книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем
.pdfвание еще одной лишь ветви, так как |
любой |
дополнительный |
|
отрезок, связывающий ß + 1 - ю вершину |
с какой-либо из |
числа |
|
р вершин, повлечет возникновение контура. |
|
|
|
Формѵла (2.6)' получается суммированием л равенств вида |
|||
(2.6). |
|
|
|
Формулы (2.7) и (2.7)' вытекают из |
того, |
что каждый |
эле |
мент графа должен быть либо ветвью, либо хордой, и поэтому общее количество элементов графа складывается из числа вет вей и числа хорд:
|
|
а = Ь + |
с. |
|
(2.8) |
||
|
Использование графов, возможность перехода к изоморф |
||||||
ным, наиболее |
отчетливо выявляющим те или иные особенно |
||||||
сти |
структуры |
физической |
системы, |
приносит |
исследователю |
||
определенные |
удобства, упрощая |
изучение систем. Вместе |
с |
||||
тем |
переход |
от конкретной |
системы |
к графу |
никогда |
не |
является самоцелью, а лишь некоторым средством исследо вания.
Если граф нужен для расчетов, то каждому его элементу
соотносят определенную последовательную х/{ и |
параллельную |
уh переменные, и ориентируют элемент, указывая |
стрелкой по |
ложительное направление отсчета этих переменных. Поскольку граф может служить для расчета электрической цепи, то по
следовательная переменная будет представлять ток |
(или за |
|
ряд), параллельная — напряжение (или |
обобщенное |
потоко- |
сцеяление). Тогда для этих переменных |
будут справедливы |
соотношения, выражающие законы Кирхгофа. Так как электри
ческая |
цепь может |
служить аналогом |
механической |
|
системы, |
||||||||
то уравнения, |
эквивалентные |
уравнениям |
Кирхгофа, |
должны |
|||||||||
связывать |
механические переменные: |
эквивалент |
уравнений |
||||||||||
первого закона Кирхгофа для сил (или импульсов) |
выражает |
||||||||||||
правило сложения сил в проекциях, аналог уравнений |
второго |
||||||||||||
закона Кирхгофа для скоростей (или перемещений) |
выражает |
||||||||||||
связность |
пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
'-'•г Таким образом, |
для |
каждой |
г-й |
вершины |
графа будет спра |
||||||||
ведливо |
равенство |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ а / Л |
( |
0 |
= 0, |
|
|
|
(2.9) |
где |
|
|
|
|
k-й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
если |
элемент |
не завершается г-й |
вершиной, |
|||||||
|
|
1, |
если |
/г-й |
элемент |
ориентирован к г-й |
|
вершине, |
|||||
|
|
— 1, |
если |
k-й |
элемент |
ориентирован от г-й |
вершины. |
||||||
Д л я |
каждого1 |
/-го контура |
справедливы |
соотношения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ^ ( 0 = 0 , |
|
|
|
(2.10) |
90
где
0, |
если |
k-й |
элемент не входит в г'-й контур, |
|||
1, |
если |
k-й |
элемент |
ориентирован |
так же, как |
|
bik = |
і-й |
контур, |
|
|
||
• 1, если |
k-й |
элемент |
ориентирован |
противополож |
||
|
но |
/-му |
контуру. |
|
|
§5. Уравнения независимых контуров
иотсечений
Последовательные хк и параллельные ук переменные физи ческих систем не могут изменяться по произволу, так как про цессы в системе, описываемые этими переменными, являются взаимосвязанными. Уравнения (2.9) и (2.10) как раз и отра жают подобные связи, поскольку последние обусловлены
структурой |
системы. |
|
|
Следует |
отметить, что |
совокупность уравнений (2.9), |
точно |
так же, как |
и уравнений |
(2.10), не является, вообще |
говоря, |
совокупностью независимых уравнений. В самом деле, в силу
определенности |
ориентации |
элементов |
графа |
последователь |
|||
ная переменная |
произвольного элемента |
входит |
в |
уравнение |
|||
типа (2.9) для одной из |
вершин |
этого |
элемента |
со |
знаком |
||
плюс, а в уравнение для |
другой |
вершины — со |
знаком |
минус. |
Поэтому в совокупность ß уравнений, составленных для всех вершин графа, каждая из последовательных переменных входит дважды, причем с противоположными знаками. Суммируя по членно все ß уравнений, получим тождество вида 0 = 0 , что приводит к выводу о том, что по крайней мере одно из уравне ний является следствием остальных.
