книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

получаем следующие уравнения движения

+ M i — с2 (А2 — *і) = P m S i l l (О^,

w 2 Ä 2 + с2 (А2 — = 0. Легко убедиться в том, что зависимости

hx — Ах s i n « г , h2 - = А2 s i n at

определяют частные решения последних уравнений. Физически эти решения описывают установившийся режим вынужденных колебаний. Другая часть решения, соответствующая колебаниям с собственными частотами, неизбежно затухнет под влиянием сил сопротивления, как бы малы они ни были. Дл я определения амплитуд вынужденных колебаний в дифференциальные уравне­ ниядвижения подставим зависимости, представляющие частные решения. По­

лучим систему уравнений

расходуется на возбуждение колебаний дополнительной системы, называемой

динамическим гасителем колебаний. Динамический гаситель может погло­ щать колебания лишь одной частоты со0, и поэтому применение его ограни­ чено машинами, вредные колебания которых возникают при работе синхрон­ ного двигателя.

Если частота возмущающей силы не равна ш0 , то присоединение, второй системы не подавляет колебания первой. Заметим, что можно найти два зна­ чения частоты: Ші и со2, при которых А обращается в нуль. При приближении частоты возмущающей силы к одному из этих значений амплитуды А\ и Л 2 устремляются к бесконечности, что свидетельствует о вхождении системы в режим резонанса. Частоты Ші и а>2 являются собственными частотами систе­ мы, состоящей из двух масс, подвешенных на двух пружинах; эта система

родных цилиндров общей массой М, жестко закрепленных на оси, и свободно

30

Так как число степеней свободы голономной системы совпадает с чис­ лом ее независимых обобщенных координат, то для голономных систем состационарными связями справедливо определение числа степеней свободы как минимального количества геометрических параметров, фиксирование которых полностью связывает систему, лишая ее возможности каких-либо перемеще­ ний.

Последнее определение породило прием, с помощью которого в сложных случаях устанавливают число степеней свободы. Используя этот прием для рассматриваемой системы, можно ввести, например, декартову систему коор­ динат, совместив плоскость хОу с горизонтальной плоскостью, а ось z на­ правив перпендикулярно к ней. Пусть при этом начало координат соответст-

Но из последних двух достаточно задать одну любую координату, чтобы вто­ рая определилась из соотношения (хв~~хаУ+ ( 2 ß — R ) 2 = P . Таким образом, выбирая переменные произвольно, можно отобрать из них только две, чтобы при их посредстве однозначно задавать положение рассматриваемой системы. При этом вовсе не обязательно выписывать, как это делалось выше, кон­ кретные выражения связей; достаточно убедиться, что связи определяются зависимостями лишь между координатами.

Итак, число степеней свободы равно двум. В качестве независимых обоб­

31

Вал может вращаться в подшипниках и приводится в движение прило­ женным ко второму диску вращающим моментом M(t). В течение некоторого времени вслед за пуском системы, когда средний диск успевает повернуться под действием момента на малый угол, крайние диски вследствие инерции остаются неподвижными; происходит скручивание вала. Накапливается по­ тенциальная энергия упругой деформации, переходящая затем в кинетическую

фэнергию вращения дисков. Возникают крутильные колебания вала, налагаю­ щиеся на его вращение вокруг оси.

Жесткости на скручивание участков вала между средним и крайними ди­ сками равны СГ| и Ö 2 . Моментами сил сопротивления можно пренебречь.

M ( t )

Рис. 6.

Считая, что момент инерции вала относительно его оси пренебрежимо мал по сравнению с моментами инерции дисков, придем к заключению, что число степеней свободы системы равно трем. В качестве независимых обобщенных координат выберем углы <р„ ср2, <р3, характеризующие поворот каждого из дисков из начального положения, когда участки вала между дисками не были закручены. В этих координатах кинетическая энергия си­ стемы представится выражением

7 , = т ( Л ? ? + ^ 2 + / 3 ? 1 ) ,

законам Ньютона, дает совокупность аксиом, на которой осно­ вывается электротехника.

