книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

В противном случае говорят, что связь голономна, но была за­ дана в форме кинематической.

При классификации связей разделение их на два вида — голономные и неголономные — является основным. Сами не­ свободные системы называют голономными или неголономными в зависимости от того, какой из этих двух видов связей на них наложен. В задачах, выдвигаемых инженерной практикой, неголономные системы фигурируют значительно реже голономных.

Время всегда вх'одит в выражения связей неявно, так как координаты точек системы и их производные меняются в про­ цессе движения. Помимо этого, время может входить в эти вы­

двусторонними), если аналитические их выражения имеют вид

вающая связь, выполняют раздельно для областей, где связь напряжена и где она ослаблена. К первой из них относится множество тех значений аргументов в выражении связи, при которых соблюдается знак равенства. Вторая область охваты­ вает множество значений аргументов, при которых в выраже­ нии связи соблюдается только неравенство; там связь можно не учитывать.

Связи ограничивают перемещение точек в некоторых на­ правлениях. Поэтому совокупность тех элементарных переме­ щений точки, которые она могла бы совершить в данный мо­ мент времени, не нарушая наложенных связей, характеризует

ние, совместимое со связями, зафиксированными в данный

ѵ = 1

10

рассмотрим такие бесконечно малые изменения функций /и , ко­ торые осуществляются в предположении, что время t — фикси­ рованный параметр, а аргументы xv, уѵ, zv получают прираще­ ния независимо от t. В этом случае бесконечно малые прира­

Проекции возможных перемещений точек системы являются вариациями координат этих точек, удовлетворяющими К урав­ нениям

8/, = 0. (1.1)

Связи стесняют свободу движения материальных точек сис­ темы. Характер движения этих точек в отсутствие связей и при их наложении оказывается различным. Дополнительные силы, приложение которых к точкам системы по эффекту действия

сил, как правило, являются заданными функциями и друг от друга не зависят, а реакции связей существенно зависят от других сил и от характера движения системы.

Утверждение о том, что исследование несвободной системы можно осуществить, отбрасывая мысленно наложенные на нее связи и заменяя их соответствующими реакциями, приложенны­

или иного раздела науки. Возникновение принципов механики порождено стремлением свести ее к возможно меньшему числу основополагающих утверждений. Так, например, Лагранж, со­ здавая свою аналитическую механику, исходил из принципа возможных перемещений. Этот принцип справедлив для несво­ бодных систем с идеальными связями.

11

приложенная к ѵ-й материальной точке системы, ортогональна любому возможному перемещению этой точки (связь без тре­ ния). Ограничимся далее указанием на идеальность связей, обеспечивающих неизменность расстояний между материаль­ ными точками.

Принцип возможных перемещений состоит в следующем: по­ ложение, в котором находится механическая система, подчи­ ненная идеальным стационарным связям, является положени­ ем ее равновесия тогда и только тогда, когда сумма работ всех активных сил, действующих на систему, на любом ее возмож­

Из второго закона Ньютона вытекает основное уравнение динамики для любой точки свободной механической системы

где тѵ — масса ѵ-й точки, wv — ее ускорение, a F v — равнодей­ ствующая всех активных сил, приложенных к этой точке. Ос­ новное уравнение динамики для точки несвободной механиче­ ской системы является следствием второго закона Ньютона и принципа освобождаемости

Доказывая необходимость утверждения, выражающего принцип возможных перемещений, предположим, что система находится в состоянии равновесия и, следовательно, все эффек-

* Приведенная формулировка справедлива для удерживающих связен. М. В. Остроградскому принадлежит распространение принципа на случай неудерживающих связей, когда сумма элементарных работ равна нулю или; больше нуля.

12

тизные силы как причины, - способные вывести точки системы из равновесного состояния, равны нулю. Но тогда и

У S,-8r,=0,

M*

v=-l

т. е.

ЛЛ

2F,-3r, + 2 R , - 8 r , = 0, -

откуда в силу (1.2) и вытекает (1.3).

При доказательстве достаточности предполагают, что усло­ вие (1.3) выполнено, и показывают, что в этом случае система находится в равновесии.

