Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Львович А.Ю. Основы теории электромеханических систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

вание еще одной лишь ветви, так как	любой	дополнительный
отрезок, связывающий ß + 1 - ю вершину	с какой-либо из		числа
р вершин, повлечет возникновение контура.
Формѵла (2.6)' получается суммированием л равенств вида
(2.6).
Формулы (2.7) и (2.7)' вытекают из	того,	что каждый	эле

мент графа должен быть либо ветвью, либо хордой, и поэтому общее количество элементов графа складывается из числа вет вей и числа хорд:


		а = Ь +		с.		(2.8)
	Использование графов, возможность перехода к изоморф
ным, наиболее		отчетливо выявляющим те или иные особенно
сти	структуры	физической	системы,		приносит	исследователю
определенные		удобства, упрощая		изучение систем. Вместе			с
тем	переход	от конкретной	системы		к графу	никогда	не

является самоцелью, а лишь некоторым средством исследо вания.

Если граф нужен для расчетов, то каждому его элементу

соотносят определенную последовательную х/{ и	параллельную
уh переменные, и ориентируют элемент, указывая	стрелкой по

ложительное направление отсчета этих переменных. Поскольку граф может служить для расчета электрической цепи, то по

следовательная переменная будет представлять ток		(или за
ряд), параллельная — напряжение (или	обобщенное	потоко-
сцеяление). Тогда для этих переменных	будут справедливы

соотношения, выражающие законы Кирхгофа. Так как электри

ческая

цепь может

служить аналогом

механической

системы,

то уравнения,

эквивалентные

уравнениям

Кирхгофа,

должны

связывать

механические переменные:

эквивалент

уравнений

первого закона Кирхгофа для сил (или импульсов)

выражает

правило сложения сил в проекциях, аналог уравнений

второго

закона Кирхгофа для скоростей (или перемещений)

выражает

связность

пространства.

'-'•г Таким образом,

для

каждой

г-й

вершины

графа будет спра

ведливо

равенство

Ѵ а / Л

(

= 0,

(2.9)

где

k-й

если

элемент

не завершается г-й

вершиной,

если

/г-й

элемент

ориентирован к г-й

вершине,

— 1,

если

k-й

элемент

ориентирован от г-й

вершины.

Д л я

каждого1

/-го контура

справедливы

соотношения

2 ^ ( 0 = 0 ,

(2.10)

где


0,	если		k-й	элемент не входит в г'-й контур,
1,	если		k-й	элемент	ориентирован	так же, как
bik =	і-й	контур,
• 1, если			k-й	элемент	ориентирован	противополож
	но	/-му		контуру.

§5. Уравнения независимых контуров

иотсечений

Последовательные хк и параллельные ук переменные физи ческих систем не могут изменяться по произволу, так как про цессы в системе, описываемые этими переменными, являются взаимосвязанными. Уравнения (2.9) и (2.10) как раз и отра жают подобные связи, поскольку последние обусловлены

структурой	системы.
Следует	отметить, что	совокупность уравнений (2.9),	точно
так же, как	и уравнений	(2.10), не является, вообще	говоря,

совокупностью независимых уравнений. В самом деле, в силу

определенности	ориентации	элементов		графа	последователь
ная переменная	произвольного элемента			входит	в	уравнение
типа (2.9) для одной из		вершин	этого	элемента		со	знаком
плюс, а в уравнение для		другой	вершины — со		знаком		минус.

Поэтому в совокупность ß уравнений, составленных для всех вершин графа, каждая из последовательных переменных входит дважды, причем с противоположными знаками. Суммируя по членно все ß уравнений, получим тождество вида 0 = 0 , что приводит к выводу о том, что по крайней мере одно из уравне ний является следствием остальных.

Можно убедиться также в том, что не являются независи мыми уравнения (2.10). Совокупность независимых уравнений типа (2.10) можно получить, если ограничиться уравнениями, составленными для независимых контуров.