Можно убедиться также в том, что не являются независи мыми уравнения (2.10). Совокупность независимых уравнений типа (2.10) можно получить, если ограничиться уравнениями, составленными для независимых контуров.
В § 2 независимыми были названы контуры, отличающиеся хотя бы одним элементом. Рассмотрим граф на рис. 30. Девять его элементов снабжены порядковой нумерацией, которую мож но использовать для обозначения пути в графе с помощью по следовательности цифр. Если первая цифра совпадает с послед ней, то путь замыкается, образуя контур. Так, например, три контура — 18231, 35643, 67896 — являются независимыми. В по строении этих контуров использованы все девять элементов графа, поэтому ни одного независимого контура, кроме назван ных трех, построить невозможно. Но, меняя порядок образова ния контуров, можно получить и четыре независимых контура: 18231, 35643, 1491, 2572. Таким образом, разные способы вы бора независимых контуров приводят к разному их количеству. Это свидетельствует о том, что приведенное выше определение независимых контуров не является достаточно полным.
91
Выберем в графе одно какое-либо определенное дерево. Из элементов дополнения дерева возьмем одну какую-нибудь хорду. От одной ее вершины до другой по ветвям дерева про легает единственный путь. Действительно, если бы был возмо жен другой, то два пути, смыкаясь в вершинах хорды, образо вали бы контур, составленный из ветвей, что невозможно, так как дерево не содержит контуров. С другой стороны, единст венный путь обязательно имеется, поскольку дерево включает все вершины. Этот путь вместе с хордой образует контур. По
добным образом любой |
другой |
хорде |
будет |
отвечать |
другой |
определенный контур. |
|
|
|
|
|
Вернувшись к графу |
на рис. 30, положим, |
что дерево |
обра |
||
зовано в нем элементами |
1, 2, |
3, 4 и |
5. Тогда |
для хорд |
6, 7, 8 |
b
Рис. 30. |
Рис. 31. |
и 9 получим контуры: 64356, |
7257, 82318, 9149. Поскольку каж |
дая из хорд входит лишь в один из контуров, эти контуры от
личаются один от |
другого по |
крайней мере одним элементом |
и, следовательно, |
независимы. |
Количество построенных таким |
путем независимых контуров не меняется при переходе к дру
гому дереву, так как число хорд |
не связано |
с выбором дерева, |
||||||||||
о чем |
свидетельствует |
формула |
(2.7). Читателю |
полезно |
убе |
|||||||
диться |
в |
этом, |
использовав, |
например, |
иные |
деревья, |
кроме |
|||||
предложенного для графа на |
рис. 30, и |
рассмотрев независи |
||||||||||
мые контуры, отвечающие новым дополнениям деревьев. |
|
|||||||||||
Таким образом, приходим к следующему определению: не |
||||||||||||
зависимым |
контуром |
называется |
|
контур, |
образованный |
хор |
||||||
дой, замыкающей |
единственный |
ее путь в |
дереве. |
|
|
|||||||
Условимся направление обхода |
независимого |
контура — его |
||||||||||
ориентацию — считать |
совпадющей |
с ориентацией |
хорды. Тогда |
|||||||||
о коэффициентах |
bik уравнений |
(2.10) можно |
сказать, что они |
|||||||||
равны |
нулю, если k-и |
элемент |
не входит |
в контур |
/-й хорды; — |
единице, если /г-й элемент ориентирован также как г-я хорда;— единице с минусом, если k-ïi элемент ориентирован противопо-
92
ложно і-й хорде. Так, например, для хорд 6, 7, 8 и 9 графа на рис. 30 таблица коэффициентов Ьы будет следующей:
\ |
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
і\
6 |
0 0 |
— 1 1 - 1 |
1 0 0 0 |
||||||
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
8 |
—1 |
1 — 1 0 |
0 0 |
0 |
] |
0 |
|||
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Поэтому уравнения |
типа |
(2.10) для |
этого |
графа |
имеют |
вид |
|||||||
|
|
|
Уз + Уь + . ѵ 7 |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
— Уі+У-і |
— У-і+Уъ |
= |
Ъ, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
У i + у < + у » |
= |
и. |
|
|
|
|
|
|
||
