции контура равна

,	di
e s = - L d	f

Для напряжения uL между полюсами индуктивности найдем

uL = - e s =		L % .	(1.39)
Равенство (1.39) и служит для		определения	индуктивности
в табл. 1. Разрешая его относительно тока, получим
dl.	Tu,
dt
		L

где коэффициент пропорциональности Г есть величина, обратная индуктивности, которую называют инверсной индуктивностью. Интегрируя последнее равенство, получаем

	Іі. = г		1 u L d t		-	О - 3 7 )
Если известно значение	iL\|<=0	= і £ 0 ,		то, обозначив		W0 = ULOf
найдем
гл	= Г ^	0	+ \| И	і	Л ^ .	(1.37)'

Условное обозначение индуктивности представлено в табл. 1.

Двухполюсник, называемый емкостью, условно	обозначают
в виде двух параллельных отрезков, как это указано	в табл. 1.

Этот двухполюсник представляет участок цепи, в котором со

средоточено	электрическое поле. Для цепей квазистационарных
токов — это	конденсатор. Под емкостью конденсатора в элек
тротехнике	понимают постоянное значение отношения величины

заряда одной из его пластин к напряжению между пластинами:*

С = і - ,

и '

откуда, дифференцируя, находим

	dur
	ic=c-à-	относительно ис,	0-38)
Разрешая	последнее соотношение	относительно ис,	получае м
	uc=S§icdt,		(1.39)
* Напомним, что в соответствии с (1.32) напряжением ис			является инте
грал вдоль	линии, соединяющей пластины	конденсатора:. и с	E-afl.

где	S =	C 1 — величина,	называемая			инверсной			емкостью.
Если известно значение			# c \| , = 0 — исо		=	S4o,	то	получим
				/	С	\			(1.39)'
		uc	= S	q0 +	) idt .

	На рис. 10 изображены совокупности п произвольных элек
трических двухполюсников,				объединенных			в	один	двухполюс
ник: на		рис. 10, а — посредством последовательных							соединений,
на	рис.	10,6 — путем параллельных				соединений.			Напряжение

и. П О С Л

In—^

Рис. 10.

между полюсами двухполюсника, эквивалентного п последо вательно соединенным двухполюсникам, равно

^ п о с л = = 2

^ѵ>

ѵ=1

ток, протекающий через этот двухполюсник:

Для двухполюсника, эквивалентного п параллельно соединен ным двухполюсникам, имеем

ѵ=1


Последние	равенства		можно	принять	в	качестве определений
последовательного и параллельного соединений.
Благодаря		электрическим		контактам		полюса		соседних		в
электрической		цепи	двухполюсников сливаются				на		схемах	в
одну точку. Эту общую точку двухполюсников будем									называть
вершиной.	В	простой неразветвленной			цепи,		представляющей
собою совокупность			последовательно		соединенных			потребите
лей энергии,		замыкающих полюса источника, каждая							вершина

образована контактом двух и только двух полюсов. В сложной

цепи	вершины	образуются слиянием	более чем двух	полюсов.
Все	поперечные	сечения простой цепи	пронизываются	одним и

тем же током. В вершинах сложной цепи ток разветвляется, течет по разным путям, образуя несколько замкнутых контуров.

Следует заметить, что хотя представление цепей квазиста ционарных токов в виде соединенных между собою двухполюс


ников	позволяет			с	высокой		точностью	осуществлять			расчеты,
в то	же	время		среди приборов, включенных					в реальные цепи,
нет таких, которые можно было бы исчерпывающе										охарактери
зовать		одним		только		сопротивлением		или	одной	индуктив
ностью		или	одной		емкостью.		Так, например,		соленоидальная
катушка		из	проводника			эквивалентна		последовательно			соеди

ненным индуктивности и сопротивлению, если частоты периоди ческих квазистационарных токов сравнительно невысоки; если же частоты высоки, то параллельно индуктивности и сопротив лению, последовательно соединенным, присоединяется емкость. Далее, у реального конденсатора ввиду неидеальности сред, служащих диэлектриками, помимо емкости следует учитывать сопротивление и т. п.

Для расчета сложных электрических цепей постоянного и квазистационарных токов используют законы Кирхгофа, отве чающие условиям стационарности. При расчете цепей, кроме известных направлений э.д.с и токов источников, произвольным образом фиксируют некоторые направления напряжений и то ков для остальных двухполюсников. В цепях квазистационар ных токов выбранные направления отвечают одному какомулибо моменту времени.

Первый закон Кирхгофа формулируется для вершины так: алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящих ся в любой вершине цепи, равна нулю:

			0.	(1.40)
Например, для	вершины,	изображенной на рис.		11, о, будем
иметь
	h +	h	h + *4 = 0 ,
если снабжать	знаком «плюс»		токи, притекающие	к вершине,
и знаком «минус» — вытекающие из нее.

