книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

откуда

, о

Гы>с

/

(4.24)

1

ч

" ~ R

^

~ ^ і ^ ) '

где шо — с/т. '

Первое и второе

из выражений (4.24) абсолютно совпадают

с выражениями для

амплитуды и фазового сдвига чисто вынуж­

денных колебаний.

\

выражение относительно

е ,

будем иметь:

g -

^ c

+

, „ ,

, k% , „ , .

(4.24)'

•»'"'K - ' - cf+ r*

г д е

« i =

—

,

« 2 = - Ô ;

•

При

r~0

угловая скорость

шс — — <?.

В

системе

координат

(е, шс) построим прямую

e = klu>c

и кривую

Кривая проходит

через

начало

координат,

имеет максималь­

ное значение г

при

<пс = -L

Y-j

[2/ис r2 - f У (2тс — r 2 ) 2 + 12m2 c2 ]

и при

©с-ѵсю асимптотически приближается

к оси.е = 0.

—

Складывая

абсциссы

прямой

и кривой, соответствующие од­

жимов,

определенных равенствами (4.24). С этой

целью выра­

жения

(4.22) для искомых функций подставим

в уравнения

(4.21). Поскольку первые слагаемые выражений

(4.22)

удовле­

творяют условиям (4.22)' и (4.23), полученные уравнения

можно

шАсш -f- 2mwcÀ -f- гАс<о -f- гшсА — q/ß cos ßc = 0,

2mwcAc$ — 2т<і>сАс<л~\-т(шІ — «>l)A - f

sin ßc =

0, ^ ^

21va -f- 2pcu - j - cJA sin ß c + c1 /i4c ßsinßc — 2*и1 г' =

0,

ности,

употребить неравенства

Гурвица,

использованные

ранее

в

§ 8 гл. I I I .

Заметим,

что

неравенство

с4 > 0

выполняется

одновремен­

ное

но с неравенством —^- >

0.

Действительно,

дифференцируя

выражение

(4.24)', после

подстановки

значений

коэффициентов

kt

и k2

получим

+

Г Ѵ ] 2

+

rRc\P

[m2 (0)2

_

w 2 )

(«.g+

3 ( 0 2 ) -

Г2 и)2] } .

Сопоставляя

полученное

равенство

с выражением

для

коэф­

фициента

си

найдем

с 4 =

2х„Ис

[

^ {

< ~

< )

2

+

^ І } ц ~ -

(4-26)

Таким

образом, можно

утверждать,

что если - ^ — < 0 >

то

нарушается

необходимое

условие

устойчивости

стационарных

режимов.

На

Обратимся

вновь к рассмотрению

зависимости

<яс

— ш с

( е ) .

кривой,

представляющей

эту

зависимость (рис. 55, а),

не-

de

MP.

равенство

- ^ — <

0 выполняется в точках участка

В

этих

перемещения платформы

с двигателем,

ф — угол

поворота

вала

двигателя, q — величину

зарядов,

протекающих

в обмотке

его

якоря. Воспользуемся

методом уравнений

Лагранжа — Макс­

велла.

Скорость груза пі\ складывается из

переносной скорости х

и относительной скорости

Іц>. Векторы

этих

скоростей изобра­

жены на рис. 49. Квадрат полной скорости равен

V2 =

х2 -f- /2 ср2 -\-

2ІХФ

cos

'-р.

пативной

функции

рассматриваемой

системы

будут

иметь вид

T ~ Y пгх2

+ \

Іт -f- m у Ix's cos

cp

- j -

~ L i2

+

17,

I I = ~ с (x — xcr)2

- f mgx

+

mxgl

(1 — cos <p),

D = ±{rx2

+ P?2

+

RP),

где i = q,

абсцисса

xQX

определяет

положение

статического

равновесия.

Здесь использовались обозначения, смысл которых ясен из

предыдущего, с тем только отличием, что

m = m0~\-

1 = /0 + mj2,

где /о — момент инерции якоря

двигателя и связанных с ним де­

талей относительно оси вала.

Уравнения Лагранжа—Максвелла запишутся в виде

тх 4- тх -\-cx-\-

mjf

cos <р — mxlvf- sin ? =

О,

/? + p<p +

/M^coscp-T -/rc1 g/sincp

— хи 1 і =

0,

(4.27)

х иі? +

Li + Ri — е.