Условимся в дальнейшем то единственное из всех возмож |
|||||||||||||
ных дерево, |
на |
котором |
останавливают |
выбор |
при |
проведении |
|||||||
расчетов, называть |
опорным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим еще для примера граф |
на |
рис. |
31. |
Для |
этого |
||||||||
графа в качестве опорного выбрано |
лагранжево |
дерево. |
Коэф |
||||||||||
фициенты |
bih представляются |
таблицей: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
\ |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
і\
|
5 |
1 |
0 |
0 |
- 1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
- 1 |
- 1 |
0 |
0 0 |
1 0 |
0 |
|||
|
7 |
0 |
- 1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
8 |
0 |
0 — 1 - 1 0 |
0 0 |
1 |
|||||
Таблица |
полностью |
определяет |
вид |
уравнений независимых |
||||||
контуров |
(УНК): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі — У і + Л |
= |
|
0. |
|
|
||
|
|
— Уі—У2+Уъ |
= |
|
0, |
|
|
|||
|
|
— ^ 2 + Уз + У 7 = 0 , |
|
|
||||||
|
|
— Уз— .Vt + |
y 8 |
= |
|
0. |
|
|
Свведением понятия о независимых контурах, отвечающих хордам, появилась возможность составлять совокупности неза висимых уравнений для параллельных переменных — совокуп ности уравнений независимых контуров,
Сцелью получения независимых уравнений для последова тельных переменных введем новое понятие о подграфе, назы ваемом отсечением. Если каждый независимый контур содер жал единственную хорду, то отсечение будет обладать един ственной ветвью. Необходимо установить признак, объединяю-
93
щий элементы в этот подграф. Признак сводится к следующе
му. У некоторой ветви |
одну из вершин |
будем |
|
называть первой, |
|||
а другую — второй. |
Произвольным |
образом |
|
разобьем |
все |
||
остальные вершины на две части, одну |
из которых мысленно |
||||||
присоединим к первой, |
а другую — ко |
второй |
вершине. Теперь |
||||
все вершины разделены на две группы, |
что |
дает возможность |
|||||
разбить граф на три подграфа: два из |
них |
включают элемен |
|||||
ты, обе вершины которых принадлежат либо |
первой, |
либо |
|||||
второй группе, а третий — его-то мы и |
|
будем |
|
рассматривать—• |
|||
составлен из элементов, одна вершина |
|
которых |
входит в |
пер |
вую, а другая — во вторую группу. Если вершины удалось раз бить на две группы таким образом, что, кроме исходной ветви,
третий подграф не |
содержит ни одной другой (т. е. все осталь |
|||||
ные его |
элементы |
являются хордами), то этот подграф и |
||||
называют |
отсечением. |
|
|
|
|
|
Проще всего образуются отсечения для случая, |
когда |
опор |
||||
ное дерево является лагранжевым: достаточно в |
первую |
груп |
||||
пу объединить все |
вершины графа, за исключением |
одной, |
не |
|||
являющейся общей |
вершиной ветвей; эта одна вершина будет |
|||||
составлять |
вторую |
группу. Так, обращаясь вновь |
к |
графу |
на |
рис. 31, отсечение ветви / получаем, выделяя вершину а в одну
группу, |
а все |
остальные объединяя в другую; для |
получения |
|
отсечений остальных ветвей будем уединять далее вершину |
bt |
|||
затем с |
и, наконец, d. При этом получим четыре |
отсечения: |
||
156, 267, |
378, |
458. |
|
|
Если опорное дерево не лагранжево, построить |
отсечение |
|||
сложнее. Так, например, для получения отсечения |
ветви |
3 |
графа на рис. 30 вершины разбиваются на две группы по три вершины в каждой: acf и bde. Отчесение будет 368.
Для отсечения, полученного выделением в группу одной только вершины, уравнения в последовательных переменных принимают без изменения форму уравнений (2.9). Если же каждая из групп содержит по несколько вершин, то уравнение отсечения может быть получено почленным сложением уравне
ний типа (2.9), составленных |
для |
каждой из |
вершин, входящих |
в одну группу. Например, для вершин а, с |
и / графа рис. 30 |
||
будем иметь: |
|
|
|
ус j • |
jcз |
^ —- 0, |
|
—х х — х 8 4- х 9 = 0.
