Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

рассматриваемую сумму	приведем к виду
V	"	^і. — JL1L —дЛ
Равенство (1.22) определяет		кинетиягскую	энергию системы Т.

Теперь, используя полученные результаты, исходное урав нение (1.9)' перепишем в форме

Последнее равенство ввиду независимости вариаций bhyK выпол няется тогда и только тогда, когда для любого значения \\ рав ны между собою коэффициенты при ô/ip, в его левой и правой частях:

					*	" L = p u				(1.23)
					( ц = 1 , 2, . . . . п).
Подставив в правые части равенств (1.23) выражения обоб
щенных	сил Pfl,		а	в	левые	части — выражение			кинетической
энергии	системы		Т	через независимые			обобщенные			координа
ты и скорости и выполнив предписываемые								этими	равенствами
операции, получим систему п обыкновенных								дифференциальных
уравнений		второго		порядка		относительно		независимых обоб
щенных координат Лц. Интегрирование этой								системы		уравнений
позволяет		установить			закон	движения	механической			системы
в виде	зависимостей				Лц = Лц(0. однозначно			определяющих по

ложение системы в любой момент времени, если значения 2п

постоянных		интегрирования определены из				заданных началь
ных условий.
	Уравнения движения			голономной	системы,		записанные в
форме (1.23), носят название уравнений Лагранжа								второго ро
да; часто их называют просто уравнениями						Лагранжа,			ввиду
того, что так называемые уравнения					Лагранжа		первого		рода
(с	неопределенными		множителями)		применяются			относитель
но	редко, в	то время	как	уравнения	Лагранжа		второго		рода,

обладающие рядом преимуществ по сравнению с другими фор мами уравнений движения, широко используются для изучения движения голономных систем. ,К числу этих преимуществ отно сятся: минимальное количество уравнений, равное числу сте пеней свободы; отсутствие надобности в определении реакций связей; широкие возможности выбора обобщенных координат, которые могут иметь различную физическую природу; и, нако нец, единообразие операций составления уравнений движения.

Найдем выражение кинетической энергии механической си стемы в независимых обобщенных координатах, необходимое

для составления уравнений Лагранжа. Исходя из равенства (1.17), получаем

V v - V SS dr..

dhx dh».

T ^ T 7 = 1

11=1

Поэтому для кинетической энергии системы, определяемой ра венством (1.22), будем иметь

Т=-

sa** s

ôr„

ОГ„

Oft,

X = l

р.=1

, і = 1

Л7

v = l

•s

Введем

обозначения

v = l

dh,

111

âf '

0 ~

ôf

àh..

v = l

Скалярные величины а%п,

и Т0

зависят

от обобщенных

коор

динат

и, вообще

говоря,

от

времени;

обобщенные

скорости в

их выражения не входят.

Теперь кинетическую

энергию

системы

можно

представить

в виде суммы трех

слагаемых

T=T2+Tt

+ T0,

(1.24)

где 7V

Х=1

|і=1

і і = 1

Слагаемое Т2 содержит члены

второго порядка

относитель

но независимых обобщенных скоростей; в выражение Т\

обоб

щенные

скорости

входят

линейно;

слагаемое

же Т0, как

уже

было отмечено, от обобщенных скоростей не зависит.

Если связи стационарны, то в

выражении

(1.10)' для

ра

диус-вектора гѵ время

t явно

не входит. В этом случае

7-0 =

Ь^О

7 =

Т, :

V Ѵ Л •

0-25)

X = l

[і=1

Кинетическая энергия голономной системы, подчиненной ста ционарным связям, представляется однородной квадратичной формой независимых обобщенных скоростей.

Подставив выражение (1.25) влевыечасти уравнений (1.23), убедимся в том, что уравнения Лагранжа имеют вид обыкно венных дифференциальных уравнений второго порядка:

([і = 1, 2, . . . , n).

Нетрудно установить, что и в случае нестационарных связей можно прийти к аналогичному заключению.

