Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Мамошин Р.Р. Повышение качества энергии на тяговых подстанциях дорог переменного тока

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

проксимирует экспериментальные данные, если коэффициенты оце

нок ß 2 и примыкают	к прямой, соединяющей точки нормального
и экспоненциального	распределений. Логарифмически нормальное

распределение хорошо аппроксимирует экспериментальные данные, если коэффициенты оценок ßi и ß 2 этих данных примыкают к нижней

прямой на рис. 5-42. Однако большая часть фазовой плоскости	( ß x —
— ß 2 ) не охвачена рассмотренными выше распределениями	(верх
ний участок на рис. 5-42 заштрихован, а нижний затенен).

Джонсоном [114] предложены более общие формы описания эм пирических данных, выгодно отличающиеся от других методов тем, что по Джонсону эмпирическое распределение находится путем пре образования нормированной нормальной случайной величины. Это обстоятельство позволяет получать оценки процентилей эмпиричес ких распределений, используя стандартную таблицу процентилей нормализованного нормального распределения. Использование рас пределения Джонсона для аппроксимации экспериментальных дан

ных тяговой нагрузки					было предложено в [34]. Преобразование по
Джонсону			имеет вид
2 =	у-j-т)Т(л:;		е; Я);	т] > 0;		— о о < 7 < о о ;	Я > 0 ;		< о о ,
где	у , г), е, Я. — параметры					распределения;		— о о < е(5-232)
		z	— нормированная нормально распределенная случай
			ная	величина;
	т(х; в; Я) — произвольная функция.
	Джонсон предложил три формы функций т
	1) х1(х;		е; Я) = I	n	>	* > е — для	распределения		5/.;
	2)	т2 (х; е; Я) = In (			Х ~ Е	) ,
				е ^ х « ^ е + Я — для			распределения		S B " ,
	3)	х3(х; e ; X ) = A r s h p Z ± ) -
				— о о < х < о о — д л я			распределения		SV.

Естественный выбор распределения Джонсона для аппроксима ции экспериментальных данных объясняется тем обстоятельством, что условие е ^ х ^ е + Я соответствует характеру и диапазону изменения тяговой нагрузки в пределах от / я л п и п ДО / П л max-

В соответствии с преобразованием (5-232) плотность распределе ния SL Джонсона имеет вид

X > 8, г ) > 0 ; — о о < 7 < о о ; Я > 0 ;

— о о < е < о о .

Если ввести обозначение у * — у — r\ In Я,

170

то получаем:

h W =	п 7 Г 7	Г exp	f -	- 1 ч 2	+ In (X - е)
	(/2я (х —	е)	I	2	I т]
Х ^ Е ;	г) І > 0,	—оо <		у* <	оо; —оо <; е < о°>

т. е. логарифмически нормальное распределение с тремя параметра ми. Плотность распределения SB Джонсона

				ехр		{ ѵ2+	т 1 1 п ( і Ъ ^ У Г } ;
	1/2я " (х—е)(К—х + е)				1
e<x<e-f-Ä,;		п > 0 ;	— о о < у < о о ;		Я>0;		- о о < е < о о .	(5-234)
Наконец, плотность распределения Su						Джонсона
			Ы * )		ч	X
				/ 2 я
X							х—е, V + 1	1/212
	У ( * - е ) 2 + Р	Н Ц . 2 г 1 1		{{ X

— о о < х < о о ;		т]>0;	— о о < у < о о ;			Я>0;	— о о < е < о о .	(5-235)

Области применения распределений Джонсона в плоскости (ßx —

— ß2 ) показаны на рис. 5-43, из которого видно, что распределения

Рис. 5-42

Рис. 5-43

171

Джонсона более универсальны, так как распределяются на значи

тельно больший участок плоскости фх—ß2),	чем	рассмотренные
выше распределения. Распределение S в Джонсона с		избытком пере

крывает всю область бета-распределений, затененную на рис. 5 - 4 3 . Для обоснования выбора наиболее целесообразного распределения

Джонсона	на рис. 5 - 4 3 нанесены	координаты нормированных оце
нок и ß 2	для токов плеч питания по результатам исследований на
Восточно-Сибирской дороге. Как		видно из рис. 5 - 4 3 , координаты

нормированных оценок ß x и ß 2 для токов плеч питания и коэффициен тов мощности этих токов лежат в области, где наиболее приемлемым является распределение SB Джонсона.