Складывая эти уравнения, получим
*3 + *П + ^8 = 0. |
|
|
|
Последовательные переменные элементов |
1, 4 |
и 9 |
при сумми |
ровании уничтожились, результирующее |
уравнение |
содержит |
|
переменные только тех элементов, которые |
составляют отсе |
||
чение. |
. . . . |
|
94
|
В дальнейшем для установления значений |
коэффициентов |
|||
dih уравнений отсечений будем пользоваться |
следующим |
пра |
|||
вилом: |
|
|
|
||
|
0, если /г-й |
элемент не входит в отсечение г-й |
ветви, |
||
аІЬ= |
1, если k-й |
элемент ориентирован так |
же, как г'-я |
ветвь, |
|
— 1, если k-й |
элемент ориентирован |
противоположно |
|||
|
г'-й ветви.
Сопоставляя ориентацию элементов, будем полагать ее совпа
дающей, если оба элемента направлены |
снаружи |
внутрь |
груп |
|||||||
пы вершин, |
объединенных |
при |
по |
|
|
|
||||
строении отсечения, или если оба |
|
|
|
|||||||
направлены |
изнутри этой |
группы |
|
|
|
|||||
наружу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интересно отметить, что к опре |
|
|
|
|||||||
делению отсечения можно прийти и |
|
|
|
|||||||
иным путем, если осуществлять дуа- |
|
|
|
|||||||
лизацию |
графа, |
условившись, |
что |
|
|
|
||||
ветви переходят в хорды дуального |
|
|
|
|||||||
графа, |
а хорды — в ветви. Тогда |
от |
|
|
|
|||||
сечение будет не чем иным, как со |
|
|
|
|||||||
вокупностью |
элементов |
исходного |
|
|
|
|||||
графа, |
соответствующей |
|
независи |
|
|
|
||||
мому |
контуру |
графа |
дуального. |
|
|
|
||||
Рис. 32 служит для иллюстрации |
по |
Рис. |
32. |
|
||||||
следнего |
положения. |
Предлагаем |
|
|
|
|||||
читателю сопоставить отсечения графа рис. 31, построенные |
в со |
ответствии с первым и вторым определением. Первое определе
ние является более общим, поскольку второе |
может быть при |
||||||||||
менено лишь к планарным |
графам. |
|
|
|
|
|
|||||
Подводя итог сказанному, придем к следующему определе |
|||||||||||
нию: отсечением |
называют |
подграф, составленный |
из |
одной |
|||||||
ветви |
и |
хорд, одна |
из |
вершин которых |
принадлежит |
|
первой |
||||
группе |
вершин, |
а другая |
— второй |
группе; |
две |
группы |
в |
сово |
|||
купности |
охватывают |
все |
вершины |
графа |
и общих вершин не |
имеют. Уравнения отсечений (УО) представляют собою сово купности независимых уравнений для последовательных пере менных, поскольку каждое из них содержит лишь одну пере менную ветви, не повторяющуюся в других уравнениях.
Составленные выше таблицы коэффициентов Ьц, по |
сути |
дела представляют собою матрицы. Использование |
матриц |
•упрощает операции, связанные с выводом УНК и УО и расче тами, осуществляемыми с помощью этих уравнений. Достоин ства матричных методов тем заметнее, чем выше сложность графов, чем больше количество элементов их составляющих. Помимо упрощения расчетов использование матриц позволяет более коротким путем приходить к обобщающим заключениям.
Напомним читателю некоторые определения матричного ис числения, которые понадобятся в дальнейшем.
1°. Матрицей называют |
прямоугольную таблицу |
каких-либо |
величин. |
|||||
Если такая таблица имеет m |
строк и |
п |
столбцов, |
то |
она называется |
( я Х л ) - |
||
матрицей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« и |
|
.. |
а |
|
|
|
|
|
|
|
. |
а |
|
|
|
|
L |
"-/ni " я і 2 |
- • ' |
ипт |
|
|
|
|
Величины atk называют |
элементами |
|
мапріщы. |
Для (m X я)-матрицы, |
||||
образованной элементами |
а^, |
будем употреблять |
символическое обозначение |
|||||
А = (аік, |
/ = |
1,2 |
|
m; k = 1, |
2 |
и). |
|
Пели т — п, то матрица называется квадратной. Квадратная (п X и)- матрица называется диагональной, если a-lk = b при і ф k.