§ 3. Принцип Даламбера

и общее уравнение динамики

Принцип возможных перемещений определяет условия рав­ новесия несвободной системы с помощью динамических пред­

щая. В действительности же ускорение точки wv такое, какое

«воспринимаемое» точкой, отличается от «передаваемого» ей из-за взаимодействия с телами, осуществляющими связи. Из­ расходованная на взаимодействие часть движения и является «потерянной» — она не воспринимается точкой.

13

При этом аналитическое выражение принципа Даламбера при­ обретает новую форму

т. е. действующие на движущуюся материальную точку актив­ ные силы и реакции связей в любой момент можно уравнове­ сить силой инерции.

гаемых в правую часть. Следует иметь в виду, что сила инер­ ции не принадлежит к числу сил, приложенных к точке Мѵ, и равенство (1.7) нужно понимать условно лишь как удобный прием придания уравнению динамики формы уравнения рав­ новесия.

Объединив принцип Даламбера и принцип возможных пе­

2 ( F v + Iv + R v H i \ = 0 ,

Ч

откуда в силу условия идеальности связей (1.2) получим

N

2 ( F v + Iv)-Srv = 0.

ѵ=1

14

Подставив сюда выражение сил инерции (1.8), приведем ра­ венство к виду

ѵ=1

Последнее соотношение, из которого можно установить как следствия общие теоремы динамики и уравнения движения ме­

изведение через проекции сомножителей на оси декартовой си­ стемы отсчета

ского движения вместо декартовых координат целесообразнее применять другие переменные, однозначно определяющие по­ ложения материальных точек в каждый момент времени. Так, для определения положения точки на плоскости часто пользу­ ются полярными координатами; положение твердого тела, дви­ жущегося вокруг неподвижной точки, определяется с помощью эйлеровых углов. В качестве геометрических параметров при­

а между обобщенными и декартовыми - координатами устанав-

15

являющейся по сути дела уравнением голономной связи. И на­ оборот, устраняя из исследования одну из k зависимых коорди­

В то же время число п независимых вариаций координат для

ку варьирование функций, выражающих неголономные связи,

можного перемещения системы, сохранившегося после наложе­ ния связей. Эта величина инвариантна для данной несвобод­ ной системы относительно выбора обобщенных координат. Ко­ личество п независимых вариаций обобщенных координат не­ свободной системы называют числом ее степеней свободы. Для голономных систем число степеней свободы п совпадает с чис­ лом независимых координат s, а для неголономных — меньше числа s.

Рассмотрим голономную систему с идеальными связями, обладающую п степенями свободы, и зададимся целью соста­ вить такие уравнения движения этой системы, число которых будет минимальным. Для описания движения системы выбе-

рем п каких-либо независимых обобщенных координат hß. Благодаря соотношениям (1.16) все зависимости (1.10) приво­ дятся к виду, содержащему лишь независимые координаты и время:

( v = l , 2, . . . , N; ц = 1 , 2, . . . , n).

Зависимость (1.10)' позволяет скорость ѵ-й точки системы Ѵѵ выразить через независимые обобщенные скорости к^:

иот обобщенных скоростей не зависят, то', дифференци­

Сопоставление результатов дифференцирования с равенством (1.17) приводит к тождеству

Правая часть уравнения (1.9)' представляет собою сумму элементарных работ всех активных сил на возможном переме­ щении системы. Преобразуем ее, подставив выражение возмож-

* Возможны и другие пути вывода уравнений движения в независимых обобщенных координатах; например, можно исходить из основного уравнения динамики для несвободной точки (1.5) и условия идеальности связей (1.2).

ного перемещения ѵ-й точки через вариации независимых обоб­ щенных координат

п

дт,

и рассмотрим сумму, заключенную в скобки в правой части последнего равенства. В соответствии с правилами дифферен­ цирования

Производные радиус-вектора точки г, заменим соответствую­ щими производными ее скорости ѵ, = г ѵ , применив тождества (1.18) и (1.19). Тогда получим

Так как при любом а

то, вводя обозначение

N

=1

19