книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

П р о д о л ж е н и е т а б л . 2

из формулы

аФ = iRdt,

приведенной в табл. 2, следует, что вебер есть такой магнитный поток через замкнутый контур сопротивлением в 1 Ом, при убывании которого до нуля в контуре благодаря э. д. с. индукции протекает заряд, равный одному ку­ лону.

Размер основных и производных единиц в ряде случаев оказывается не­ удобным: иногда он слишком мал, иногда — очень велик. Тогда применяются новые единицы, получаемые умножением основных или производных единиц

70

Так, например, при измерениях емкости широкое употребление имеют ели ннцы, именуемые микрофарадами и пикофарадами:

1 м к Ф = 1 0 _ 6 Ф , 1 пФ = 1 0 _ 1 2 Ф

ТЛЛВА 11

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ

АНАЛОГИИ, ГРАФЫ, УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА — МАКСВЕЛЛА

В предыдущей главе было показано, что для составления уравнений движения электромеханических систем, помимо ме­ тодов и средств механики и электротехники, необходимо при­ влекать различные законы физики, отвечающие особенностям конструкции той или иной конкретной электромеханической системы. Разнообразие приемов, пестрота используемых средств доставляли большие неудобства и издавна толкали ис­ следователей на поиски единой методики аналитического опи­ сания составных частей электромеханической системы и усло­ вий их взаимосвязи. Описанию таких унифицированных анали­ тических методов и посвящена настоящая глава.

§ 1. Два вида

электромеханических

аналогий

Существование аналогий между механическими и электри­ ческими процессами было подмечено еще в момент появления науки об электричестве. Но на первых норах аналогии не мог­ ли быть прослежены достаточно глубоко, стремление к их уста­ новлению было продиктовано прежде всего механическими воз­ зрениями на природу всех физических явлений. Отражением этих представлений являются употребляемые и поныне терми­ ны «электродвижущая сила», «сила тока», «электрическое на­ пряжение». Строгое математическое обоснование аналогий бы­ ло дано Дж . К. Максвеллом, который на страницах «Трактата об электричестве и магнетизме» писал о том, что электрический ток как кинетический процесс перемещения электрических за­ рядов вдоль проводников подчиняется закономерностям, кото­ рые математически могут быть описаны в форме уравнений

72

Лагранжа. Разработанная Максвеллом методика нашла после­ дователей. Упомянем, например, труды таких выдающихся уче­ ных, как А. Пуанкаре, исследовавшего работу электромагнит­ ного телефона, Бельтрами, установившего возможность приме­ нения принципа Даламбера и общего уравнения динамики для изучения электромеханических систем, и других.

Однако если в трудах Максвелла и его последователей ма­ тематические методы механики переносились на электрические объекты, то совсем иным содержанием заполнился метод элект­ ромеханических аналогий (ЭМ-аналогий) в период с середины двадцатых годов нашего столетия. К началу этого периода бла­ годаря бурному развитию теории электромагнетизма, рожде­ нию многообразных разветвляющихся ее приложений значи­ тельно усовершенствовался и приобрел своеобразие математи­ ческий аппарат электротехники. Повсеместное распространение средств радиовещания и электроакустики, быстро усложняю­ щихся и улучшающихся, придало соответствующий удельный вес проблематике этих отраслей. Основными объектами элект­ роакустики явились ЭМС. Разработкой конструкций, отладкой и эксплуатацией электроакустических устройств занимались инженеры-электротехники. Для них вполне органичным было стремление перенести методы электротехники на изучение ме­ ханических систем. Появляется ряд работ, посвященных ЭМаналогиям в электроакустике, они становятся рабочим аппара­

С одной стороны, этот метод позволяет осуществлять аналити­ ческое исследование двух составных частей ЭМС посредством единых математических методов, разработанных в электротех­ нике. С другой — эксперименты, проводимые с электрическими цепями, эквивалентными ЭМС, дают возможность изучать и электрические и механические процессы в этих системах с по­ мощью чувствительной и удобной в обращении электроизмери­ тельной аппаратуры.

Переходя к существу метода ЭМ-аналогий, начнем с про­ стых примеров, и с этой целью рассмотрим представленные на рис. 21, а, б и в механическую систему и электрические цепи.

На рис. 21, а изображен подвешенный на пружине груз, который может совершать колебательные перемещения в вер­

7 3

ся от положения его статического равновесия, то уравнения колебаний груза будут иметь вид

Уравнение для простой последовательной электрической це­ пи с источником э.д.с. e(t), изображенной на рис. 21,6, полу­ чим с помощью данных табл. 1 и второго закона Кирхгофа:

а

Рис. 21.

Если воспользоваться тем, что

j idt = q,

то уравнению (2.2) можно придать форму

Уравнение простой параллельной электрической цепи с ис­ точником тока i(t), схема которой дана на рис. 21, в, получим с помощью первого закона Кирхгофа:

где и — общее напряжение между полюсами всех соединенных пар'аллельно двухполюсников. Если буквой *ф обозначить функ­ цию времени, заданную как одно из значений первообразной

J udt =

то последнее уравнение преобразуется, принимая вид

74

полной их идентичности; уравнения отличаются лишь обозна­

и тому же закону, то течение механического и электрических процессов также будет подчиняться одинаковым закономерно­ стям.