Матрицу
называют матрицей-столбцом |
или т-вектором |
с координатами |
jr,, х , , . . . , |
лг,„. |
||||||||||||
2°. Если А |
и В — две |
(от X яѴматрицы, |
то говорят, что |
А = В |
в |
том |
||||||||||
случае, |
когда |
aik |
— bik при |
всех / и е. Матрица, все элементы |
которой |
рав |
||||||||||
ны нулю, называется нуль-матрицей |
и обозначается цифрой 0. |
|
|
|||||||||||||
3°. Если А, В |
и |
С— |
(да X «)-матрицы, |
то |
запись |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С = А + |
В |
|
|
|
|
|
|
||
-означает, что |
сі!і |
= |
а-^ |
4- |
|
при всех |
/ |
и |
k. |
Если |
а — скаляр, |
то |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
С — аА = |
Аа, |
|
|
|
|
|
|
||
«СЛИ С;Л =аЯ;/г |
ДЛЯ Л ю б ы х |
/ , |
k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4°. |
Если А = |
(aik, |
і = |
\, |
2, . . . , m; |
k |
= |
\, |
2, . . . , |
p), |
|
|
|
|||
то C = |
B=(bfk, |
|
/ = |
1, |
2, |
£ |
= |
1, |
2 , . . . |
, |
/г), |
|
|
|
||
^ 4 ß — э т о |
(?« X |
я)-матрица с элементами |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство, |
сложение |
и |
умножение |
|
матриц, |
определенные |
выше, |
обла |
дают всеми обычными для арифметических действий свойствами, за исклю
чением |
того, |
что умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т. е., |
|
как правило, |
АВфВА. |
|
|
Определение умножения позволяет ввести единичную матрицу Е, под ко |
|||
торой |
будем |
понимать диагональную |
(иХи)-матрицу с элементами |
|
|
I 1, |
если / = k, |
|
|
|
|
|
хШ |
~~ J 0, если |
/ ф k; |
|
|||
эта |
матрица |
играет роль единицы |
при |
умножении: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ЕА |
= АЕ |
= |
А. |
то |
|
если |
А — любая (п X |
/і)-матрица. |
|
|
|
п), |
|||||
~(аік' |
5°. |
і = ' " |
2> • • • > п; |
k-Л, |
2, . . . , т). |
элементы которой |
а'і/г |
||||
|
Если |
A = {aik, |
г' = |
1, 2, . .. , т\ |
/г = |
1, 2, |
|
||||
вается |
транспонированной |
по |
отношению |
к |
матрице А. |
|
|||||
|
Матрица |
А называется |
симметрической, |
|
если |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
А' = |
А. |
|
|
|
матрица А' - = а^ назы-
96
и кососимметрической, |
есіи |
А1 = — А. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
С0. Если А — квадратная |
матрица, |
то под det А будем |
подразумевать |
ее |
|||
определитель. Матрица |
А называется |
неособенной, |
если |
|
|
||
|
|
det Л Ф 0. |
|
|
|
||
Можно показать, что всякая |
неособенная |
матрица |
имеет |
обратную. Обрат |
|||
ной, данной матрице А |
называют матрицу |
А~\ которая |
удовлетворяет |
ра |
|||
венству |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л _ |
1 Л = = АА~1 |
=Е. |
|
|
|
7°. В приложениях часто возникает надобность матрицу как прямоуголь ную таблицу некоторых величин разбить вертикальными и горизонтальными линиями на несколько клеток, именуемых блоками матрицы. Каждый блок также является матрицей более низкого порядка по сравнению с матрицей, частью которой он является. В отличие от элементов матрицы блоки будем обозначать заглавными буквами:
|
Ап |
. . . Ащ |
|
|
А = |
|
|
|
Арі |
• . . Apq |
|
Вернемся теперь к рассмотрению соотношений, связывающих |
|||
переменные элементов |
графов. |
|
|
Перенумеровывая |
элементы |
графа, |
можно допускать какой |
угодно произвол. Однако для удобства |
рассуждений и экономии |
записи лучше установить какой-либо определенный порядок. Ну
меруя порознь ветви: 1,2,..., Ь—1, |
Ь, и хорды: |
1,2,..., с—1, с, |
||||||||
будем в дальнейшем полагать, что при сквозной |
нумерации |
всех |
||||||||
элементов первые |
номера |
сохраняются у ветвей, а хорды приоб |
||||||||
ретают номера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь + 1, Ь + 2, . . . , Ь +- с — 1, b -}- с = а. |
|
||||||||
Тогда, используя приведенные выше определения, |
УНК |
|||||||||
можно представить |
в следующей матричной форме: |
|
||||||||
|
|
|
|
[BE] |
Ус |
=2, о, |
|
|