Обобщенные силы Р^, согласно определению, служат ко эффициентами при вариациях независимых обобщенных коор- ' динат ehß в выражении элементарной работы всех активных сил, приложенных к механической системе, на ее возможном перемещении. Для вычисления обобщенной силы системе придают такое возможное приращение, когда все независимые обобщенные координаты, за исключением hß, остаются фикси рованными, а эта координата получает приращение о/гц. Вы числив сумму элементарных работ всех активных сил ЬА^ на таком перемещении, искомую силу находят по формуле

р- і ^ .

	Сила	F v называется			консервативной, если она зависит толь
ко от координат, и ее					проекции		на декартовы	оси определяют
ся	равенствами
		р.		дЛ	р		Ш	0П
		Г - х	—	дхѵ	'	**** — -	' t " z — -	'
где	функция		координат
называется потенциальной						энергией.
	Если все активные силы, приложенные к механической си
стеме, консервативны,					то	сумма	элементарных	работ этих сил
на	возможном			перемещении системы может быть представлена
в виде
		ѵ=1				ѵ=1
Наличие		взаимно-однозначного					соответствия	позволяет выра-

зить вариации декартовых через вариации независимых обоб щенных координат: #

Подставив значения вариаций декартовых координат в выраже ние суммы элементарных работ, получим

Л	дП дхѵ , 011 дУ* , дП Згѵ

(JL = 1

V =

т. е.

8А = -

откуда

(1.26)

В этом случае уравнения Лагранжа перепишутся в форме

дТ

ЭП

или,

так

как

потенциальная

энергия

не

зависит от

обобщен

ных

скоростей,

д(Т—Щ

д ( 7 — I I )

_ Q

g},.

Введем

функцию

= = Г - П

= І ( V ,

ЛѴ, *),

называемую

функцией

Лагранжа,

или кинетическим

потен

циалом.

Тогда

последние

уравнения

примут вид

I L

- I

L ^

( 1 .27)

(l* =

l ,

2, . . . ,

/г),

в котором уравнения Лагранжа записываются для голономной системы, находящейся под действием консервативных сил.

Если время не входит явно в функцию Лагранжа, то легко получить первый интеграл уравнений (1.27). Действительно, (з этом случае

Заменяя производную функции L по координате	ее значе
нием из (1.27), получаем

Последнее равенство представляет первый интеграл уравнений Лагранжа, который называют обобщенным интегралом энергии.

При стационарных связях этот интеграл выражает закон сохранения механической энергии Е, под которой понимают сумму кинетической и потенциальной энергии системы. Дей

ствительно,	в этом случае кинетическая энергия является
однородной	квадратичной функцией	обобщенных скоростей
(1.25), и для нее, по теореме Эйлера		об однородных функ
циях, соблюдается соотношение

Поскольку —г- = 0, подстановка последнего соотношения

в выражение обобщенного интеграла энергии и приводит к за кону сохранения механической энергии

2Т — L =2Т— ( Г — П) — const

или

Е — const.

Теперь рассмотрим случай, когда среди активных сил, дей ствующих на голономную систему с идеальными связями, имеются силы сопротивления, направленные противоположно скоростям материальных точек и им пропорциональные

F = —	k \ .
V	V V
В этом случае для составления	уравнений Лагранжа удобно

использовать так называемую функцию рассеяния Релея, или диссипативную функцию.

Согласно (1.21), обобщенная сила сопротивления, соответ ствующая координате h , равна

		.V				N
							V V
Воспользовавшись		тождеством				(1.18),	приведем выражение
этой	силы к виду
	Р _ _ у		А у . ^ _ _ 1 _ 1 Ѵ А Ѵ 2
	>Ѵ -	Z j	ß v V v	,	-	2 dÄ	Z i * ' V *
И Л И
			P = - ™ - ,				(1.28)
где	выражение
			D = ^			V A v2
						tel
определяет диссипативную					функцию.
Если связи стационарны,				то
						п
			dt			JiJdh	V-

В этом случае выражение диссипативной функции примет вид

Х - І р.= 1

где
- V * i ü	І^
Предположив, что все силы,	действующие на механическую
систему, кроме рассмотренных	сил сопротивления, • консерва

