Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Поскольку	однородным уравнениям			соответствует	отсутст
вие источников э.д.с.		и тока, то в	цепях, описываемых		этими
уравнениями,	энергия,	расходуемая	на	нагревание сопротивле

ний, не будет восполняться. Поэтому /Ѵсв->-0 при t-+oo. На практике величины этих составляющих принимают пренебре жимо малые значения по сравнению с гѴвын уже через доли секунды с начала процесса. Лишь в первые мгновения после включения цепи характер процесса определяется и свободными

затухающими	и вынужденными		слагаемыми; при этом		говорят,
что в цепи переходный		режим.	После затухания	свободных ко
лебаний все	токи определяются		только вынужденными		слагае
мыми; такой	режим	называют	установившимся.	Установивший
ся режим является основным при эксплуатации				электрической
цепи.

Для конкретизации дальнейшего изложения свяжем его с электрической цепью, изображенной на рис. 14. В предыдущем параграфе было установлено, что уравнения этой цепи имеют вид

		п-			«		\	О-4 2 )
	М Ч Г	V L* -Ж	+	Я 2 * 2	+ S, j hdt	= 0.	I
Случай, когда		зависимость		e(t)	является	периодической		функ
цией	времени,	представляет		особый интерес, так как, во-пер
вых,	является	отражением			наиболее	часто	встречающихся
в практике обстоятельств			и,	во-вторых, позволяет использовать

разложение в ряд Фурье и, благодаря линейному характеру уравнений, определять решение в виде сумм решений, отвечаю

щих отдельным	гармоническим		составляющих функции	e(t).
Как известно,	если
	« (t) =	Em	sin pt,
то частное решение системы (1.42) можно искать в виде
h=hmsm{pt+4,),		i2	= I2mäin (/?*+ у.>).	(1.43)

Отыскание частных решений значительно упрощается, если перейти к комплексным величинам и воспользоваться форму лой Эйлера

е*№+1)	= c o s	{ p t + т ) _\|_ j	s i n	{ p t _\|_ т ) •
* Такой метод	широко	используется	в	электротехнике под названием

метода комплексных амплитуд или символического. Происхождение послед

него названия связано с графическими	расчетами, когда каждому мгновен
ному значению вещественной функции	ставят в соответствие его «символ» —

вектор на плоскости комплексного переменного. При этом для мнимой еди


ницы используют обозначение	\ — Ѵ—1;	Для различия между вещественными
и комплексными величинами над последними ставят точку. Поскольку в			ме
ханике точкой обозначают дифференцирование по времени, комплексные			ве
личины будем отмечать, ставя	черту над	их буквенными обозначениями.

Комплексные величины будем называть, как это принято в

электротехнике, комплексами			соответствующих им		веществен
ных	величин. Так,	например,	комплексами	функций	(1.43) бу
дут функции времени
		7 —7 pip1	/', — 7, еіѵ*
где	комплексные	амплитуды
		7 — / ріъ	7, — / ,	е'ъ

включают вещественные значения как амплитуд, так и началь ных фаз. Очевидно, исходные вещественные функции являются мнимыми частями своих комплексов:

/, — Im (г,), і, — \т(і>).

Перейдем в системе уравнений (1.42) к комплексам, исполь зовав комплекс э.д.с.

Заметим, что

	= jp'hme}pt,		j i,dt	7чтеМ.
Введем	обозначения
7-и	— R\ + JXA i>	Zu—jXl2,	Z 2 i = j X 2	l , Z22	=	R2-\-jX22,
Xll=pLi-^-,		Xn =	X3i=pM,	X . i 2	= p L 2	- ^ .