Второй закон Кирхгофа относится к произвольному замкну тому контуру: алгебраическая сумма напряжений двухполюс ников равна алгебраической сумме э.д.с источников, вошедших в состав данного контура:

.]£и » = 2 е " ' (1.41)

Второй закон Кирхгофа может быть применен после того, как


будет			выбрано			определенное					направление обхода контура.
Тогда		напряжения					и э.д.с.		вхо
дят	в	свои			суммы		со	знаком
«плюс»,			если			их	направления
совпадают				с	направлением				обхо
да контура,					и	со	знаком		«ми
нус» — в противном случае. Так,
для контура					на	рис.	11,6
и, — и-і — и3						-f- и4	= е2	— et.
При			установлении					законов
Кирхгофа				существенным				являет
ся предположение о том, что за
ряды	могут				перемещаться				лишь
в теле			проводника.				Это	предпо
ложение				соответствует				допуще
нию о наличии внешних по отно
шению к цепи сил, препятст
вующих			движению				зарядов			че
рез поверхность						проводника.				Так
же как и в механике, эти силы
можно			считать			реакциями				свя
зей,	тогда				выражения			законов
Кирхгофа				представляют					собою
своего		рода			уравнения связей.
Прежде					чем обратиться					к
примерам				использования законов
Кирхгофа				для		вывода уравнений					цепей, следует дополнить из

ложенное, введя понятие индуктивной связи контуров.

В ряде случаев возникает надобность в рассмотрении изо лированных друг от друга электрических цепей.* При этом особую роль играет случай, когда изолированные цепи оказы ваются связанными благодаря общей части магнитных потоков катушек индуктивности, принадлежащих разным цепям. Такую

связь	между цепями называют		индуктивной.
Рассмотрим два контура с токами і'і и і2,					плоскости которых
параллельны и		расположены	вблизи	друг	от	друга	(рис. 12).
*	Цепи будем	называть изолированными		друг	от	друга,	если они не

имеют ни одчой общей вершины.

При включении источника в первый контур, индуктивность ко торого равна L u возникают ток і\ и связанное с ним магнитное поле самоиндукции. Потокосцепление самоиндукции первого контура равно

^1 s — L î i î •

Магнитное поле контура Li пронизывает поверхность, ограни ченную контуром L 2 . Часть потокосцепления первого контура, сцепленную со вторым, называют потоко сцеплением взаимоин дукции ^2М'-

	Рис.	12.
где M — величина,	характеризующая		магнитную	связь	между
контурами Li и L 2	и обусловленная		расстоянием	между	конту
рами и их взаимной	ориентацией;	ее называют		взаимоиндуктив-

ностыо. В отличие от индуктивности, принимающей лишь поло


жительные значения, взаимоиндуктивность может быть					поло
жительной,		отрицательной и	обращаться в нуль — в	зависимо
сти от	взаимного расположения магнитосвязанных			контуров;
\| A Î \| < m i n		(Li, L 2 ) .	взаимоиндуктивности,	кроме	на
Для	определения знака

правлений токов в катушках индуктивности, необходимо знать направления их намотки. Если катушки навиваются в одном направлении, говорят, что их намотка согласна, в противном

случае — встречна. Взаимоиндуктивность	положительна,	если
при согласной намотке и токи согласны	(оба от начала	катуш

ки к ее концу или, наоборот, оба от конца к началу), а при встречной намотке и токи встречиы. Для определения согласо ванности намотки на схемах начала катушек помечают какимлибо знаком, точкой или крестом например. Иллюстрацией по следнего положения служит рис. 13.

Возвращаясь к рассмотрению контуров, изображенных на

рис. 12, укажем, что при изменении потокосцепления взаимо индукции во втором контуре возникает э.д.с. взаимоиндукции

ш~ 1 Г '

которая при M = const равна

е 2.И

ІѴІ

Появление

э.д.с.

е2м

порождает во

.втором

контуре

(если

он

замкнут)

ток

і2

и магнитное

поле

самоиндукции,

первом

контуре

—

э.д.с.

взаимоиндук

ции. Когда

процесс

устанав-

M > Q

м <

ливается,

полное

потокосцеп-

ление

каждого

из

контуров

складывается

из

потокосцеп-

лений

само-

взаимоиндук

ции:

Ч?\ =LJt

+Мі.,,

W^Mii+LM.

П р и м е р

1.4.

Если

совокуп

ность включенных в цепь реальных

электрических

приборов,

являющих

ся

потребителями

энергии,

допуска

ет

идеализированное

представление

виде

последовательно соединенных

двухполюсников,

то

объединяя

од

нородные

двухполюсники,

такую

ІС. .

цепь

можно

всегда

представить

виде

трех

двухполюсников:

сопро

тивления,

индуктивности

емкости,

последовательно

соединенных.

На

рис.

14, а

представлены

две

такие

простые

последовательные

цепи,

катушки

которых

связаны

взаимоиндуктивностью, а

в первую из них вклю

чен

источник

э.д.с.