Осуществляя

в

уравнениях'

(4.27)

замену

переменных

(4.18) — (4.19) и

выполняя

преобразования,

аналогичные опи-

санным'в

§ 4 гл. IV, приходим

к системе

уравнений

тАш -f- тАш cos2

z — тАш2 cos z sin г 4- гAu cos2 z -\-

+ cA cos z sin zт^іш

cos {z 4-

p) cos z — «ij/ш2 sin (z 4-

ß) cos z = 0 ,

m Aw cos zsïnz

— mAw? sin2

2 4-

тАю§ 4~

cos 2 sin z 4-

+ сA sin2 г: - j - /га, Zw cos

(z -f- S) sin z—mjia'2

sin (z-(-ß)sin г—0,

(4.28)

/со - J - рш - f тх1

(Аш cos

г - ) - Асо cos

.2 —

Асо2

sin z

-f-

+

АшЗ sin г ) cos

( г -f- ß) -f- /ra^Z sin (z +

ß) —

х и 1 /

== О,

у-и1со +

Li

-\-

Ri =

e.

После выполнения операции осреднения система уравнений

(4.28) преобразуется в уравнения вида

тАш

-f- у тАш

+

у

r А со -f-

у

/«l Zcu cos

ß — у~//г^со2 sin

ß =

0,

— - i - /гсАш2 -+_- /пАсоЗ

- f

-i- с A

—

]y /га, Zw sin ß —

« I / I D 2

cos

ß =

0,

(4.29)

/со - j - pco - | - y / / l , Z

( À w -f- Aw) COS ß +

y//Xt ZAw (w — ß) sin ß — хи 1

г = 0,

•/.и,w

Li

-\-Ri =

e.

Если

соблюдаются

равенства

(4.22)', из

системы

(4.29)

по­

гАс сос — ШуЫІ sin ß c = 0,

mAcu)l — сАс +

cos ß c

= О,

ршс - j -

Y WÎJZAC Wc sin ß c — хи1г'с =

О,

откуда

Zc —.-^-(е —к„і<»с),

tg?c =

/ Г "

2 , ,

'

(4..30)

/и(со0

— 0>J

— C ü r

Sin ßc

pcoc + y mJA^l

sin ß c

=

- ^ - (e — *„iwc).

Разрешая последнее

из

равенств

(4.30)

относительно

е, по­

лучаем

*

<? =

k^c

-f- ——- g — 3 2 ч с 2 ,

о

,

(4.30)'

" ' - ' ( • " О - ^ У Ч ^ - с

где

' • H l

Z A H

1

Если г = 0, то мс =

При

f" >

^ — cm ^ 0,ö09 ста

кривая

k,

e -—

ся к прямой

е = —n-toc.

r

m1 с

Если

г - <

g-1 —cm, то при

шс

= ~

Y

Y

[3 (2сот — г-) — Ѵ$

(2с m — г2)2

— 20с2т2}

кривая

достигает

максимального

значения, а при

шс

= - і -

] / у

[ 3 (2сяг — г2 ) +

] / 9 (2с/и — г-)2

— 20с2/га2]

— значения

минимального.

е=кхшс,

Складывая

абсциссы этой кривой

и прямой

соот­

(тАс-\-тЛcos

ßc) ш + (гЛс

— 2тхЫ\sin

ßc ) со -f-

-4- 2/П(осА - j - гсосЛ —

cos ßc =

О,

тх1ш sin Pc +

2 (стЛс -f- /гех/ cos ßc ) сосш — m (COQ — u>c) Л —

— 2/иЛс шс р —-mj/cüoßsin

ßc = 0,

(4.31)

( 2 / - f W|Mc cos ßc ) со + 2 (p +

т,/Лс сос sin ßc ) ш +

+ mJiùcÀ

cos

ßc +

т{1ш2сА

s i n ß c

/ г с ^ Л ?

sin ßc

+

+

ff^/m^ß cos

ß

c

—

2—

И 1 І

= 0,

У.

х и і № + Li-\-Ri

= 0.

Построив для

системы

(4.31) характеристическое

уравнение

с01* + ctl2

+ с2\3

+ c3l + с, = О,

заметим, что соотношение

(4.26)

имеет место и при данном спо­

Отличие от первого

способа возбуждения колебании

состоит

в том, что последнее

неравенство

осуществляется

лишь

при ма­

лых значениях коэффициента

механического

сопротивления,

когда

г2<

•2

J/5

ст.

У

Ѵст

х =

Лю0 cos (? — §).

(4.19)'

Это предположение сужает

область применимости

результатов.

