книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

Подставив выражения токов ветвей из (2.16) в (2.22) и (2.24) и выражения зарядов ветвей (2.25) в (2.23), представим элек­ трокинетическую и злектропотенциальную энергии, а также электродиссипативную функцию в виде функций лишь с\ неза­ висимых величин qj и Oj, соответствующих зарядам и токам хорд.

Из определения э . д . с . (1.33) вытекает, что эта величина представляет собою механическую работу сил стороннего элек­ трического поля источника, совершаемую при перемещении зарядов, отнесенную к величине зарядов. Для определения обобщенной электрической силы Ej вычислим работу, совер­ шаемую источниками э. д. с. при перемещении элементарных зарядов

Подставив это значение вариации заряда в выражение для эле­ ментарной работы 6А, "обобщенную силу Ej найдем как коэф­ фициент при ô<7; в этом выражении:

принимает значение, равное -щ^ , если этот элемент — емкость; и равное

àDe

— , если j-л элемент — сопротивление. dqj

Можно убедиться в том, что электрокинетическая энергия Те представляет энергию магнитного поля, а электропотенциаль­ ная энергия Пе — энергию электрического поля цепи квазиста­ ционарных токов.

ПО

При протекании постоянного тока энергия источника расхо­

превышающая мощность источника. Эти явления связаны с возникновением э. д. с. индукции

It

и могут быть объяснены тем, что при возрастании тока часть мощности источника затрачивается на образование магнитного поля, а при убывании нагревание происходит не только за счет энергии источника, но также и энергии магнитного поля.

Рассмотрим сначала случай, когда цепь содержит единич­ ный контур, обладающий индуктивностью L . При протекании тока напряжение на индуктивности

С подсчитаем как работу, совершаемую при его зарядке. На­

Если величина заряда конденсатора в процессе его зарядки возросла от 0 до q, то энергия электрического поля заряжен-

111

•лого конденсатора, отождествляемая с электропотенциальной энергией:

Ч

о

Обозначив общую электромагнитную энергию последова­ тельной цепи, содержащей индуктивность и емкость, через W,

Результаты, полученные для одиночных индуктивности, ем­ кости, сопротивления, могут быть легко распространены на лю­ бое количество этих элементов.

Так как каждой индуктивной связи между контурами всегда может быть соотнесена эквивалентная кондуктивная связь, то

или после перегруппировки слагаемых

Если последнее выражение есть полный дифференциал, то из •него следует, что

можно предположить и другой порядок изменения токов от ну­

Отсюда получим следующее выражение для электрокинетиче­

в подынтегральном выражении сохраняло неизменной свою ве­ личину, поскольку его значение не связано с изменением тока в контуре. Аналогичным образом, если цепь из двух контуров

сцеплений будут содержать постоянные слагаемые, не завися­

где коэффициенты /у.Е представляют собою линейные комбина­ ции L j k , fj — линейные комбинации потокосцеплений

и величин Lßin, a i t —функция заданных токов іт источников. Воспользовавшись уравнениями (2.16) для определения за­ рядов ветвей и подставив найденные значения в (2.23), выраже­

ние для электропотенциальной энергии приведем к виду

где rjft — линейные комбинации сопротивлений Rn, р3- линейно выражаются через произведения Rnim, a d\ зависит только от заданных токов іт источников.

использовать метод уравнений Лагранжа второго рода для опи­ сания как механических, так и электрических процессов в этих системах. Выбор был обусловлен тем, что форма уравнений Лаг­

114

Т Тт -\- Те -\- Тте,

где

Т= —

1 m 2

представляет собою однородную квадратичную функцию про­ изводных по времени лагранжевых координат (независимых обобщенных механических скоростей) и носит название механокинетической энергии;

' е 2 2 S

является квадратичной функцией производных по времени максвелловых координат- (независимых токов) и называется элек­ трокинетической энергией;

л .

является в том случае, когда и лагранжевы и максвелловы ко­ ординаты изменяются одновременно. Максвеллу принадлежат остроумные замыслы и осуществление экспериментов, направ­ ленных на доказательство существования механо-электрокинети­ ческой энергии. Однако обнаружить ожидаемые эффекты не уда­

этой составляющей по сравнению с механокинетической энер­ гией Тщ и электрокинетической энергией Те.