Тогда после сокращения на общий множитель е№ получим следующие алгебраические уравнения для комплексных ампли туд:

£\\І\тЛ-Z\J Zm — Emi I (143)

откуда	при
найдем		A Z -\i ' £ 2 2 '— Z12			*	7 ^ 0
найдем
		7	— ^2 " F 7 — _£?L F
		'Im	д	*-m> •'^m —	д	*-/л>
Последние выражения				полностью	определяют		решения ис
ходной	системы	уравнений		(1.42). В	самом деле,		отделив веще
ственную часть от мнимой, знаменатель						представим в виде
где
	P = RSR2	- (ХИХ,2		- Х 2 1 2 ) ,	I = RXX22 +		R2XU.
4*							51

Тогда из найденных значений комплексных амплитуд найдем следующие выражения для амплитуд и начальных фаз токов

іі и і2 :

	22
	р2 + g*	К р2 + Р
	t g ï l	р
	t g ï l	6 •
		6 •
Величину	Z = R + у'Л' называют комплексным		сопротивле
нием простой последовательной цепи, а		— активной		и	X —
реактивной	составляющими комплексного	сопротивления			(или
активным и	реактивным сопротивлениями). Реактивное			сопро-

1о-і

1'о

г - о 2 *

Рис. 16.

тивление последовательной цепи складывается из индуктивного

сопротивления X L = p L и емкостного Х с

'•

Х = Х, Х„

Как комплексная величина сопротивление Z может быть оха рактеризовано модулем Z и аргументом ф

					Z=.Ze>*.
Модуль	комплексного сопротивления
					z=VR2-\-xJ
называют		полным		сопротивлением,			соответствующим		данной
частоте р;		аргумент
					arc	tg
называют углом			потерь		цепи.
Метод комплексных амплитуд позволил разработать теорию
электрического			четырехполюсника,				имеющую	широкие	прило
жения. Электрическим					четырехполюсником			принято	называть
электрическую			цепь, имеющую			два	входных	и два выходных
зажима	(зажимы			/ и	2 и 2'	на	рис. 16, а) . Изображают			че
тырехполюсник			в	виде	прямоугольника с парой полюсов,					рас-

положенных у одной стороны, и второй парой — с противопо ложной стороны. Четырехполюсники предназначаются, как пра

вило,	для передачи	энергии от источника к	потребителю и
могут	использоваться	с различными целями,	например для

передачи входного напряжения как функции времени без иска жений или для преобразования этой функции по заранее пред писанному закону (подобное уменьшение, дифференцирование,

интегрирование и др.). Четырехполюсник	называют пассивным,
если он не содержит источники энергии.	Цепь, изображенная

на рис. 14, дает один из примеров пассивного электрического четырехполюсника, если положить, что источник э.д.с. подклю

чен к входным зажимам,	а сопротивление	R2 (или некоторая
его часть или конденсатор	С2 ) — к выходным.
Рассматривая установившийся режим		гармонических ко

лебаний в электрической цепи, которую можно представить в виде четырехполюсника, будем пользоваться методом комплекс

ных амплитуд.	Пусть к	входным		полюсам			четырехполюсника
подключен источник э.д.с. É*			а	к	выходным:—сопротивление
нагрузки Z„ (рис. 16,6). Условимся все величины на входе че
тырехполюсника	снабжать	индексом			«1», а	на выходе — индек
сом «2». Можно	показать	(см.,	например,			§	5	гл. I I ) , что при
любой степени	сложности	электрической				цепи,		рассматривае

мой в качестве пассивного четырехполюсника, уравнения для

комплексных амплитуд токов будут иметь вид
£ „ 7 ,	+	£ ,,7,	+	. . . + £ , „ / „ = £ , '
Z2 1 7,	+	Z , , / , +		. . .	+ Z	,,„/„ =	0, .
Z„J,	+	Z„J2	+	. . .	+ Z	n J n =	0, ,

где Zjj—j'dK			называемое собственное сопротивление у-го кон
тура,	a	Z j k	— взаимное сопротивление	у-го и	k - r o контуров,
причем		Z j k	— Z k j (ср. с уравнениями	(1.43)).
Ток		течет через контур, собственное сопротивление ко
торого	Z T l .		Это сопротивление склады вается__ из		сопротивления

Z и , содержащегося внутри четырехполюсника, и сопротивле ния нагрузки Z„

Z r l = Z 22 -| Z„.