ний, так как в этом случае Я входит лишь

в элементы главной

диагонали соответствующего определителя.

При использовании (4.19)' для первого

метода возбужде­

ния найдем

Ас=-

/

(4.33)

о0

Г2 + Arrï* (<о0 — юс )2

* Содержание

параграфа составляет изложение работы, выполненной

Л . В. Колпаковой

(Вестник ЛГУ, 1971, № 13).

T

=

Y mx2-\-YIif

\

+4"^2

+

r>hhxf

2 cos ср2 - f

+ у

L/l +

Уік + \

/-2*2 + ^ 2

І 2 ,

П =

у

c0x2^r-jcl

(х — / , sliï<?i)2+

т31&

(1—cos <p2),

D

= -j ГЛ2 +

j

Plcp2 + I p2 ? 2

+

-g- / ? t / i + 4- # 2 / 2 .

ствующих параграфов и рис. 57.

Будем

полагать, что двигатели і и 2 питаются источниками

постоянных э.д.с. в\

и в2. Для индукционных

коэффициентов

ЭМ-связи применим обозначения

Тогда получим

следующие уравнения

Лагранжа—Максвелла

рассматриваемой

системы:

тх-\-гх

+ сх — сгІх

sin ср, — mJ-,f2 c o s

Ъ + "МгТг s ' n Фг,

A ? l + PlTl = V

i + ^ / ^ C O S ср, — Cj/l Sin cpt COS (pi,

АТг +

P2T2 =

V*2 — я М з * cos ?2

— m2l2g

sin cp2,

(4.34)

нарных синхронных ротационных режимов в резонансном

диа­

пазоне, будем искать

решение

системы

уравнений (4.34)

в

виде

« Р і = ° і Ï«P (О — (0],

? 2 = = а ? ( 0 , -§- = «>(*).

8

іп[<р(*) -

р(*)], х =

.4(*)«>о cos [<?(*)-?(*)],

(4.35)

х = Л(*)

Ф

h = M { t ) ,

i 2

—

i 2 { t ) ,

где коэффициенты aÄ (& =

l , 2)

р а в н ы + 1, если вращение

про­

исходит

в положительном

направлении,

и — 1 — в

противном

случае,

ш 2 = с / / и .

Из

предположения о

характере

производной х

вытекает

условие

À sin (<р — 8) — А3 cos

(ср — В) =

Л ( М о

— со) cos (с? — 3).

(4.35)'

s Ti .

г \ ,

Ä = e82,

r

• Pi'-Pi

Р2Т2

(4.36)

(Ï'I,

ш> ф),

: е | А , (/о, <«>),

m

; £ ; A I

4

где е — малый параметр.

Первое

из равенств

(4.36) выражает

малость «расстройки

частот», т. е. предположение

о близости рассматриваемых зна­

системы

(4.34)

переходим к эквивалентной

ей при

сделанных

предположениях системе уравнений:

А =

е -

vA cos2

(<р — ß) - f -^-

sin (<р — ф) cos (? . — ß)

+

2 V ° 2

sin cp cos ('-p — ß) + *2

(-..),

J

^

9

-

V sin (cp — <]>) cos (<p — ф) +

- ^ 4 - Tls

i n

(? ~

4*)s

i n

(<P — ß)

+

+ • Ä - 8 l 0 ) 2 s l n "Ps i n

(? - ß) - i l + £

2

• ) •

( 4 - 3 7 )

со =

s [a2o2co2A COS tp sin (9 — ß) — 82g- sin cp +

O 2

L I 2 ] -f- s2

(. . .),,

ф =

Ѳ,

Ö =

s [а2 |л2 — ai\i1

-\-

а2 о2 шоЛ COS cp sin (cp — ß) —

— а ^ Л sin

(cp — ß)cos(cp— Ф) - f ifa/j sin (cp — <l>)cos(cp—tb)] + e2 (.

. .),

/jj 2 =

- y - (e2 — R-Jo

-

//.,co-.f cTj/jö),

=

-j-iex

— Rih

—

3 ^ , ( 0

Выполняя

операцию

осреднения,

получаем

Л =

2/я

2

C l / l :

S i n ( ß - ^ + - f - . ^ a > 2

S i n ß ,

т и 0

/ио>о

—

«

+ і

-

^

4 cos (ß -

Ф ) +

-

f

-

^

COS ß,

' а 2 х 2 г 2 —

P 2 t 0

— Y

ЯІЪІ2ЩА

sin

ß^

,

(4.38)