книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

электрических цепях отсутствуют), уравнения (2.І4) можно про­ интегрировать

( У = 1 , 2, . . . , с).

Подставив выражение (2.37) для потокосцеплений хорд в равенство (2.34), определяющее электропотенциальную энергию, роль которой играет энергия магнитного поля, представим ее как функцию лишь независимых потокосцеплений:

Вторая форма уравнений Лагранжа—Максвелла для ЭМС образуется подсистемами уравнений для механических и элек­ трических процессов:

120

Выражение для элементарной работы сил магнитного поля приведем к виду

оА — udq = -^- Idt — idty.

Подставив значения последних Сг вариаций в выражение эле­ ментарной работы источников тока при приращениях потоко­ сцеплений, допустимых связями, найдем

спе

где обобщенные электрические силы / ѵ определяются как коэф­ фициенты при вариациях независимых потокосцеплений в выра­ жении элементарной работы источников тока.

§ 10. Силы, действующие в электромеханических системах

1°. Выше уже отмечалось, что уравнения (2.16) можно трак­ товать как уравнения связей, налагаемых на максвелловы эле­ ктрические координаты; уравнения (2.14)—как уравнения свя­ зей, налагаемых на обобщенные потокосцепления. Этими урав­ нениями связи задаются в кинематической форме и при наличии источников электрической энергии в цепях имеют нестационар­ ный характер. Физическое содержание уравнений связей, являю­ щихся следствиями законов Кирхгофа, отражает действие сил, препятствующих выходу перемещающихся зарядов за пределы поверхности проводников.

Чтобы избежать определение реакций связей, Максвелл об­ ратился к методу уравнений Лагранжа второго рода.

В то же время с помощью уравнений Лагранжа—Максвел­ ла может быть выявлена природа сил противодействия, равных по величине, но направленных противоположно воздействиям, возникающим при различного рода контактах электромеханиче­ ских систем с какими-либо механическими системами и электри­ ческими цепями.

Прежде всего силы проиводействия могут быть разбиты на два основных класса: силы механические, вызванные перемеще­ ниями механических элементов и изменениями механических

12!

и силы электрические, которые благодаря наличию двух систем ЭМ-аналогий в свою очередь могут иметь два вида: э. д. с*, вы­ званные перемещениями зарядов и изменениями электрических координат

и токи, обусловленные изменениями напряжений и потокосцеплений

d ѲТ дТ_ dD_ дП_

А = - d t д ^ + д ^

Переходя к более подробному анализу, условимся снабжать индексами t, п и d силы, возникновение которых обусловлено проявлениями кинетической, потенциальной энергий и диссипа­ тивной функции соответственно. Кроме того, механические силы будем снабжать индексами m или е в зависимости от того, че­ рез какие составляющие (механические или электрические) упо­ мянутых функций они выражаются.

2». Силы

так как электрокинетическая энергия, общее выражение кото­

расположение ѵ-го элемента электрической цепи, входящей в со­ став ЭМС. Тогда, воспользовавшись тем, что электрические то-

122

ки не зависят от лаграижевых координат, для электромагнит­ ной силы, действующей в направлении координаты /гм , получим выражение

Электромагнитная сила, действующая со стороны ЭМС в напра­ влении координаты /іц, может быть вызвана, как это видно из последнего выражения, изменением индуктивности ѵ-го элемен­ та, либо изменением его взаимоиндуктивностей с другими эле­ ментами, либо, наконец, изменением его потокосцепления с внеш­ ним магнитным полем.

В случае уединенного контура с током:

Если контур плоский кольцеобразный, то возрастание индуктив­ ности может обусловливаться увеличением радиуса г этого кон­ тура. Тогда

и сила представит собою равномерное давление по окружности кольца, направленное изнутри наружу в сторону внешней нор­ мали кольца. Если средний диаметр такого контура каким-либо образом фиксирован, то индуктивность моЖет возрастать при уменьшении поперечного сечения проводника. При этом

ляется в виде давления на поверхность проводника в направ­

печах, в которых ток проходит по расплавленному металлу, по­ мещенному в кольцеобразный керамический желоб, когда жид­ кий проводник так сжимается, что возникает разрыв электриче­ ской цепи.

Электромагнитная сила возникает, если контур с током по­ мещается во внешнее магнитное поле, причем происхождение внешнего поля безразлично: оно может быть вызвано током в каком-либо сеседнем,контуре или порождено постоянным магни­ том. Для определения величины и направления электромагнит­ ной силы в подобных случаях разработаны правила расчета, излагаемые в курсах физики и физических основ электротех­ ники.

123

в котором для электропотенциальной энергии используются фор­ мулы (2.34) или (2.38).

5°. Силы

11 — dh

не зависят от электрических координат и представляют собою механические потенциальные силы. В частном случае это могут быть реакции упруго деформированных элементов, входящих в состав ЭМС.

6°. Силы

обусловливаются взаимодействиями зарядов пластин конденса­ торов, т. е. в конечном счете кулоновыми силами, и называются электростатическими силами. Для получения общего выражения электростатической силы можно воспользоваться выражениями (2.23) или (2.28) для электропотенциальной энергии. Из (2.23) найдем

-^— отрицательна, и электрическая сила проявляется как сила взаимного протяжения заряженных пластин конденсатора.