Так называемая электронная теория, учитывающая атоми­ стическое строение электричества и базирующаяся на квантовой теории, не находит в электротехнике существенных применений.* Целям и задачам электротехники удовлетворяет макроскопиче­ ский подход к электромагнитным явлениям, использующий представление о непрерывном распределении зарядов. В этом электротехника следует механике, где впервые Л. Эйлер создал модель сплошной среды.

О своей теории Дж . К. Максвелл говорил в трактате, что она является лишь математическим выражением идей М. Фарадея. Интересно отметить, что для разработки теории он использовал аппарат механики, достигшей в его время своих классических вершин, и неколебимо верил в непогрешимость ее принципов. Между тем именно теория Максвелла послужила тараном, про­ бившим брешь в основах классической механики. Эксперимент подтвердил, положение Максвелла об электромагнитной природе света; было установлено, что скорость света в вакууме является предельным значением скорости, достижимой в природе. Тем самым была подготовлена почва для возникновения теории от­

проницаемостями. Величины и направления векторов, характе­ ризующих электромагнитное поле, устанавливают с помощью представлений о величинах и направлениях механических сил, а само электромагнитное поле определяется как область прост­ ранства, в которой обнаруживаются электрические и магнитные силы.

вляются в условиях, позволяющих игнорировать различные внешние воздей­ ствия. Дело в том, что макроскопические электромагнитные характеристики среды могут изменяться, например, при изменении температуры. Д л я установ­ ления соответствующих зависимостей используют микроскопические модели, среды.

34

ческого тока будет связан с током смещения в диэлектрической прослойке между его пластинами, причем величина тока сме­ щения будет совпадать с величиной тока проводимости в про­ воднике. Совокупности источников электрической энергии, про­ водников и конденсаторов, через которые могут пролегать замк­ нутые линии токов, складывающихся из токов проводимости и токов смещения, называют электрическими цепями. Ток в элек­ трической цепи неразрывно связан с электромагнитным полем. Зависимость тока от времени может быть установлена из урав­ нений Максвелла. Однако можно указать целый ряд приклад­ ных областей, содержанием которых является изучение процесса тока в электрических цепях в отвлечении от электромагнитного поля. Раздел электротехники, посвященный таким исследова­ ниям, порожден запросами практики и носит название теории электрических цепей.

Ток, не зависящий от времени, называют постоянным, или стационарным. В цепях постоянного тока линии векторов элек­ трического поля направлены вдоль проводника, а линии векто­ ров магнитного поля лежат в плоскостях, перпендикулярных направлению тока, представляя собою нанизанные на провод­ ник концентрические окружности. При разрыве цепи проявление электромагнитного поля сводится только к полю электриче­ скому. Когда полюса источника энергии замкнуты накоротко, электромагнитное поле сводится к магнитному полю.

пробного положительного заряда, внесенного в эту точку.

Разностью потенциалов « ( А / , ) — ср (М-,) двух точек поля при­ нято называть работу, совершаемую силами поля при пере­ мещении единичного положительного заряда из одной точки в другую:

* Потенциалом или потенциальной функцией в механике называют функ­ цию, отличающуюся противоположным знаком от потенциальной энергии.

30

В практической электротехнике для придания однозначности функции ф(ЛІ) считают равным нулю потенциал земли. В фи­ зике обычно полагают, что нулевое значение потенциала дости­ гается на бесконечности. Тогда величина потенциала точки M электрического поля определяется равенством

оо

<р(Ж) = J E - r f h .

пользуется термин «напряжение». Напряжение обозначают

Положительное направление напряжения полагают совпадаю­ щим с положительным направлением тока, считая, что ток течет от точки с высоким потенциалом к точке с более низким потен­ циалом.