В § 2 независимыми были названы контуры, отличающиеся хотя бы одним элементом. Рассмотрим граф на рис. 30. Девять его элементов снабжены порядковой нумерацией, которую мож но использовать для обозначения пути в графе с помощью по следовательности цифр. Если первая цифра совпадает с послед ней, то путь замыкается, образуя контур. Так, например, три контура — 18231, 35643, 67896 — являются независимыми. В по строении этих контуров использованы все девять элементов графа, поэтому ни одного независимого контура, кроме назван ных трех, построить невозможно. Но, меняя порядок образова ния контуров, можно получить и четыре независимых контура: 18231, 35643, 1491, 2572. Таким образом, разные способы вы бора независимых контуров приводят к разному их количеству. Это свидетельствует о том, что приведенное выше определение независимых контуров не является достаточно полным.

Выберем в графе одно какое-либо определенное дерево. Из элементов дополнения дерева возьмем одну какую-нибудь хорду. От одной ее вершины до другой по ветвям дерева про легает единственный путь. Действительно, если бы был возмо жен другой, то два пути, смыкаясь в вершинах хорды, образо вали бы контур, составленный из ветвей, что невозможно, так как дерево не содержит контуров. С другой стороны, единст венный путь обязательно имеется, поскольку дерево включает все вершины. Этот путь вместе с хордой образует контур. По

добным образом любой	другой	хорде	будет	отвечать	другой
определенный контур.
Вернувшись к графу	на рис. 30, положим,			что дерево	обра
зовано в нем элементами	1, 2,	3, 4 и	5. Тогда	для хорд	6, 7, 8

Рис. 30.	Рис. 31.
и 9 получим контуры: 64356,	7257, 82318, 9149. Поскольку каж

дая из хорд входит лишь в один из контуров, эти контуры от

личаются один от	другого по	крайней мере одним элементом
и, следовательно,	независимы.	Количество построенных таким

путем независимых контуров не меняется при переходе к дру

гому дереву, так как число хорд

не связано

с выбором дерева,

о чем

свидетельствует

формула

(2.7). Читателю

полезно

убе

диться

этом,

использовав,

например,

иные

деревья,

кроме

предложенного для графа на

рис. 30, и

рассмотрев независи

мые контуры, отвечающие новым дополнениям деревьев.

Таким образом, приходим к следующему определению: не

зависимым

контуром

называется

контур,

образованный

хор

дой, замыкающей

единственный

ее путь в

дереве.

Условимся направление обхода

независимого

контура — его

ориентацию — считать

совпадющей

с ориентацией

хорды. Тогда

о коэффициентах

bik уравнений

(2.10) можно

сказать, что они

равны

нулю, если k-и

элемент

не входит

в контур

/-й хорды; —

единице, если /г-й элемент ориентирован также как г-я хорда;— единице с минусом, если k-ïi элемент ориентирован противопо-

ложно і-й хорде. Так, например, для хорд 6, 7, 8 и 9 графа на рис. 30 таблица коэффициентов Ьы будет следующей:

\	k	2	3	4	5	6	7	8	9
	1

і\

6	0 0		— 1 1 - 1			1 0 0 0
7	0	1	0	0	1	0	1	0	0
8	—1	1 — 1 0			0 0		0	]	0
9	1	0	0	1	0	0	0	0	1

Поэтому уравнения

типа

(2.10) для

этого

графа

имеют

вид

Уз + Уь + . ѵ 7

— Уі+У-і

— У-і+Уъ

Ъ,

У i + у < + у »

и.

Условимся в дальнейшем то единственное из всех возмож

ных дерево,

на

котором

останавливают

выбор

при

проведении

расчетов, называть

опорным.

Рассмотрим еще для примера граф

на

рис.

31.

Для

этого

графа в качестве опорного выбрано

лагранжево

дерево.

Коэф

фициенты

bih представляются

таблицей:

і\

	5	1	0	0	- 1		1	0	0	0
	6	- 1	- 1	0	0 0			1 0		0
	7	0	- 1	1	0		0	0	1	0
	8	0	0 — 1 - 1 0					0 0		1
Таблица	полностью	определяет			вид		уравнений независимых
контуров	(УНК):
			Уі — У і + Л			=		0.
		— Уі—У2+Уъ				=		0,
		— ^ 2 + Уз + У 7 = 0 ,
		— Уз— .Vt +			y 8	=		0.

