книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

хорды С ; .

Но при образовании отсечения ветвь

должна

быть единствен­

ной ветвью, вершины которой отнесены к двум различным

группам.

Противоречие

доказывает утверждение.

hu совпадает с

Если

é ( - j = + l , то это означает,

что ориентация

ветви

ориентацией контура хорды С ; и, следовательно,

ветвь

вытекает

из

той

группы вершин, в которую втекает хорда С[, т. е.

akl~

— 1 . Такие

же

рас­

суждения

убедят

нас в том, что а^і=

- И , если

1.

Сопоставляя

доказанные положения, приходим

к заключению, что их

до­

вокупность

может

быть

получена из

выведенной с помощью

доказанной

теоремы.

Применяя эту теорему и равенства

(2.11)

и (2.12),

прихо­

дим

к следующим

соотношениям:

- Е '

(2.11)"

А'

Л .

где

Е—единичная

(b X £)-матрица,

Вг

Е _ X,

(2.12)"

где

Е — единичная

(с X с)-матрица.

Смысл

соотношения

(2.11)"

состоит

в том, что все

парал­

лельные переменные графа можно представить в виде

линей­

ных

комбинаций параллельных

переменных

опорного

дерева,

нения (2.12)" следует, что все последовательные

переменные

графа с помощью транспонированной матрицы В1

можно

вы­

разить как линейные комбинации последовательных

перемен­

ных дополнения опорного дерева.

§ 6. Составление уравнений движения

Выше уже отмечалось, что УНК и УО отражают

связи

меж­

ду параллельными и

последовательными

переменными,

обус­

ловленные структурой системы. Эти соотношения

могут

быть

употреблены в качестве основы для вывода уравнений

движе­

ния системы.

Обратимся к примеру. Рассмотрим механическую

систему,

изображенную на рис. 4, динамические свойства

которой иссле­

довались

в примере

1.1. Схема замещения

этой

системы

была

построена

в третьей

строке табл. 8. Заменяя отрезками

двухпо­

приводится

на рис. 33. Элементы графа

ориентированы и после

выбора опорного дерева перенумерованы. Они

соответствуют

следующим

двухполюсникам исходной

системы:

1 — массе т\,

2 — массе

т

2 , 3 — жесткости

С\,

4 —жесткости

с 2 , 5 — источни­

ку силы

/.

УО отражают

зависимости

между

силами,

действующими

на элементы

системы,

У Н К — связи,

налагаемые

на

скорости

перемещения

элементов:

- / і -

"1

0:1

1

-

Г

h

£

=

0,

( у о )

0

110

— 1

0

Js

Е

А

fi

-1

0

• 1 0

0"

"Ol

Ѵо

-1

1

•01-0

Ѵ3

0.

(УНК)

1

0

! 0

0

1.

Vi

в

Е

Выделяя блоки А и ß, легко проверить

справедливость теоремы

(2.13)

для

данно­

го случая.

Рис.

33.

Для

составления

уравнений

движения

системы, кроме УО и УНК,

используются

зависимости между

последовательными

и

параллельными

переменными

элементов,

вид которых

приведен в

табл.

6.

Записывая эти

соотношения

с помощью

диагональной матрицы

W(р),

будем

называть

их

впредь уравнениями элементов

(УЭ):

о

-

Vi

f

'ШіР

0

0

Л

0

6

0

V-,

0

пир

0

(УЭ)

с г

р -

0

0

0

0

скр'х

Vi

Символом

P = -^f

обозначен

оператор

дифференцирования

по

_

времени

t.

Основой уравнений движения будут служить УО. Перепи­

шем эти уравнения, уединяя силу

/5,

которая

предполагается

заданной функцией

времени:

1 0 1

т2р

ѵ2

"1

Л

= о.

О 1 о

О

1

Vi

0

По сред» скоростей элементов не все

независимы,

поскольку

они должны

удовлетворять

УНК. Из этих уравнений

скорости

хорд

можно

выразить

через

скорости

ветвей.

Воспользуемся

уравнениями

(2.11)",

которые

для нашего случая

будут иметь

вид

•Vi

l

0

•°1

~\

(Г

ѵ2

0

1

ѵ2

0

l

V* =

1

0

откуда

i

0

1

- 1

У*-

l

-

1

«5

- 1

0

Теперь будем иметь

(Г

т,р

~1

1

0 1

т2р

0

1

О 1 о

1

0

О

1

с4Р~

1

-

Л = о.

О

NWN* = M

в

том случае, когда /V— (m X «)-матрица, a W — диагональная

(n

X я)-матрица,

вычисляется достаточно

просто. На

основании

правил

умножения матриц для элементов симметрической

квад­

ратной

(m X да)-матрицы

M легко найдем

выражение

Щк=2

ntpnkRpP Wpp-

р=і

В

нашем случае

элемент

т21,

например,

равен

т21

— О • 1 • тхр + 1 От2р

+ 0-1 -czp~x + (— 1)-1 -сАр^

—

Сір-

Выполнив вычисления, получим

ЩР + СъР~х

+

W

+ Сір-1

1

Сцр-

тгр

щ

0 Л

= о.