Умножим обе части последнего равенства на 7, и обозначим

Z J . l = U 1 .		Легко		заметить, что	U-,	равно	напряжению между
полюсами		выхода. Напряжение			(Jl	между	полюсами входа по
	* Здесь	и	далее	вместо слов «комплексная амплитуда э.д.с», «комплекс
ная	амплитуда		тока»,	«комплексная амплитуда напряжения» будем употреб
лять	для краткости слова «э.д.с», «ток», «напряжение».

второму закону Кирхгофа равно Е. Поэтому уравнениям четырехполюсника можно придать форму

Zji	+zW2+	••• +Z2nfn =	-Ü2,	(1.44)
Z„j,	-rZn,l2	+ ... + z„„/„ =	0.

Обозначим определитель последней системы уравнений бук

вой D:
	Z\\	Zvl	. . . Zin
D	Z 21 Z22		. . . Z 2
	Zn\	z„•>	z„

a отвечающее элементу			Zjk его алгебраическое дополнение —
DJk.	Поскольку Zjk	= Zkj,	то	и Djk	= Dkj.
Из уравнений		(1.44)	могут	быть	найдены токи, протекаю
щие	через цепи входа и		выхода:

D U x

D U,,

(1.45)

Теория четырехполюсника посвящена прежде всего установ

лению зависимостей между	токами и напряжениями на входе
и выходе в отвлечении от	электрических процессов внутри че
тырехполюсника. Этим целям могут служить		уравнения (1.45);
их и называют уравнениями	четырехполюсника,	точнее — одной

из форм уравнений четырехполюсника. Наиболее употреби

тельной	формой	являются		уравнения, разрешенные				относитель
но напряжения		и тока на входе:
									(1.46)
Уравнения (1.46) часто называют каноническими								уравнениями
четырехполюсника.			Выражение		определителя		системы		канони
ческих	уравнений		через их	коэффициенты, именуемые					канони
ческими	параметрами, имеет вид
			А		•а,..а.,.
Сопоставление уравнений				(1.46) и (1.45) приводит к следую
щим значениям		канонических			параметров		четырехполюсника:
					A i	7.., , =
	О і , '		А = '	а,,	= А , '	7.., , =	DDV2
	О і , '		А = '	а,,	= А , '		DDV2
54

Подставив эти значения в выражение определителя, найдем

Д = - 1.

Отсюда вытекает важный вывод, имеющий ряд следствий, о том, что из четырех канонических параметров лишь три неза

висимы; если	же au	= агі	(это равенство	выполняется	для	так
называемых	симметричных		четырехполюсников) — только			два.
В данном разделе невозможно охватить полностью различ
ные аспекты	теории	четырехполюсника.		Остановимся	еще	на

одном важном понятии этой теории, а именно понятии о ком плексном коэффициенте передачи четырехполюсника. В зави симости от условий эксплуатации источник электрической энер гии, подключаемый ко входу четырехполюсника, может трак

товаться как источник э.д.с, или	источник тока, а	на	выходе
четырехполюсника используется	либо напряжение	сопротивле
ния нагрузки, либо ток, протекающий через него.		Отношение
комплексной амплитуды величины, характеризующей			исполь

зование энергии на выходе, к комплексной величине, характе

ризующей работу входа, носит название комплексного	коэффи
циента передачи четырехполюсника. Чаще всего под	комплекс
ным коэффициентом передачи понимают отношение

s = 3.

и,

При этом предполагается, что величина, определяющая исполь зование источника на входе, представляет собою гармониче скую функцию времени (например, и{ = [/isin (pt + ßi) ) . Ком плексный коэффициент передачи является комплексной функ цией частоты р воздействия на входе. Характер этой функции изменяется вместе с изменением физических параметров элек трической цепи, образующей четырехполюсник, определяя при конкретных значениях параметров динамические свойства че тырехполюсника или, как принято говорить, отклик данного четырехполюсника на сигнал входа.