Свведением понятия о независимых контурах, отвечающих хордам, появилась возможность составлять совокупности неза висимых уравнений для параллельных переменных — совокуп ности уравнений независимых контуров,

Сцелью получения независимых уравнений для последова тельных переменных введем новое понятие о подграфе, назы ваемом отсечением. Если каждый независимый контур содер жал единственную хорду, то отсечение будет обладать един ственной ветвью. Необходимо установить признак, объединяю-

щий элементы в этот подграф. Признак сводится к следующе

му. У некоторой ветви	одну из вершин	будем			называть первой,
а другую — второй.	Произвольным	образом				разобьем	все
остальные вершины на две части, одну			из которых мысленно
присоединим к первой,	а другую — ко	второй			вершине. Теперь
все вершины разделены на две группы,			что	дает возможность
разбить граф на три подграфа: два из			них	включают элемен
ты, обе вершины которых принадлежат либо						первой,	либо
второй группе, а третий — его-то мы и			будем		рассматривать—•
составлен из элементов, одна вершина			которых			входит в	пер

вую, а другая — во вторую группу. Если вершины удалось раз бить на две группы таким образом, что, кроме исходной ветви,

третий подграф не		содержит ни одной другой (т. е. все осталь
ные его	элементы	являются хордами), то этот подграф и
называют	отсечением.
Проще всего образуются отсечения для случая,			когда		опор
ное дерево является лагранжевым: достаточно в			первую		груп
пу объединить все		вершины графа, за исключением		одной,		не
являющейся общей		вершиной ветвей; эта одна вершина будет
составлять	вторую	группу. Так, обращаясь вновь	к	графу		на

рис. 31, отсечение ветви / получаем, выделяя вершину а в одну

группу,	а все	остальные объединяя в другую; для	получения
отсечений остальных ветвей будем уединять далее вершину				bt
затем с	и, наконец, d. При этом получим четыре		отсечения:
156, 267,	378,	458.
Если опорное дерево не лагранжево, построить			отсечение
сложнее. Так, например, для получения отсечения			ветви	3

графа на рис. 30 вершины разбиваются на две группы по три вершины в каждой: acf и bde. Отчесение будет 368.

Для отсечения, полученного выделением в группу одной только вершины, уравнения в последовательных переменных принимают без изменения форму уравнений (2.9). Если же каждая из групп содержит по несколько вершин, то уравнение отсечения может быть получено почленным сложением уравне

ний типа (2.9), составленных	для	каждой из	вершин, входящих
в одну группу. Например, для вершин а, с			и / графа рис. 30
будем иметь:
ус j •	jcз	^ —- 0,

—х х — х 8 4- х 9 = 0.

Складывая эти уравнения, получим

3 + П + ^8 = 0.
Последовательные переменные элементов	1, 4	и 9	при сумми
ровании уничтожились, результирующее	уравнение		содержит
переменные только тех элементов, которые		составляют отсе
чение.	. . . .

	В дальнейшем для установления значений		коэффициентов
dih уравнений отсечений будем пользоваться			следующим	пра
вилом:
	0, если /г-й	элемент не входит в отсечение г-й		ветви,
аІЬ=	1, если k-й	элемент ориентирован так	же, как г'-я	ветвь,
	— 1, если k-й	элемент ориентирован	противоположно

г'-й ветви.