Используя

равенства

P~'vi

= hP

pVj='hj,

уравнения движения

можно переписать в обычной форме:

OTjÄi + (Ca +

c 4 ) A i —

сА

— Л ,

J

—

- j -от,)і2 - f c4/z2 =

0.

J

В связи с

тем,

что 'продемонстрированный способ вывода

вают

методом

ветвей, а

уравнения —

уравнениями

ветвей.

Если

среди

заданных

по

условиям

задачи

переменных параллельные пере­

менные

отсутствуют,

то

число

уравне­

ний

ветвей

Рис. 34.

если

же

количество

заданных

параллельных переменных равно

-у], то

Nb = b-

1.

При

выводе

уравнений

движения источники параллельных

чайшего пути вывода уравнений движения

по

методу

ветвей,

который

проведем для

механической системы,

изображенной

на рис. 6, схема замещения которой представлена

в

строке (4)

табл. 8. Граф системы дан на рис. 34, где

ветви

1,

2 и

3 отве­

чают моментам

инерции І\,

/2, h, хорды

4 и

5—жесткостям

на кручение оі и ог, хорда

6 — источнику

вращающего

момен­

та M (і).

Имеем

о

M,

hp

hp

ш2

<°1

hp

•

ш

3

(УЭ)

°.ІР~

°ъР

J

L

1 0

0

- 1

0

0

м2

0

1

0

1

1

- 1

м\ 1 = ° -

( у 0 )

0

0

1

0

- 1

0

-- 1

0

M,

1 0 0

— 1 Мв = 0.

0

1 0

1

.1

0

Ü 1

0

- 1

0

Элементы mifl

симметрической

матрицы M вычислим как сум­

матрицы

и

соответствующих

диагональных

элементов матрицы

УЭ. Это

приводит

окончательно к

следующей системе урав­

нений:

~ІіР

+

а*Р~\

- ° і Р ~ \

О

-°іР~\

Ър + ^

+ ^ Р ' 1

,

-з,Р~'

. о,

1

Mt.

°»p-\\

-чр-\

hP +

0~

довательных переменных прибегают к методу

хорд,

в

кото­

ром

используются

приемы, аналогичные рассмотренным

выше,

за тем

исключением,

что

остов

уравнений хорд

составляют

УНК, а

УО играют

при

этом

роль

уравнений

связей.

Число

уравнений

хорд

Nc

= c - £ = а — ? — Ç-4-1,

где

g — число заданных

при

постановке задачи

последователь­

ных переменных.

Вывод

уравнений

методом

хорд

проведем

для

электриче­

ской

цепи,

схема

и

граф которой были представлены на рис.

15,а

и б. На рис. 35

изображено

опорное дерево. УЭ

запишем

в виде

uk =

Zkik

(УЭ)

(ft = 2,

3, . . .

, 10),

z2

= clP-\

z .

:LlP

+ R3,

Z , = /?2,

Zb

= Rit

Z6 = Ltp + Rbr

Z 7

= Z 3 / ? - f / ? 7 ,

Z8 =

C,p\

Zt = L2p

+ Ri,

Z , 0 =

/?i.

полюсах источника тока и заданным значением тока

і источника.

Описания способов составления уравнений движения мето­

дом ветвей и методом хорд

сопровождались

иллюстрациями

этих способов на примерах вывода уравнений для

механиче­

ских систем и электрической цепи. Ясно, что при

возрастании

сложности

систем выгоды применения графов, сводящих со­

ставление уравнений к ряду достаточно простых

однотипных

операций,

становятся особенно

приметными.

В § 3

метод ЭМ-аналогий

был применен

для

построения

было

рассмотрено

устройство

электродинамического

телефона,

и найденная

для

него

эквивалентная

цепь

изображена

на

рис.

27, б. Заменяя

отрезками

двухполюсники,

составляющие

эту цепь, получим граф ЭМС телефона. Этот граф

можно

бы­

ло бы применить для вывода уравнений движения

рассматри­

ваемой ЭМС,

однако

это

бессмысленно,

поскольку

построение

составлению

дифференциальных

уравнений движения. Специ­

фика теории

графов позволяет (об этом уже говорилось ранее)

прийти к заключениям о ряде

свойств физической

системы,

минуя этап вывода уравнений ее движения.

Сведения,

приведенные выше, составляют по

существу

ментов

равно

a,

a

число вершин — ß.

Опорное

дерево

выберем

так,

чтобы

из

b его

ветвей первые

Ь\ = г\ соответствовали

всем источникам

э.д.с, а из

с

хорд последние

с2 = £ — всем

источникам тока.

Тогда

b = by -f- ЬЪ

c = c1AR

с-,,

где

bi

и

С\ — числа

ветвей

и хорд,

отвечающих

потребителям

электрической

энергии,

включенным в рассматриваемую электрическую цепь.