и сравнение уравнений (2.1)', (2.2) и (2.3) позволяет сделать вывод, что механическая скорость и, электрический ток і и электрическое напряжение и, найденные как решения сравни­ ваемых уравнений, должны изменяться со временем по одному и тому же общему закону.

Сопоставляя между собой каждый из членов приведенных выше дифференциальных уравнений и каждый из коэффициен­ тов слагаемых, можно установить взаимно-однозначные соот­ ветствия между элементами и параметрами механической сис­ темы, с одной стороны, и элементами и параметрами последо­ вательной и параллельной электрической цепи — с другой. Уста­ новление таких соответствий, разработка правил перехода от одной физической системы к другой, ей эквивалентной, и со­ ставляют содержание метода ЭМ-аналогий. Следует подчерк­ нуть, что в методе аналогий эквивалентными называют систе­ мы, описываемые идентичными уравнениями.

Сопоставление механической системы и последовательной электрической цепи порождает первую систему ЭМ-аналогий, а механической системы и параллельной электрической цепи— вторую систему ЭМ-аналогий. Первая система была разрабо­ тана раньше второй; иногда ее называют максвелловой систе­ мой, так как именно ею пользовался Максвелл в своем «Трак­ тате».

Табл. 4 составлена при сравнении самых простых моделей механической системы и электрических цепей, но имеет универ­ сальное значение. Если система уравнений движения механи­ ческой системы, какой бы степени сложности последняя ни бы-

75

путем замещения механических величин электрическими, вы­

Возникает естественный вопрос, нельзя ли получать схемы электрических цепей, эквивалентных данным механическим сис­ темам, минуя стадию составления дифференциальных уравне­ ний.

§ 2. Дуализация электрических цепей

Отложив па время решение вопроса, поставленного в конце предыдущего параграфа, обратимся к побочному результату, полученному при составлении табл. 4. До сих пор речь шла о соответствиях между механическими и электрическими вели­ чинами. Но ведь таким же образом, сопоставляя параметры, содержащиеся во втором и третьем столбцах табл. 4, можно говорить о соответствиях между различными электрическими величинами. Последовательной цепи можно сопоставить парал­ лельную. Уравнение первой цепи составлялось для тока или

76

ных цепей являют электрические цепи, схемы которых представ­ лены на рис. 21, б и в.

Обратимся вновь к цепи, схема которой дана па рис. 21, б. В соответствии с первым законом Кирхгофа через каждый из

Получили систему трех уравнений относительно трех напря­

если одна цепь является дуальной для другой, то эта вторая цепь будет дуальной для первой.

77

ходящих при дуализации одна в другую: величина индуктив­ ности L , измеренной в генри, равна величине емкости С, изме­ ренной в фарадах, и т. д.

Т а б л и ц а 5. Э к в и в а л е н т н ы е д в у х п о ­ л ю с н и к и д у а л ь н ы х с х е м

Возникает вопрос, любой ли электрической цепи можно со­ поставить дуальную ей. Теория дает положительный ответ на этот вопрос при условии, что исходная цепь является Планер­ ной. Планарной называют цепь, схема которой полностью укладывается в плоскость, и при этом линии, соединяющие один

двухполюсник с другим, не перекрещиваются. Цепь, представ­ ленная схемой па рис. 23, дает пример непланарпой цепи.

Разработан графический способ преобразования данной электрической цепи в дуальную ей. Этот способ позволяет ми­ новать этап составления дифференциальных уравнений. Способ сводится к следующим операциям. Выделим у планарной цепи совокупность независимых контуров. Под независимыми будем подразумевать такие замкнутые контуры в цепи, которые раз­ нятся друг от друга хотя бы одним двухполюсником (это опре­ деление будет в дальнейшем уточнено). Внутри каждого из не­ зависимых контуров поставим точку. Еще одну точку поставим в любом месте, лежащем за пределами участка плоскости, за­ нятого схемой цепи. Итого получим точек на единицу больше числа независимых контуров данной цепи. Этим точкам пред-

78

стоит стать вершинами дуальной цепи. Соединим их между со­ бою отрезками, строго соблюдая правило: соединять точки от­ резком можно лишь в том случае, если отрезок пересечет ка­ кой-либо двухполюсник исходной цепи и притом только один; каждый двухполюсник должен быть обязательно перечеркнут отрезком и не более чем одним. Отрезок, соединяющий верши­ ны дуальной цепи, представляет двухполюсник, эквивалентный перечеркнутому (напомним, что эквивалентные двухполюсники представлены в табл. 5).

В качестве иллюстрации изложенного способа рассмотрим рис, 24. На схеме рис. 24, а точки, снабженные нумерацией от

Сг

с ; 3 Ы е

Рис. 24.

/ до 4, помещены внутри четырех независимых контуров. На периферии схемы выбрана точка О. Пять полученных таким путем вершин соединены пунктирными линиями, соответствую­

Li, источник тока і и проводимость G\. На рис. 24, в дуальная цепь представлена в традиционном графическом оформлении.

Повторная дуализация, т. е. дуализация дуальной цепи, приводит вновь к исходной цепи.

Составляя уравнения для электрических цепей, схемы ко­ торых изображены на рис. 24, а и 24, в — для одной в токах, для другой в напряжениях, — можно убедиться в том, что урав­ нения будут идентичными лишь в том случае, если направле­ ния для токов и напряжений выбраны согласованно; в против­ ном случае уравнения могут различаться знаками перед отдель-

79