Сопоставляя ориентацию элементов, будем полагать ее совпа


дающей, если оба элемента направлены								снаружи	внутрь	груп
пы вершин,			объединенных			при	по
строении отсечения, или если оба
направлены			изнутри этой			группы
наружу.
Интересно отметить, что к опре
делению отсечения можно прийти и
иным путем, если осуществлять дуа-
лизацию		графа,		условившись,			что
ветви переходят в хорды дуального
графа,	а хорды — в ветви. Тогда						от
сечение будет не чем иным, как со
вокупностью			элементов		исходного
графа,	соответствующей					независи
мому	контуру			графа	дуального.
Рис. 32 служит для иллюстрации							по	Рис.	32.
следнего		положения.			Предлагаем
читателю сопоставить отсечения графа рис. 31, построенные										в со

ответствии с первым и вторым определением. Первое определе


ние является более общим, поскольку второе									может быть при
менено лишь к планарным						графам.
Подводя итог сказанному, придем к следующему определе
нию: отсечением			называют			подграф, составленный				из	одной
ветви	и	хорд, одна		из	вершин которых			принадлежит			первой
группе	вершин,		а другая		— второй		группе;	две	группы	в	сово
купности		охватывают		все		вершины	графа	и общих вершин не

имеют. Уравнения отсечений (УО) представляют собою сово купности независимых уравнений для последовательных пере менных, поскольку каждое из них содержит лишь одну пере менную ветви, не повторяющуюся в других уравнениях.

Составленные выше таблицы коэффициентов Ьц, по	сути
дела представляют собою матрицы. Использование	матриц

•упрощает операции, связанные с выводом УНК и УО и расче тами, осуществляемыми с помощью этих уравнений. Достоин ства матричных методов тем заметнее, чем выше сложность графов, чем больше количество элементов их составляющих. Помимо упрощения расчетов использование матриц позволяет более коротким путем приходить к обобщающим заключениям.

Напомним читателю некоторые определения матричного ис числения, которые понадобятся в дальнейшем.

1°. Матрицей называют		прямоугольную таблицу					каких-либо	величин.
Если такая таблица имеет m		строк и	п	столбцов,		то	она называется	( я Х л ) -
матрицей:
		« и		..	а
				.	а
	L	"-/ni " я і 2	- • '		ипт
Величины atk называют		элементами			мапріщы.		Для (m X я)-матрицы,
образованной элементами	а^,	будем употреблять				символическое обозначение
А = (аік,	/ =	1,2		m; k = 1,		2	и).

Пели т — п, то матрица называется квадратной. Квадратная (п X и)- матрица называется диагональной, если a-lk = b при і ф k.

Матрицу

называют матрицей-столбцом

или т-вектором

с координатами

jr,, х , , . . . ,

лг,„.

2°. Если А

и В — две

(от X яѴматрицы,

то говорят, что

А = В

том

случае,

когда

aik

— bik при

всех / и е. Матрица, все элементы

которой

рав

ны нулю, называется нуль-матрицей

и обозначается цифрой 0.

3°. Если А, В

С—

(да X «)-матрицы,

то

запись

С = А +

-означает, что

сі!і

а-^

при всех

Если

а — скаляр,

то

С — аА =

Аа,

«СЛИ С;Л =аЯ;/г

ДЛЯ Л ю б ы х

/ ,

4°.

Если А =

(aik,

і =

2, . . . , m;

2, . . . ,

p),

то C =

B=(bfk,

/ =

2 , . . .

/г),

^ 4 ß — э т о

(?« X

я)-матрица с элементами

7=1

Равенство,

сложение

умножение

матриц,

определенные

выше,

обла

дают всеми обычными для арифметических действий свойствами, за исклю

чением	того,	что умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т. е.,
как правило,		АВфВА.
Определение умножения позволяет ввести единичную матрицу Е, под ко
торой	будем	понимать диагональную	(иХи)-матрицу с элементами
		I 1,	если / = k,

					хШ	~~ J 0, если			/ ф k;
эта	матрица		играет роль единицы				при	умножении:
						ЕА	= АЕ	=	А.		то
если	А — любая (п X			/і)-матрица.						п),	то
~(аік'	5°.	і = ' "	2> • • • > п;	k-Л,	2, . . . , т).			элементы которой			а'і/г
	5°.	Если	A = {aik,	г' =	1, 2, . .. , т\			/г =		1, 2,
вается		транспонированной			по	отношению			к	матрице А.
	Матрица		А называется		симметрической,					если
							А' =	А.