Будем пользоваться

раздельной

нумерацией ветвей

и

хорд:

1,

2

by. Ьі +

I ,

by А- 2, . . .

,

by + b.j

-

1, b;

1, 2, . . . .

Су, Cy -4- 1,

Cy 4-2, ...

Cy+ c2 — 1, c,

а

в

случае

сквозной

нумерации

всех элементов

графа

условимся

номера

хорд располагать

вслед

за

номерами ветвей,

придавая

им значения

b +

\,

Ь +

2, . . .

, b + Cy, 6 +

С І +

І

b + cl + ci—2,b

+

c—l,a.

Поскольку

напряжения

первых

Ь\

ветвей

и

токи

последних

с2

хорд

делению напряжений

или

токов

элементов,

имеющих

номера

Ьі + 1. by+ 2,

. . . , а — с3 .

Будем

искать токи,

протекающие

через

эти

элементы.

Можно

воспользо­

ваться

результатами

предыдущего

параграфа

и применить для

расчета ме­

тод хорд.

УЭ

запишем

в виде

un

=

Zn(p)

і п (п =

Ьу +

1, by + 2, . . . , а — е2 ),

b

by

uj+

£ fyB,=

]gtye , ( / = 1 , 2

с),

(2.14)

і=г>, +і

z=i

*

ft,

Zj(p)lj+

2 fyz*=

2 ѵ<-

<2 Л 5 )

У О позволяют выразить

токи

ветвей

через токи хорд. Уравнение отсе ­

чения, отвечающего г'-й ветви, выразится

следующим

образом:

U +

2]а «г * г

2

а,тІ"1

=

0 (' =

2, . . . .

6),

(2.16)

где

и ( 7 ; о т — элементы матрицы

А,

а токи

/,„ являются заданными

токами

источников;

Ь2

токи хорд ік

і т ,

Выразив из (2.16) токи последних

ветвей

через

и

воспользуемся

тем, что по теореме

(2.13)

—• alk =

— aim = Ь Т І .

Подставляя

полученное

таким

путем

выражение тока

it

в (2.15),

имеем

*

/с,

с

\

Ô,

Zj(p)lr\-

У, b j i Z l ( p ) l ^ b k

i ! k

+

2

Wm) = 2*''3'-

( 2 Л ? )

/ = 6 і + 1

\й=1

m=c,+l

/

/"1

Введем

обозначение

Исходя из определения

элементов

матрицы

В,

придем

к заключению,

что

0,

если /-и элемент

не

входит в

контур

Х О Р Д Ы

Cj ИЛИ

( и ) Х О Р Д Ы

Cfc,

Ji) _

1,

если хорды

Cj и ck ориентированы

со­

гласно,

— 1, если

хорды

Cj и

ck

ориентированы

встречно.

Используя это обозначение,

перепишем

(2.17)

в виде

с\

ь

*,

с

ь

(2.18)

Полагая, что j

пробегает значения

1, 2

сь

будем

рассматривать

(2.18)

как систему сх уравнений для определения сх токов хорд.

Систему

уравнений

(2.18)

можно

записать

в лаконичной

форме

dF

* і

~dï]- =

2j

ЬПеі

U - 1 . 2 , . . . .

с,),

(2.19)

если

ввести

функцию

^=4" 2 z«^)'«-

(2-2°)

В справедливости

последнего

/! =

*,

+1

нетрудно

убедиться,

если

раз­

утверждения

бить

сумму

(2."0)

на две:

Ci

b

и заменить токи ветвей it их выражениями из (2.16).

Поскольку система уравнений (2.18) получена при самых общих пред­

положениях

о

составе

электрической

цепи и характер

уравнений

не

связан

с видом графа

и

выбором опорного дерева,

можно

утверждать, что для лю-

а—Ci

^= 4-V

Lngl

(2 . 22)

L n — индуктивность

n=bl

f1

(Ln = Ö,

где

«-го элемента

если

этот

эле­

мент

не является

индуктивностью); электропотенциальная

энер­

гия

«— с,

И ,

- J -

Ѵ

Sr.'/l

(2- 23)

где

Sn = J

инверсная

емкость и-го элемента

(5„ —О,

если

этот

элемент

не емкость);

электродиссипативная

функция

*— С.2

°<

=

-Т ^ R n i ï '

(2 . 24)

где

Rn — сопротивление

п-го элемента

(Rn = 0,

если

этот

эле­

мент не сопротивление).

qn играют

Электрические

заряды

при этом

роль

электриче­

ских

обобщенных

координат,

токи

in

= qn— обобщенных

ско­

ростей, а Ь2 уравнений отсечений

(2.16)—роль

уравнений ки­

нематических

связей.

интегрированы. Но уравнения

(2.16)

действительно

интегри­

руются (если только электрическая цепь

не содержит

комму­

тирующих устройств).

В том случае,

когда

в начальный момент все заряды

равны

нулю, уравнения

связей

интегрированием

приводятся

к

виду

? , ( 9 = - 2 6 * r f * W + 2

bmi\imdt

{i =

bx

+ \, ... , b).

(2.25)