в котором для электрокинетической энергии используются вы­

проявляются как механические силы сопротивления; иногда их именуют демпфирующими силами.

9°. Электрические силы, проявляющиеся в ЭМС, могут иметь лишь электрическое происхождение, поскольку механические слагаемые кинетической, потенциальной энергий и диссипатив-

124

пой функции не зависят пи от электрических координат, пи от электрических скоростей. Поэтому отсутствие индекса е в обо­ значениях электрических сил не может вызвать недоразумений.

Общее напряжение последовательной цепи складывается из напряжений отдельных элементов. Устраняя из рассмотрения один или несколько элементов, получают для оставшейся части цепи меньшее значение общего напряжения. Это обстоятельство породило в электротехнической литературе термин «падение на­ пряжения», эквивалентный употребляемому в настоящем посо­ бии термину «напряжение элемента цепи». Очевидно, распреде­ ление напряжений в электрической цепи не может измениться, если один из элементов заменить на источник, генерирующий э. д. с , встречную по направлению и равную по величине паде­ нию напряжения на замещенном элементе. Последнее положе­ ние послужило причиной возникновения термина противо-э. д. с.

Электрические силы, определяемые с помощью первой фор­ мы уравнений Лагранжа—Максвелла, имеют физическое содер­ жание, соответствующее именно противо-э. д. с. Аналогичным образом электрические силы, устанавливаемые посредством вто­ рой формы уравнений Лагранжа — Максвелла, имеют смысл

противотоков.

10°. Поскольку

будем иметь

Равенство (2.48) представляет собою наиболее общую форму . выражения для э. д. с. индукции. Как частные случаи из него могут быть найдены выражения для э. д. с. самоиндукции

для э. д. с. взаимоиндукции

для э. д. с. взаимоиндукции, обусловленной изменяющимся потокосцеплением с внешним магнитным полем

11°. Электрические поля в ЭМС порождают противо-э. д. с. tt, = _

Исходя из выражения (2.23) для электропотенциальной энергии противо-э. д. с , обусловленную зарядом конденсатора, предста­ вим в виде

125

ПРОСТЕЙШИЕ

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ

СИСТЕМЫ

§ 1. Теоремы взаимности для электромеханических систем

Рассмотрим простейшие электромеханические системы, об­ ладающие двумя степенями свободы, т. е. минимально возмож­ ным для электромеханических систем числом степеней свободы: одной механической и одной электрической. Мгновенное состоя­ ние такой системы при использовании первой формы уравне­ ний Лагранжа—Максвелла может быть определено заданием двух координат: механической h и электрической q. Кинетиче­ скую и потенциальную энергии этой системы можно предста­ вить в виде

щих нас закономерностях, диссипативную функцию системы рас­

127

Взаимная обусловленность механических и электрических процессов находит отражение в том, что уравнение (3.3) содер­ жит электрическую координату q или ее производные, а уравне­ ние (3.4) при этом содержит геометрическую координату h или ее соответствующие производные. В том случае, например, когда отличны от нуля производная механической силы Р по скорости

Е по ускорению h, говорят, что электромеханическая связь осу­ ществляется через обобщенные ускорения. Такого рода связь представляет собою проявление механо-электрокинетической энергии и, как было выше отмечено, по своей интенсивности не­ измеримо меньше других проявлений кинетической энергии электромеханической системы. В выражении (3.1) для кинети­ ческой энергии механо-электрокинетическая энергия не учиты­ валась, поэтому мы .будем считать, что электромеханическая связь через обобщенные ускорения не осуществляется.

Установим возможность электромеханических связей, осуще­ ствляемых через обобщенные скорости. Дифференцируя выра­ жения (3.3) и (3.4), найдем

Равенство (3.5) выражает теорему антисимметричной взаим­ ности электромеханических связей, осуществляемых через обоб­ щенные скорости. Такие связи имеют индукционный характер.

Общее значение производных обозначим

новления возможности электромеханической связи по координа­ там:

128

где

Если в системе осуществляется электростатическая электро­ механическая связь, а сопутствующая индукционная связь опре­ деляется коэффициентом ии і = const либо вовсе отсутствует, то будем иметь

сти электромеханических связей, осуществляемых через обоб­ щенные координаты. Такие связи имеют электростатический ха­ рактер.

В системах с электростатической связью проявляются элек­ тростатические силы и э. д. с , обусловленные изменением емко­ сти.

дР дЕ_

Используя для ' составленияdq Ж уравнений простейшей ЭМС вторую форму уравнений Лагранжа—Максвелла, будем иметь

где и — напряжение между полюсами параллельной электриче­ ской цепи, •ѵ) — потокосцепление этой цепи, a|) = u, Г — инверсная индуктивность. Механическое и электрическое сопротивления не учитываем. Левые части уравнений обозначим через Р и /:

Для установления наличия ЭМ-связей, осуществляемых через скорости, рассмотрим производные