матрица А' - = а^ назы-

и кососимметрической,	есіи	А1 = — А.
		А1 = — А.
С0. Если А — квадратная		матрица,	то под det А будем			подразумевать	ее
определитель. Матрица	А называется		неособенной,		если
		det Л Ф 0.
Можно показать, что всякая		неособенная		матрица	имеет	обратную. Обрат
ной, данной матрице А	называют матрицу			А~\ которая		удовлетворяет	ра
венству
	Л _	1 Л = = АА~1		=Е.

7°. В приложениях часто возникает надобность матрицу как прямоуголь ную таблицу некоторых величин разбить вертикальными и горизонтальными линиями на несколько клеток, именуемых блоками матрицы. Каждый блок также является матрицей более низкого порядка по сравнению с матрицей, частью которой он является. В отличие от элементов матрицы блоки будем обозначать заглавными буквами:

	Ап	. . . Ащ
	А =
	Арі	• . . Apq
Вернемся теперь к рассмотрению соотношений, связывающих
переменные элементов	графов.
Перенумеровывая	элементы	графа,	можно допускать какой
угодно произвол. Однако для удобства			рассуждений и экономии

записи лучше установить какой-либо определенный порядок. Ну

меруя порознь ветви: 1,2,..., Ь—1,						Ь, и хорды:			1,2,..., с—1, с,
будем в дальнейшем полагать, что при сквозной									нумерации	всех
элементов первые		номера		сохраняются у ветвей, а хорды приоб
ретают номера:
	Ь + 1, Ь + 2, . . . , Ь +- с — 1, b -}- с = а.
Тогда, используя приведенные выше определения,										УНК
можно представить			в следующей матричной форме:
				[BE]	Ус	=2, о,			( V I І К )
					Ус
где B = (bikl	і = \,		2,	с; k=\,			b),	Е — единичная
(с X с)-матрица,		координатами			векторов		Yb	и Yс служат		па
раллельные	переменные			ветвей	и хорд соответственно:
				" У і "
			Уь-	,	Ус =
				Уь _		Л
УО представим в		виде
				[ЕА]		о,				(УО)

7 Л. Ю. Львович

где	Е — единичная (b X /3)-матрица, Л = ( ^ А , і = 1, 2,		/>;
k=	1, 2	с),

, х с =

•«6

Наличие единичных матриц среди блоков в выражениях ле вых частей УНК и УО свидетельствует о независимости этих уравнений. Количество УНК совпадает с числом независимых контуров, равным числу хорд

с = а — Р - Ы ;

количество УО, равное числу отсечений, определяется числом ветвей

				ô =	p — 1.
Можно	показать,		что величина		с	характеризует				максимально
возможное		количество		независимых			уравнений			параллельных
переменных,		а величина		b — максимально				возможное число не
зависимых уравнений последовательных								переменных.
Из блочной формы записи уравнений с помощью											правила
матричного умножения				получим
				BVb+Yc		= 0,					(2.11)
				Xb + AXc		= 0.					(2.12)
Поскольку в общем случае нет						возможности			утверждать, что
В и А— матрицы			неособенные, то уравнение (2.11) не может
быть разрешено			относительно		Уь, а		уравнение			(2.12)	относи
тельно Хс. Поэтому из последних уравнений вытекают											сущест
венные	выводы:		произвольными			параллельными				переменными
могут быть		лишь	переменные ветвей,				через		которые		по фор
мулам
				Уе = -ВУь							(2.11)'

выражаются параллельные переменные хорд; последовательные переменные ветвей не являются независимыми и не могут быть произвольными — их значения определяются с помощью значе ний последовательных переменных хорд по формулам

		ХЬ = -АХС.		(2.12)'
	Докажем теперь весьма важную для				<.
	Докажем теперь весьма важную для			приложений теорему
о	зависимостях между	блоками	матриц	коэффициентов	УНК
и	УО. Содержание этой	теоремы	выражается простой		зави
симостью
		Б - - А ' .			(2.13)