Изложенное выше дает основания полагать, что кинетическую энергию ЭМС составляют два слагаемых

т=тт+те.

Аналогичным образом могут быть представлены и полная по­ тенциальная энергия и полная диссипативная функция ЭМС:

П = П„ + П „ D = Dm + De.

Уравнения Лагранжа—Максвелла представляют собою взаи­ мосвязанные совокупности уравнений, записанных в форме

вал «пондерокинетической» и «электро-пондерокинетической» энергиями. Эти термины, происходящие от латинского слова pondus (родит, падеж ponderis), означающего вес', указывают, что энергия представляет собою энергию дви­ жения тел, обладающих весом.

116

тенциальной энергии, электродиссипативной функции и опреде­ лена обобщенная электрическая сила Еѵ.

Взаимные члены механических и электрических уравнений совокупности (2.31) возникают при наличии зависимостей вида

раграфе, входят в состав коэффициентов при независимых элек­ трических обобщенных скоростях в выражении электрокинети­ ческой энергии, четвертая группа величин — в состав коэффи­ циентов при независимых максвелловых координатах в выра­ жении электропотенциалыюй энергии. .

§ 9. Вторая форма уравнений Лагранжа — Максвелла

Идею уравнений Лагранжа—Максвелла можно трактовать

жить, что расширение состава координат можно осуществить также, прибегая ко второй системе ЭМ-аналогий. Если для двух величин

Ь2 = $ — і\ — X, с, = а — 3 — Ê-fX,

характеризующих электрические цепи, входящие в состав ЭМС, выполняется неравенство

h < c u

то использование второй системы ЭМ-аналогий является, без­ условно, целесообразным; число электрических степеней свобо­ ды, а следовательно, и количество уравнений при этом умень­ шается.

Будем называть второй формой уравнений Лагранжа—Макс­ велла уравнения ЭМС, составленные по методу Лагранжа с привлечением второй системы ЭМ-аналогий, в отличие от пер­ вой формы этих уравнений, рассмотренной в предыдущем пара­ графе.

Для второй формы уравнений Лагранжа—Максвелла в ка­ честве электрических координат избираются покотосцепления в обобщенном смысле, т. е. величины, определяемые равенст­ вом

117

где и , ( t ) — напряжение ѵ-го элемента электрической цепи, входящей в состав ЭМС. Потокосцепление tyv является одним

Первые слагаемые в выражениях Т, П и D — механические составляющие этих функций — не претерпевают изменений при переходе от первой ко второй форме уравнений Лагранжа— Максвелла. Выясним, к какому виду приводятся выражения для электрических составляющих этих функций.

Электрокинетической энергией Те во второй форме уравнений Лагранжа—Максвелла служит энергия электрического поля, выражение для которой определялось формулой (2.23). Подста­ вим в эту формулу зависимость заряда конденсатора от разно­ сти потенциалов между его пластинами:

Для тех элементов электрической цепи, которые являются иидуктивностями или взаимоиндуктивностями, потокосцепления Tjjj представляют потокосцепления магнитных полей самоиндук­ ции и взаимной индукции. Применяя обозначения, использован­ ные в выражении (2.26) для энергии магнитного поля электри­ ческой цепи, будем иметь

а—с2

<!>)= 2 Ljkik (y = * i + l , . . . , « — со).

Напомним, что по определению коэффициентов Ljk потокосцеп­ ление ipj, выражаемое последним равенством, тождественно рав­ но нулю, если /-й элемент не является ни индуктивностью ни взаимоиндуктивностью. Отбросив все остальные элементы (т. е. сопротивления, емкости и источники энергии), для индуктивностей и взаимоиндуктивностей введем новую нумерацию

При этом совокупность / выражений для потокосцеплений

1 1 8

будем рассматривать как систему уравнений относительно / то­ ков. В силу физических 'условий матрица коэффициентов Ljh этих уравнений является неособенной. Элементы обратной мат­ рицы обозначим ГЙ; -. Тогда

7=1

Подставим эти значения токов в выражение (2.26), вновь вер­ нувшись к сквозной нумерации всех элементов. При этом полу­ чим

или

а — f j et—

По закону Ома

ния (2.14) независимых контуров играют роль уравнений кине­

119