книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

которые представляют условия затухания свободных колебаний. Воспользовавшись равенствами (3.39), условия (3.41) мож­

но привести к виду

Поскольку все величины, входящие в последние неравен­ ства, неотрицательны, то эти неравенства могут быть нарушены лишь при одновременном обращении в нуль механического и электрического сопротивлений.

Характеристическое уравнение этого дифференциального урав­ нения совпадает с уравнением (3.38).

Уравнения свободных колебаний для электростатических систем запишутся следующим образом:

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

где

150

Первые два неравенства в реальных электростатических си­ стемах всегда выполняются. Третье же может быть нарушено,

В этом случае упругая восстанавливающая сила окажется не­ достаточной для того, чтобы преодолеть электростатическую силу, возникающую между заряженными пластинами.

§ 9. Частотные характеристики простейших электромеханических систем

Вернемся к рассмотрению системы уравнений (3.27). Раз­ решая эту систему относительно комплексной амплитуды ско­ рости механических перемещений, получим

Последнее равенство можно рассматривать как аналог за­ кона Ома в символической форме для механической части си­ стемы. Числитель правой части этого равенства есть комплекс электромагнитной силы, возникающей в системе при приложе­

плексной амплитуды скорости механических перемещений при­ мет вид

Z

В числителе к электромагнитной силе присоединяется слагае­ мое Рт, представляющее реакцию внешней механической си­ стемы, для которой ЭМС играет роль источника механичес­

аналогичному (3.44).

151

Для рассматриваемой электромеханической системы, рабо­ тающей в режиме двигателя, справедливо утверждение о том, что входному воздействию, характеризуемому величиной Ет, соответствует возмущение на выходе, характеризуемое вели­ чиной Ѵт.

Отношение величины, характеризующей возмущение на вы­ ходе системы, к величине, определяющей воздействие на входе, так же как и в случае электрического четырехполюсника, на­ зывают коэффициентом передачи* Если величины, характери­ зующие воздействие и ответное возмущение, представлены в комплексной форме, то и коэффициент передачи называют комплексным. Комплексный коэффициент передачи простей­ ших индукционных систем в режиме двигателя равен

Напомним, что в режиме генератора величина Ет выражает напряжение на полюсах электрической нагрузки, присоединен­ ной к выходу ЭМС: Ет = — Z(e)/m. Подставив последнее вы­ ражение в (3.46)', получим

См. § 7 гл. I .

152

Из равенства (3.46) найдем комплексный коэффициент пе­ редачи индукционных систем в режиме генератора

Сопоставляя равенства (3.45) и (3.47), заметим, что их пра­ вые части отличаются только знаком. Однако следует иметь в виду, что в (3.45) сопротивление z включает сопротивление г<«) механической нагрузки, а в (3.47) сопротивление Z содержит и Z<e>. Если в равенстве (3.45) положить z(e> = 0 (т. е. предполо­ жить, что ЭМС в режиме двигателя работает на холостом хо­ ду), а в равенстве (3.47)—Z<e> = 0 (т. е. электрическая цепь ЭМС в режиме генератора коротко замкнута), то

В зависимости от назначения ЭМС, работающей в режиме двигателя (она может играть роль привода, следящей системы, преобразователя и др.), величина, характеризующая возмуще­ ние на выходе, может быть изменяющейся геометрической ко­ ординатой или скоростью механических перемещений или уско­ рением. В соответствии с этим могут быть рассмотрены различ­ ные комплексные коэффициенты передачи. Обозначим через S0 , S] и S2 комплексные коэффициенты передачи, равные отно­ шениям комплексных амплитуд соответственно перемещения, скорости и ускорения к амплитуде подводимой э.д.с.

Учитывая соотношения

Если в выражение для комплексного коэффициента переда­ чи подставить значения собственных сопротивлений z и Z, топоявится возможность рассматривать величину S как функцию переменной /со

S = ЗГ( уа>).

Напомним, что комплексный коэффициент передачи, рас­ сматриваемый как функция переменной /о>, когда частота о) пробегает все вещественные значения, безгранично возрастая

153-

мую части амплитудно-фазовой характеристики, придадим по­ следней форму

5 (у'«>) = 5 (cos ср —J—у sin ta),

откуда

Р(ш) = Re5 (у'ш) = 5 (со) cos ср (Ш),

Q (со) = Im 5 (у'ш) = S (ш) sin ср (CD). Теперь легко установить, что

В частности, если 5— " ^ у ^ . то будем иметь

Иногда используют фазочастотную характеристику противопо­ ложного знака

Подставив значения 2 и Z в первое выражение или перепи­ сав во втором выражении значение характеристического много­ члена Л (Я) с заменою Я на /со, получим

*иі

0 — ш2 ( m # + ri) — cR+ J<a (<obnL _ y}ia —rL—cL)'

Рассмотрим безразмерный комплексный коэффициент пере­ дачи, равный

J54

Выражение для этого коэффициента имеет вид

Воспользуемся обозначениями (3.39) и в качестве незави­ симой переменной введем безразмерную частоту

Тогда безразмерный комплексный коэффициент передачи при­ мет форму

Отсюда для амплитудно-частотной и фазочастотной харак­ теристик простейших индукционных систем получим следую­ щие выражения:

Тогда уравнение (3.35)' преобразуется к виду h'" + ч к п + aaÄ' + h = О,

где штрихами обозначено дифференцирование по х,

Вводя при этом новую безразмерную частоту

амплитудно-частотной и фазочастотной характеристикам при­ дадим новую форму

155

Для новых параметров второе из неравенств (3.41) прини­ мает вид

частотные характеристики трех типов, построенные для тех то­

щейся к значению г|)=—я при безгранично возрастающих зна­ чениях безразмерной частоты и.

156

Действительно, обозначим

При любых значениях и2^0 производная %'и>0. Это нера­ венство вытекает из того, что квадратный трехчлен в числителе

ос2

Ю

Рис. 44.

выражения для % и может принимать отрицательные значения лишь при значениях и2, заключенных между корнями этого трехчлена. Корни определяются выражением

i<h) О

Поскольку предполагается выполненным неравенство (3.50),

Комплексный коэффициент передачи виброметра So есть отношение комплексной амплитуды тока Іт на выходе прибо­ ра к амплитуде перемещений корпуса прибора S. Комплексные коэффициенты передачи велосиметра и акселерометра пред­ ставляют собою отношения комплексной амплитуды тока к амплитуде скорости или ускорения соответственно. Будем иметь

J<»

157

Для индукционного виброметра найдем

В качестве безразмерного комплексного коэффициента пе­ редачи будем рассматривать величину

или

-У"3

О ~ ~ а і И 2 — 1 - f ja (и 2 — а2 ) '

представляют собой монотонно возрастающие кривые без экс­

Z o — ^ g V o — U ( a 2 _ ü 2 )

и сопоставив последнее выражение с (3.53), придем к заклю­ чению, что xZf>= — 1- Следовательно, при любом значении и разность между \j) и ф0 равна я/2. Это позволяет воспользо­ ваться выводами предыдущего параграфа, и утверждать, что фазочастотная характеристика гро(") монотонно возрастает с возрастанием безразмерной частоты и от значения гро(0) =

158