Электромеханические генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы и другие устройства, служащие источниками энергии для электрической цепи, преобразуют механическую, химическую, тепловую или иные виды энергии в энергию элек­ трического поля. Электрическое поле, создаваемое источниками, имеет неэлектрическое происхождение и локализуется внутри источников. Это поле принято характеризовать вектором Ее , который называют сторонней напряженностью. Циркуляция вектора Ее вдоль контура электрической цепи имеет отличное от нуля значение на пути, лежащем внутри источника; эта вели­

величины токов и напряжений в каждый момент времени рас­ пределяются между участками этих цепей так, что это распре­ деление с достаточной степенью точности можно считать совпа­ дающим с аналогичным распределением в цепях постоянного тока соответствующих значений. Электромагнитные процессы в цепях квазистационарных токов развиваются со временем как непрерывная последовательность стационарных состояний, от­ вечающих каждому фиксированному моменту времени. Возмож-

37

ность подобного представления возникает всякий раз, когда ли­ нейные размеры цепей сравнительно невелики и частоты элек­ тромагнитных процессов относительно малы. При этих условиях за тот ничтожно малый промежуток времени, когда электромаг­ нитная волна успевает обежать цепь, ток не успевает заметно измениться. Поскольку скорость распространения электромаг­ нитных волн в проводниках, вообще говоря, сопоставима со ско­ ростью света в вакууме, то в случае периодических токов усло­ вие квазистационарности можно записать в виде

КсТ,

средотачивается в диэлектрике между пластинами конденсато­ ров. Условие квазистационарности соблюдается только в случае достаточно узких щелей между пластинами. Поэтому допуская незначительную погрешность, можно считать линии токов про­ водимости для цепей квазистационарных токов замкнутыми так же, как и для цепей постоянного тока.

Реальной электрической цепи квазистационарных токов эквивалентна цепь, составленная из двухполюсников, каждый из которых соответствует участку цепи, сосредоточившему одну из характеристик электрического тока как физического про­ цесса. Можно установить, что любую цепь можно представить комбинацией пяти видов двухполюсников. Виды этих двухпо­ люсников приведены в табл. 1, в которой наряду с наименова­ нием, зависимостью между напряжением и током даны условные знаки двухполюсников, с помощью которых цепи изображают графически в виде схемы.

Перейдем к кратким характеристикам двухполюсников. Источники энергии, приводимые в табл. 1, являются идеали-

зациями реальных источников без учета происходящих в них внутренних процессов. Эти идеализации предполагают, что мощность, вырабатываемая источником, несоизмеримо больше мощности, потребляемой цепью.

Источником э.д.с. называют такой источник энергии, э . д . с . которого предполагается известной функцией времени, не зави­ сящей от величины протекающего через источник тока. Внутрен­ нее сопротивление источника э . д . с . считают равным нулю. По­ скольку источник э . д . с . является идеализированным отображе­ нием реального источника, учет реального внутреннего сопро­ тивления осуществляется вынесением его из источника э. д. с. и подключением последовательно с источником.

Источник тока генерирует ток, величина которого опреде­ ляется заданной функцией времени и не зависит от соцр.отивле-

38

ния цепи, подключенной к источнику. Этот идеализированный источник наделяют бесконечно большим внутренним сопротив­ лением, а внутреннее сопротивление реального источника пред­ полагают подключенным параллельно источнику тока.

Условными обозначениями идеализированных источников •служат кружки с тильдой — знаком переменного тока; у круж­ ка, изображающего источник э . д . с , надписывается буква е, источник тока — і. При использовании схем для расчетов цепей

положительные направления э. д. с . и тока, соответствующие выбранному моменту времени, указывают с помощью стрелок рядом с кружками, обозначающими источники. Для цепей по­ стоянного тока этими стрелками заменяют знак переменного тока, внося их внутрь кружков, изображающих источники.*

Двухполюсник, представленный сопротивлением R, характе­ ризует участок цепи, где электрическая энергия необратимо рас­ ходуется на нагревание проводника. Величина сопротивления •определяется по закону Ома для участка цепи

39