( V I І К ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где B = (bikl |
і = \, |
2, |
с; k=\, |
b), |
Е — единичная |
|||||
(с X с)-матрица, |
координатами |
векторов |
Yb |
и Yс служат |
па |
|||||
раллельные |
переменные |
ветвей |
и хорд соответственно: |
|
||||||
|
|
|
|
" У і " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уь- |
, |
Ус = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уь _ |
|
Л |
|
|
|
|
УО представим в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
[ЕА] |
|
о, |
|
|
|
(УО) |
7 Л. Ю. Львович
где |
Е — единичная (b X /3)-матрица, Л = ( ^ А , і = 1, 2, |
/>; |
|
k= |
1, 2 |
с), |
|
, х с =
•«6
Наличие единичных матриц среди блоков в выражениях ле вых частей УНК и УО свидетельствует о независимости этих уравнений. Количество УНК совпадает с числом независимых контуров, равным числу хорд
с = а — Р - Ы ;
количество УО, равное числу отсечений, определяется числом ветвей
|
|
|
|
ô = |
p — 1. |
|
|
|
|
|
|
Можно |
показать, |
что величина |
с |
характеризует |
максимально |
||||||
возможное |
количество |
независимых |
уравнений |
параллельных |
|||||||
переменных, |
а величина |
b — максимально |
возможное число не |
||||||||
зависимых уравнений последовательных |
переменных. |
|
|||||||||
Из блочной формы записи уравнений с помощью |
правила |
||||||||||
матричного умножения |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
BVb+Yc |
|
= 0, |
|
|
|
(2.11) |
|
|
|
|
|
Xb + AXc |
= 0. |
|
|
|
(2.12) |
||
Поскольку в общем случае нет |
возможности |
утверждать, что |
|||||||||
В и А— матрицы |
неособенные, то уравнение (2.11) не может |
||||||||||
быть разрешено |
относительно |
Уь, а |
уравнение |
(2.12) |
относи |
||||||
тельно Хс. Поэтому из последних уравнений вытекают |
сущест |
||||||||||
венные |
выводы: |
произвольными |
параллельными |
переменными |
|||||||
могут быть |
лишь |
переменные ветвей, |
через |
которые |
по фор |
||||||
мулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уе = -ВУь |
|
|
|
|
(2.11)' |
выражаются параллельные переменные хорд; последовательные переменные ветвей не являются независимыми и не могут быть произвольными — их значения определяются с помощью значе ний последовательных переменных хорд по формулам
|
|
ХЬ = -АХС. |
(2.12)' |
||
|
Докажем теперь весьма важную для |
|
<. |
||
|
приложений теорему |
||||
о |
зависимостях между |
блоками |
матриц |
коэффициентов |
УНК |
и |
УО. Содержание этой |
теоремы |
выражается простой |
зави |
|
симостью |
|
|
|
|
|
|
|
Б - - А ' . |
|
(2.13) |
98
Если исходить из приведенных выше определений, то утвер ждение теоремы можно свести к равенству
|
blk |
= |
-a'llt |
(2.13)' |
|
или |
Ь1л |
= |
- а „ |
(2.13)" |
|
|
|||||
для элементов матриц В я А, которое должно |
соблюдаться |
при |
|||
любых значениях |
і = 1, 2, . . ., с; k = 1, 2, . . ., |
b. |
|
||
Поскольку после |
выбора опорного дерева любой хорде с,- отвечает |
един |
ственный вполне определенный независимый контур, условимся этот незави
симый контур |
для |
краткости |
называть контуром |
хорды |
еѵ Аналогично, |
так |
|||||
как любой |
ветви |
отвечает |
единственное отсечение, |
введем термин |
отсе |
||||||
чение |
ветви |
bk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
вершина |
графа является общей для нескольких элементов и |
|||||||||
лишь |
один |
из |
них |
является |
ветвью, |
то эту вершину будем называть |
конеч |
||||
ной. |
Если |
одна из |
вершин |
ветви |
является конечной, то, как это выше уже |
||||||
было |
указано, |
именно она |
составит |
одну из групп, а |
другую образуют |
все |
остальные ß—1 вершин. Тогда в отсечение ветви bk войдут хорды, для которых конечная вершина является общей. Легко убедиться, что иные раз
биения вершин не могут привести |
к |
образованию отсечения |
ветви bk. |
Если ни одна из вершин |
не |
является конечной, то |
удаление этой |
ветви влечет распадение дерева на две изолированные друг от друга части.