Если исходить из приведенных выше определений, то утвер ждение теоремы можно свести к равенству

	blk	=	-a'llt	(2.13)'
или	Ь1л	=	- а „	(2.13)"

для элементов матриц В я А, которое должно				соблюдаться	при
любых значениях	і = 1, 2, . . ., с; k = 1, 2, . . .,			b.
Поскольку после	выбора опорного дерева любой хорде с,- отвечает				един

ственный вполне определенный независимый контур, условимся этот незави

симый контур			для	краткости		называть контуром		хорды	еѵ Аналогично,		так
как любой		ветви		отвечает		единственное отсечение,			введем термин	отсе
чение	ветви		bk.
Если		вершина		графа является общей для нескольких элементов и
лишь	один	из	них	является		ветвью,	то эту вершину будем называть			конеч
ной.	Если	одна из		вершин	ветви		является конечной, то, как это выше уже
было	указано,		именно она		составит		одну из групп, а		другую образуют		все

остальные ß—1 вершин. Тогда в отсечение ветви bk войдут хорды, для которых конечная вершина является общей. Легко убедиться, что иные раз

биения вершин не могут привести	к	образованию отсечения	ветви bk.
Если ни одна из вершин	не	является конечной, то	удаление этой

ветви влечет распадение дерева на две изолированные друг от друга части.


Объединяя вершины одной части дерева в				одну группу,		а вершины		другой
части — в	другую,	получим	единственное	разбиение	вершин,		порождающее
отсечение	ветви bk-						bk< образует
Докажем, что		хорда С;,	входящая в состав отсечения			ветви
независимый контур, содержащий ветвь bk.				В самом деле, по определению
отсечения	одна из	вершин хорды С; и одна		вершина	ветви	Ьь входят		в одну

из групп разбиения вершин. Эта группа может состоять из единственной

вершины,

если

она

конечная

вершина,

но

тогда она является общей для

ветви

Ъи

хорды

ct.

Если

же

ветви

нет конечных вершин, то рас

сматриваемая

группа

содержит

вершины

пути, пролегающего

по

ветвям.

Этот

путь

непременно

приводит

от

вершины

ветви

к вершине хорды С;

Допустить

обратное

можно, если

предположить, что

хорда

ct связана

с упо

мянутым

путем

через

некоторую промежуточную хорду,

что

невозможно,

так как дерево заключает в себе

все

вершины

графа.

bk,-

Итак,

если

хорда

С; входит

отсечение

ветви

то

она

либо

имеет

с этой ветвью общую вершину, либо ее с этой ветвью связывает путь, про

легающий по ветвям. Но в

обоих

случаях

контур

хорды

сг

будет

содержать

ветвь bk-

dkl

— + 1

Значение коэффициента

свидетельствует

том,

что

хорда

с,-

и ветвь bk

направлены

из

рассматриваемой

группы

вершин

наружу

или

наоборот — обе

внутрь

этой

группы. И в том и в другом

случае ориентация

ветви

окажется противоположной

ориентации

контура

хорды

ct,

т.

е.

ft/ft = — 1 .

Если

О-ы =

— 1 ,

то

6(fc=

+ 1 .

Теперь

допустим,

что

ветвь

входит

в состав

контура

хорды

С/,

покажем, что в этом случае

отсечение ветви

Ь^

будет

содержать

хорду

С;.

По

условию

вершины

хорды

с,- связаны

путем,

пролегающим

по

ветвям,

среди которых

содержится

Ь^.

Нужно

доказать,

что

при построении

от

сечения

ветви

две

вершины

хорды

с,-,

так же

как

вершины

будут

принадлежать разным группам вершин. Всегда можно указать группу, в ко

торую входят одна из вершин ветви						и одна	вершина		хорды	cj. Если до
пустить,	что в эту группу входит и					вторая вершина		хорды С;,		то	придется
заключить,		что	замкнутая		линия,	окружающая рассматриваемую					группу
вершин,	которая		по	предположению		пересекает	ветвь	bk,	пересечет, еще по
крайней	мере	одну		из ветвей,	содержащихся в		пути,	связывающем			вершины

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