Комплексный коэффициент передачи, рассматриваемый как функция мнимого аргумента \р, носит название амплитуднофазовой характеристики четырехполюсника. Ее можно пред ставить в виде

	S{jp) = S{p)eMp).			(1.47)
Вещественные функции частоты р
	S=S(p),	? = ?(/»)
называют соответственно амплитудно-частотной			и	фазочастот-
ной	характеристиками системы.
	Так, например, рассматривая	электрическую,	цепь, уравне
ния	установившегося режима в	которой имеют	вид	(1.43) как

четырехполюсник, ко

входу

которого

подключен источник

э.д.с,

а к выходу — сопротивление нагрузки R2,

имеем

11, =

Е,

Rj2.

Тогда комплексный

коэффициент

передачи

S(p)=

или

ькр)

—

р )

В 2 { р ) .

где

А (р) = р* ( Ж 2 -

L XL2)

(R,R,

L,S2

L2S,)

B(p)=p*(RiL2

R,Ll)-p(RiS2-{-R2Si).

Амплитудно-частотная

характеристика

(АЧХ)

выражается

функцией

s(p)=

p2^L=,

а фазочастотная (ФЧХ) , \

V& (р) -f-

ß 2

(Р)

y .

<f(p)

= a r c t ë l T U

Амплитудно-частотная

характеристика

по

сути

дела

дает

для каждого значения частоты р величину коэффициента, ука зывающего, во сколько раз уменьшилась амплитуда отклика по сравнению с амплитудой сигнала на входе; с помощью ФЧХ находят величину сдвига фазы отклика по сравнению с фазой

сигнала на	входе.
	§ 8. Электромеханические связи
Простое	объединение механической системы и электриче

ской цепи еще не может образовать электромеханическую си стему (ЭМС). Существенной чертой ЭМС является взаимообус ловленность механических и электрических процессов, проте кающих в ней.*

Положений, изложенных в предшествующих параграфах, недостаточно для выяснения физической природы такой взаи мообусловленности или, как принято говорить, электромехани ческой связи.

* Так, например, современные железнодорожные вагоны электрифици рованы и радиофицированы; представляя собою некоторые механические си стемы, перемещающиеся вдоль рельсов (связь!), они несут электрические цепи. Но электромеханическими системами их считать нельзя. Другое д е л о — электродвигатели, установленные в моторных вагонах электрической желез ной дороги. Энергия стороннего поля источников, подключенных к обмоткам двигателя, преобразуется в энергию электромагнитного поля, в котором воз никают силы, вызывающие вращение ротора, которое, в свою очередь,' пере дается ведущим колесам.

Обратимся к уже упоминавшемуся выше закону индукции Фарадея (1.38), по которому в электрическом контуре возни кает э.д.с. индукции, если потокосцепление этого контура изме няется со временем. Допустим, что электрический контур совер шает поступательное движение так, что для определения его положения достаточно задания одной координаты. Если маг нитное поле, в котором контур перемещается, неоднородно, то зависимость потокосцепления от положения контура предста вится в виде

W = W(h).

При перемещениях (система отсчета не играет роли: можно считать, что контур движется в неподвижном поле или, наобо рот, поле перемещается относительно неподвижного контура) в контуре возникает э.д.с. индукции

dW dh	,, , n,
e = —w-df	(1-48)
В равенстве (1.48) фигурирует скорость перемещения	;

таким образом, налицо зависимость электрической величины— э.д.с. от механической — скорости.

Когда вектор магнитной индукции В определен для каждой точки магнитного поля, то сила, действующая со стороны маг

нитного поля на отрезок dt проводника	с током і, может быть
вычислена по закону Ампера:
dF = / d l X B ,	(1.49)

если отрезку проводника приписывать направление, совпадаю

щее с положительным направлением тока. Механическая						сила
dF зависит от электрического тока				і — вновь признаки	электро
механической связи.
Если механическая сила dF действует в направлении коор
динаты h, то ее величину			можно найти как производную энер
гии магнитного поля		WM по этой координате:			(L5°)
			d F =-Jr--
Такое	представление	силы	следует	из того, что энергия	магнит
ного	поля определяется		работой,	совершаемой силами		поля
на перемещении контура:
		dWM	= dA =	dF-dh.