е.

На этом рисунке указаны также направления обхода

контуров,

согласованные

направлениями

токов і{

«2.

Направления

на

пряжений будем полагать совпадающими с направлениями токов. Применив^

второй закон	Кирхгофа,		получим следующие уравнения:
		dh	+ Rlil	Г	di2
	Ц -jf		+ Rlil	4- S, l	i-jlt =e — M~dt-,
		dh		С	di.
	І 2	~dT + ^2'2		+ S*	l"dt
где 5j =	, 5 2 =	.

Рассматривая цепь, изображенную на рис. 14, б, применяем первый закон. Кирхгофа к любому из полюсов индуктивности М. Для указанных направ лений токов получим

				І =	J, +	/2 .
Второй закон	Кирхгофа		для контуров,			направления обхода	которых указа
ны стрелками,	можно представить			уравнениями
	,	dix		Г
		d(i,+i2)	•	du		С	\
	M	di	+L2-df		+ R^ + S- J W = °- j

	Сопоставляя две		полученные системы уравнений, приходим к заключению,
что	цепи,	представленные схемами		на рис.	14, а		и	14, б,	эквивалентны,	если
во	второй	из них положить L ' \ =		L\—M,	L ' 2	=	L 2	— M.	Говорят, что	пер
вая	цепь	образована	индуктивно	связанными,		а	вторая—кондуктивно			свя
занными контурами.
	Легко	видеть, что	полученные	результаты		можно распространить на				ка

кое угодно количество индуктивно связанных контуров. Другими словами, индуктивные связи всегда можно заменить эквивалентными кондуктивнымн.

Рис. 14.

Это позволяет не вводить дополнительный двухполюсник — взаимоиндуктив- «ость.

П р и м е р 1.5. На рис. 15, а изображена схема электрической цепи. Для составления уравнений цепи наряду с ее схемой удобно рассматривать упрощенное изображение, на котором каждый из двухполюсников представ-

а	6
Рис.	15.
лен в виде отрезка, — так называемый	граф цепи (рис. 15,6). Па графе

жирными кружками и латинскими буквами выделены те вершины, в которых

соединены более двух полюсов; такие вершины называют	узлами. Величина
тока может измениться лишь при прохождении через узел;	последовательно

соединенные двухполюсники, лежащие между двумя узлами, пронизываются одним и тем же током. Граф на рис. 15,6 использован для указания на правлении и обозначений различных токов.

Применяя первый закон Кирхгофа, запишем уравнения для токов, схо

дящихся в узлах:
— «1 + h — h + k — '9 = °.	(а )

, -

/ 3 + ( , ,

(b)

4- /; 1

— / 4 — / 8

— / = 0,

( с)

Уравнения второго

закона

Кирхгофа

будут

иметь

вид-

для

контура

І 4

— Rs

— R6:

для

контура

С] — Li — R?, — R2

— RB:

—

Сl -

*a<W +

I ,

—

Ші

Rets = О,

для

контура

Со — Ct

— L L

— Ry.

С .

di.

rf'i

для

контура

L , —-Ri — СѴ

dir,

Rik

Л- ~ç~

\ hdt

" 2

для

контура

e — R1

— R3 — Li — Ct :

rf/3

#1*1 — Яз'з — Li

-jf

i-jdt =

e. .

Рассматривая уравнение для узлов как уравнения связей, можно раз

решить

их

относительно

каких-либо

четырех токов. Например,

—

+ h

— 's +

-— г"і — h +

it — — h — l>

h — h ~~ h-

Подставив эти выражения в уравнения для контуров,

получим

пять

урав

нений относительно

пяти

независимых

токов

(А,

і'б,

is,

is). Поскольку ток

(' и э. д. с.

е источников являются

заданными функциями

времени,

получен

ные уравнения

можно

дифференцировать,

чтобы избавиться от содержа

щихся в них интегралов; при этом придем

к обыкновенным дифференциаль

ным уравнениям

второго

порядка.

§ 7. Установившийся

режим

в цепях синусоидального

тока

Характер

изменения

квазистационарных

токов,

протекаю

щих в сложной цепи, может быть

установлен

интегрированием

системы

обыкновенных

дифференциальных

уравнений,

состав

ленных для этой

цепи.

Уравнения

системы

неоднородны,

если

цепь содержит источники э.д.с. и тока. Решения такой системы складываются из общих решений соответствующей однородной системы и частного решения системы неоднородных уравнений. Первые слагаемые отвечают свободным колебаниям с собст венными частотами, зависящими лишь от параметров цепей; вторые слагаемые характеризуют вынужденные колебания, частоты которых совпадают с частотами заданных изменений э.д.с. и тока:

/ѵ (t)	— Іѵ св (t) ~\~	І"> вын
( V	= l , 2, . . . ,	ri).
4 Л. Ю. Львович		49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