В [98] оценки для у и т] предлагается находить путем приравни вания соответствующих двух пар процентилей, полученных по экспе риментальным данным и по формуле ( 5 - 2 3 2 ) для нормального рас пределения. Полученные таким образом два уравнения решаются относительно оценок у я ц. Такой метод определения оценок у и ц нельзя признать удачным. Во-первых, процентили выбраны произ вольно и определение оценок т] и у по произвольно выбранным двум процентилям не отражает достаточно полно всю исследуемую выбор ку. Во-вторых, в получаемые таким путем урванения входят только процентили нормированного нормального распределения, соответст вующие им эмпирические процентили и крайние значения случай ной величины (е и e + X), но не входит ни один показатель, харак теризующий форму всей кривой (рассеяния, степени асимметрии или островершинности) распределения. Поэтому целесообразно попы таться найти другие способы определения оценок у и и, лишенные отмеченных выше недостатков и основанные на использовании мо ментов высокого порядка.

В соответствии с преобразованием ( 5 - 2 3 2 ) нормированная нор мально распределенная величина г является функцией одной слу чайной величины X, для которой определяется распределение. По методу получения моментов системы первые четыре момента любой системы, являющейся функцией случайных некоррелированных ве личин (в нашем случае п = 1) равны:

M(z)=h[M{Xl),	.... М{хп)] + \ 2	?	( 5 - 2 3 6 )
п	п
		\| І 8 ( * І ) ;	( 5 - 2 3 7 )

( 5 - 2 3 8 )

172

Ц4 (*) :

+e?S(|),(ê)"-w-(">- (5-239)

где	Л * ( * і )

дхі' dxf

математическое ожидание случайной величины xt-t

1 -я и 2-я частные производные от функции h по xt> куда вместо случайной величины входит ее мате матическое ожидание;

3-й и 4-й моменты случайной величины xt; среднеквадратичное уклонение случайной вели чины xt.

В нашем случае z — нормированная нормально распределенная величина, которая является функцией только одной случайной ве личины X, поэтому:

M (z) = 0;		(5-240)
0 2	(z) = 1	(5-241)
JA3	(Z) = 0	(5-242)
M-4 (z) = 3		(5-243)

"SS^l'd^ww-0 -	,5"244)
i > /

Анализируя формулы (5-236) — (5-244), приходим к выводу, что оценка у входит только в уравнение (5-236). Следовательно, это уравнение должно обязательно использоваться при определении оценок у и г|. Остается выбрать второе уравнение. Найдем выраже ния первых четырех моментов величины z по формулам (5-236) — (5-239):

УИ (z) = у 4- г) In М(х)-	г)% 1Х+2е—2М(х)]о2				(X)		(5-245)
к + е — М(х)	2 [ М ( л г ) - е ] 2			[À 4-е — M (х)}2 '
г\2 К2 а2 (х)		T ] U 2	Ік + 2г — 2М (х)] у,3{х) .
[М{х) — г]2\% + г — М(х)]2		[М (х)-е]3		[К + е—М (х)}3		'	(5-246)
И-З (z) = [М(х)	г)3	А3 М-з (*)			.		(5-247)
	— е]3[К +		е—М(х)]3