тивны, и повторив рассуждения, с помощью которых был вы

веден закон сохранения механической			энергии,	найдем		значе
ние производной механической энергии системы
	37	= - 2 D .
	dt
Отсюда	вытекает физический	смысл диссипативной			функции:
ее удвоенное значение равно		скорости	убывания	механической,
энергии.
Консервативные силы и силы сопротивления				могут		быть
отнесены	к внутренним, если	они возникают при			отсутствии

внешних воздействий, когда механическая система совершает •свободное движение, вызванное начальным возмущением. В этом случае при составлении уравнений Лагранжа выражения (1.26) и (1.28) для обобщенных сил часто переносят в левую часть, оставляя в правой части обобщенные силы, характери зующие внешние воздействия на механическую систему

dt dh\x

^ + Л І ^ + д Ѵ

{

}

(1*= 1,2, . . . , я).

			§ 5. Составление уравнений движения
	При составлении		уравнений	движения конкретных				механи
ческих систем в форме уравнений					Лагранжа часто		оказывают
ся	удобными	приемы	вычисления		кинетической	и	потенциаль
ной	энергии,	использующие		специфические		характеристики
движения.
	В частности, если		механическая		система совершает			посту

пательное движение, когда все его точки движутся с равными скоростями, то кинетическая энергия

N N

Ѵ=»1	• ѵ=1
N

•где	величина	M — 2	OTV называется		массой	системы.
" В случае		ѵ —1		тела	вокруг	неподвижной оси
" В случае		вращения	твердого	тела	вокруг	неподвижной оси
-Z, обозначив угловую скорость				через со, а		расстояние точки
массы тѵ от оси вращения z через sv,					получим
		N
где	величина	1=1		ѵ=1
где	величина		N
			N
			2	s2,

представляющая сумму произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от оси z, называется моментом инер ции тела относительно этой оси.

Вычислим в качестве примера момент инерции диска (или цилиндра) от носительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, при равномерном распределении массы. Пусть масса диска М, радиус R. Разобьем диск на концентрические кольца, столь тонкие, что их шириной Д/",- можно пренебречь по сравнению с радиусом г,- (рис. 2). Для і-го кольца

hi=2 m-> s v = А 2 m' =mA '

•26

г де	масса	кольца mt		равна	произведению плотности (Mjr.R-) на						площадь
кольца 2яГ(Дг;. Слоким моменты						инерции Ігі всех		колец	и	перейдем	к пре
делу	при	Д г ; - » 0 :
Окончательно
					Iz	=	^MR\
	Вычислим		теперь	момент	инерции		однородного	тонкого	стержня		постоян
ного	сечения		относительно		оси,	перпендикулярной		стержню		и проходящей
через его		центр масс		С (рис.	3).

Рис.	2.			Рис. 3.
Пусть масса стержня		M,	а длина	/. Масса любого элементарного отрезка
			M
стержня длиною	Д«ѵ	равна	/яѵ = —	Д«ѵ . Поэтому
				г/2
т. е.			V	- г/2
т. е.

Обратимся теперь к общему случаю движения							механиче
ской системы, когда		при		вычислении кинетической			энергии
можно воспользоваться			теоремой		Кёнига.	Приведем вывод
этой теоремы.						N материальными
Пусть механическая система образована						N материальными
точками. Центром масс системы называется точка							простран
ства, определяемая радиус-вектором
				N
				ѵ=1
Помимо	неподвижной		системы		координат	введем	систему
с началом	в центре	масс	С,	движущуюся		вместе с	центром

масс поступательно. Величины, определяемые относительно движущейся системы координат, будем снабжать индексом г. Тогда скорость ѵ-й точки

			Ѵ ѵ =	Ѵ С + Ѵ ѵ , .
и кинетическая энергия			системы
N					N		N
Л'
Поскольку 2	т/ч	= Мгс,		сумма
ѵ = 1
		S	«î,v,r =		AfvC r .
		V —1		как	центр	масс	все время совпа
Эта сумма равна нулю, так				как	центр	масс	все время совпа
дает с началом подвижной системы координат.
Выражение	для	кинетической			энергии	приобретает		вид
Последнее		T =		±Mvl+Tr.			Кёнига:	кинетиче
Последнее	равенство		и выражает теорему				Кёнига:	кинетиче