Подставив сюда выражение силы dF из закона Ампера, полу чим

dWu = i (dl X В) dh.

Так как смешанное произведение векторов не меняет своего значения при циклической перестановке сомножителей, то. по следнее равенство можно записать также в виде

dW„ = i (dh X dl)-В.

Но

векторное

произведение

dh X dl

представляет

собою

вектор,

нормальный к площадке,

образо

ванной векторами

dh и dl, и

равный

численно

ее

площади

(рис. 17).

Поэтому

откуда

dWr M =

iB-dS =

іаФ,

dF=i

где

аф — магнитный

поток

через

поверхность,

зачерченную

отрезком

проводника

dl при его перемещении dh.

Умножив

обе

части

по

следнего равенства на dl и

вычислив криволинейные ин

тегралы

вдоль всего

замкну

того

контура,

образованного

проводником

с током, слева

получим

значение

равнодей

ствующей сил

поля, дейст

вующих

на контур

в целом,

справа — полный

магнитный

поток (потокосцепление)

че

рез

поверхность

описы

ваемую

замкнутым

конту

ром

при смещении

всех

его

элементов:

F-.

1 dh

(1.51)

Рис.

17.

Рассуждения, с помощью

которых

была

установлена

формула

(1.51), приводят к важному

выводу: электромеханиче

ские связи могут возникнуть и в

однородном

магнитном

поле

(В = const)

при перемещениях,

не совпадающих

по

направле

нию с линиями вектора магнитной

индукции.

Рассмотрим теперь замкнутый контур, перемещающийся во

внешнем магнитном

поле со скоростью

—

V —

При таком движении на каждый свободный электрон, находя щийся в отрезке dl проводника, действует, как известно из кур са физики, лоренцова сила

F = = ^ ( v x B ) ,	(1.52)
где через ах обозначен заряд одного электрона.	Сопоставляя

(1.52) с (1.31), придем к заключению, что силу Лоренца можно трактовать как электрическую силу поля напряженностью

					Ii	= V X В.
А	тогда для э. д. с ,			порожденной			этим полем, в		соответствии
с	определением (1.33) получим
			е=	(J5E *-dl = (J)(vXB)-dl,
или						(j)(AhX В)-dl.
			е — lim
Используя		свойство		Д<->0					векторов, на
				смешанного			произведения
ходим
		(Ah X В) dl =				(dl X Ah) В = - В dS,
где dS — вектор,			соответствующий					площадке,	образованной
элементом		dl при его смещении Ah (рис. 17). Имеем
			ф (Ah X B)-dl =				- JB dS
				e =	-	Hm-vT	B-dS.
	Пусть	5i — площадь			поверхности,			ограниченной		контуром
в	его начальном		положении, a 5 2 — в том положении,							которое

контур займет после смещения всех его элементов на Ah. В ка честве положительного направления нормали к поверхности выберем такое, которое образует с направлением обхода кон тура правовинтовую систему. Очевидно, это направление

совпадает	с dSj. В связи с этим				будем		иметь
		j" B-dS = W (^),		J" B-dS =			—	W(t-j-At)-
		s,								's,
Рассмотрим теперь			замкнутую			поверхность S i + 52 + 5. По
ток вектора		В через	любую	замкнутую				поверхность		равен
нулю; поэтому
		J B - d S =	- JB - dS		-	J B d S =			A47.
		S	S,		Si
Подставив		последнее	значение		интеграла			в	выражение	э.д.с,
найдем	'
				A4'
		е = — hm -тг~						•

Совпадая по форме с выражением закона индукции Фарадея, это равенство имеет по сравнению с (1.48) иной физиче ский смысл. В самом деле, при установлении (1.48) предпола-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