Объединяя вершины одной части дерева в |
одну группу, |
а вершины |
другой |
|||||
части — в |
другую, |
получим |
единственное |
разбиение |
вершин, |
порождающее |
||
отсечение |
ветви bk- |
|
|
|
|
bk< образует |
||
Докажем, что |
хорда С;, |
входящая в состав отсечения |
ветви |
|||||
независимый контур, содержащий ветвь bk. |
В самом деле, по определению |
|||||||
отсечения |
одна из |
вершин хорды С; и одна |
вершина |
ветви |
Ьь входят |
в одну |
из групп разбиения вершин. Эта группа может состоять из единственной
вершины, |
если |
она |
конечная |
вершина, |
но |
тогда она является общей для |
||||||||||
ветви |
Ъи |
и |
хорды |
ct. |
Если |
же |
у |
ветви |
|
нет конечных вершин, то рас |
||||||
сматриваемая |
группа |
содержит |
вершины |
пути, пролегающего |
по |
ветвям. |
||||||||||
Этот |
путь |
непременно |
приводит |
от |
вершины |
ветви |
bk |
к вершине хорды С; |
||||||||
Допустить |
обратное |
можно, если |
предположить, что |
хорда |
ct связана |
с упо |
||||||||||
мянутым |
путем |
через |
некоторую промежуточную хорду, |
что |
невозможно, |
|||||||||||
так как дерево заключает в себе |
все |
вершины |
графа. |
bk,- |
|
|
|
|
||||||||
Итак, |
если |
хорда |
С; входит |
в |
отсечение |
ветви |
то |
она |
либо |
имеет |
с этой ветвью общую вершину, либо ее с этой ветвью связывает путь, про
легающий по ветвям. Но в |
обоих |
случаях |
контур |
хорды |
сг |
будет |
содержать |
||||||||||||||||
ветвь bk- |
|
|
|
|
|
dkl |
— + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значение коэффициента |
свидетельствует |
о |
том, |
что |
хорда |
с,- |
|||||||||||||||||
и ветвь bk |
направлены |
из |
|
рассматриваемой |
группы |
вершин |
наружу |
или |
|||||||||||||||
наоборот — обе |
внутрь |
этой |
группы. И в том и в другом |
случае ориентация |
|||||||||||||||||||
ветви |
bk |
окажется противоположной |
ориентации |
контура |
хорды |
ct, |
|
т. |
е. |
||||||||||||||
ft/ft = — 1 . |
Если |
|
О-ы = |
— 1 , |
то |
6(fc= |
+ 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теперь |
допустим, |
что |
ветвь |
|
bk |
входит |
в состав |
контура |
хорды |
С/, |
и |
||||||||||||
покажем, что в этом случае |
отсечение ветви |
Ь^ |
будет |
содержать |
хорду |
|
С;. |
||||||||||||||||
По |
условию |
вершины |
хорды |
|
с,- связаны |
путем, |
пролегающим |
по |
ветвям, |
||||||||||||||
среди которых |
содержится |
и |
Ь^. |
Нужно |
доказать, |
что |
при построении |
от |
|||||||||||||||
сечения |
ветви |
bk |
две |
вершины |
хорды |
с,-, |
так же |
как |
и |
вершины |
|
будут |
принадлежать разным группам вершин. Всегда можно указать группу, в ко
торую входят одна из вершин ветви |
и одна |
вершина |
хорды |
cj. Если до |
|||||||
пустить, |
что в эту группу входит и |
вторая вершина |
хорды С;, |
то |
придется |
||||||
заключить, |
что |
замкнутая |
линия, |
окружающая рассматриваемую |
группу |
||||||
вершин, |
которая |
по |
предположению |
пересекает |
ветвь |
bk, |
пересечет, еще по |
||||
крайней |
мере |
одну |
из ветвей, |
содержащихся в |
пути, |
связывающем |
вершины |
99