ская энергия механической системы равна сумме кинетической энергии ее центра масс, если в нем сосредоточить всю массу си стемы, и кинетической энергии системы в ее движении относи тельно системы координат, перемещающейся поступательно

вместе с центром масс.
	Так как движение твердого тела относительно системы,
перемещающейся		вместе		с центром масс, представляет					собой
вращение вокруг		мгновенной оси,			проходящей		через точку С,
то	Тт = -у /С 2 <«2 ,	где ІСг	— момент		инерции тела		относительно
мгновенной оси		вращения,		проходящей		через его		центр	масс,
со — мгновенная		угловая скорость			тела. Поэтому теорема Кё
нига для абсолютного			твердого тела принимает				вид
		T	= -jMv2c		+yIcz°>2-
	Остановимся на определении потенциальной энергии в двух
случаях, имеющих в практике наиболее						частое употребление.
.	Потенциальная энергия		силы	тяжести	вблизи	поверхности		Земли.	Дан

ную точку поверхности Земли будем считать началом ортогональной декарто вой системы координат. Оси х и у расположим произвольным образом в го ризонтальной плоскости, проведенной через начало, а ось г направим верти кально вверх. В некоторой ограниченной части пространства у поверхности.

Земли величину ускорения силы тяжести g с достаточной	степенью	точно
сти можно считать постоянной.
Если механическая система состоит из N материальных	точек, то	сумма
элементарных работ, совершаемых против сил тяжести при перемещении		каж -

дои точки массы /?гѵ		из плоскости ху		в положение,		определяемое аппликатой
dz^,	будет равна	,ѵ
		,ѵ
		- Я У m-'dz-'			-M%dzc,
	Л'
где	Af = ^ ? « v —масса системы. z r			— аппликата		центра	тяжести	системы.
	Потенциальную энергию найдем как интеграл элементарной работы,
взятый с обратным		знаком
		II - Mgzc		+	const.
	Предполагай, что в плоскости		ху	значение 1 1 = 0 , будем иметь
		II	=	Mgzc.
	Потенциальная	энергия. упругой		силы,	подчиняющейся		закону	Гуна.

Пусть упругая сила, действующая на некоторую точку системы в направлении координаты ft , равна нулю, когда точка находится в положении, соответст вующем значению этой координаты /г Q, а при смещении в положение h равна

где — упругий коэффициент, называемый обычно жесткостью. Тогда потенциальная этергия

1 1 =	- \ d A = c * \	- ; > о ) dh^ =	4jL	- A,l 0 )2 + const.
Постоянная обращается в нуль, если предположить, что потенциальная
энергия равна	нулю в положении /і .
Обратимся теперь к примерам составления уравнений дви
жения конкретных механических систем.
П р и м е р	1.1. Механическая система,		схематически изображенная на
рис. 4, представляет собою		два груза массами т'\ и т2, прикрепленных после
довательно с	помощью пружин жесткости		C i и с2	к неподвижной точке. На

груз пі\ в вертикальном направлении действует сила, изменяющаяся со вре

менем по гармоническому закону	Ртш\.ѵЛ.	следующими
При исследовании движения системы будем пользоваться		следующими
допущениями: а) грузы могут перемещаться лишь по вертикали,		б)	массами
пружин и силами сопротивления	можно пренебречь. Допущение а)	в	сущности

соответствует предположению о наличии голономных связей, препятствующих боковым смещениям грузов. Нетрудно установить, что число степеней свободы

равно двум. В качестве		независимых обобщенных координат h\ и hi выбе
рем смещения грузов	из	положений,	в которых	пружины	недеформироваиы.
Кинетическая и потенциальная энергия системы				представляются выражениями
T = ~2 mxh\	+	- 7f m2h\Л II = - у с, h\		-j- тр с,г (Л2	— Ai)2 -
Подставляя эти выражения в общую			форму
d	дТ	дТ	oil

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