	rf	À," \|І 4 (х)					(5-248)
[M (х) — е ] 4		[K + e —		M(x)]i

173

Так как существует условие (5-242), то использовать											уравнение
(5-247) совместно с уравнением (5-245) нельзя. Остается исследовать
целесообразность использования уравнений (5-246) и (5-247).
В а р и а н т		I — совместное				решение			уравнений		(5-245) и
(5-246) дает следующие выражения							для у		и г\	с учетом (5-240) и
(5-241):
' \|	Л		1М{х)-г)»[к			+ г-М(х)]>					-(5 219)
XV	аі(х)\М(х)		— г][Х + г — М(х)]				— [Х + 2е — 2М(х)]ці(х)				'
	г	X[X + 2t-2M{x)W(>c)						l n	М(х)-в I		( 5 , 2 5 0
	\2{М(х)		— е]2[Х+е—М(х)]2						Х +	г—М(х))'
В а р и а н т		2 — совместное решение уравнений (5-245) и (5-24 8
дает следующие		выражения для у и ц						с учетом		(5-240) и (5-241)
		„	1,315 [ М ( х ) - е ] [ Я , + в - М ( * ) І							,	_
		1 1 -			4/	z—г			'		(Ö-ZÖI)
					X у	ц 4 (х)
	0,Ж5[Х		+ 2е — 2М(х)]о*(х)					.	М(х)	— г	, , , - „ ,
	Ѵ=-	— -цХУ^(х)2			—		Г\|ІПЛ Х +— г—М(х).				(5-252)
			v п
Здесь и выше M (х), а (х)				, р,3		(х),	ц.4	(х) — первые четыре цент
ральных момента случайной величины х, найденные по эксперимен
тальным данным.
В формулы для определения у и т\| по варианту										1 входят матема
тическое ожидание, дисперсия и асимметрия случайной											величины
X. Однако последний показатель входит в виде 3-го центрального
момента	р 3 (х) во второй член формулы							(5-246), которым			из-за его

малости часто вообще пренебрегают [115, 116]. Поэтому можно счи тать, что оценки г) и у по варианту 1 практически опираются только на крайние значения случайной величины и на ее 1-й и 2-й моменты.

Оценки г) и у по варианту 2 опираются на крайние значения, 1-й, 2-й и 4-й моменты случайной величины х. Так как оценки т) и у по варианту 2 являются более мощными, чем по варианту 1, они более предпочтительны. К тому же вычисление оценок г) и у по варианту 2 в данном случае более просто с математической точки зрения.

Применительно к тяговым нагрузкам и ее коэффициентам мощ ности в полученные выше формулы надо подставлять следующие ве личины:

e =	/ m i n ;		£ = C 0 S ( P m a x !
е + ^ Л п а х ' .			e + À = coscpm l n ;
M (х) = /ор;			M (X) = cos ф;
а2 (х) = / і		/ ?Р;	о-2 (х) = M (cos2 ф) — (côs ф)2 ;
	х-Г,		X ~cosф.
	—		X ~cosф.

174

Будем рассматривать коэффициент мощности тяговой нагрузки в качестве постоянной величины, равной оценке его математическо го ожидания.

Перейдем теперь к аппроксимации распределения ТОП тяговой нагрузки. При наличии больших выборок токов плеч питания и их коэффициентов мощности и отсутствии ЭВМ вычисление вручную ТОП для всей выборки, а затем подбор по полученной выборке зна


чений	ТОП параметров			аппроксимирующего				распределения SB
Джонсона		сопряжены	с большим			количеством		вычислений и по
этому неудобны. В этих				случаях		более	предпочтительным			оказы
вается	использование метода получения характеристик									системы
по данным		о параметрах		компонентов.
Как видно из формулы (5-231), ТОП тяговой подстанции										зависит
от четырех		случайных	величин / л ,			/ п , ф л	и ф а .	наличием функцио
Формально можно было бы воспользоваться
нальной связи (5-231) между случайной величиной I А2									И случайны
ми величинами / л , / п , ф л				и Ф П	И на основании метода преобразования
случайных		величин	найти		плотность		распределения		случайной

функции ІА2- Однако этот метод сопряжен с большими математи ческими трудностями, громоздок и по этим причинам неприемлем. Значительно проще найти аппроксимирующее распределение и его параметры для ТОП методом получения моментов системы. Пред полагая, как и для токов плеч питания и их коэффициентов мощно сти, что распределение ТОП хорошо описывается распределением SB Джонсона, в качестве первого шага находим по выборкам токов плеч питания и их коэффициентам мощности несколько сочетаний токов плеч и их коэффициентов мощности, которые могут сформировать экстремальные значения токов обратной последовательности, и по

ним в соответствии с формулой	(5-231) находим е и e +	À для рас
пределения ТОП, т. е.
е =	ІА2 min;	(5-253)
е + А = / л 2 т а х .		(5-254)

Находим по правилам получения моментов системы математи

ческое ожидание IА2, вводя		обозначения Іл = хх\
/ п	= *а ; совфл = л:з;		созфп = х4 :
M (ІА2) = т^ѴМ2	(Xl) + M2	(x2)-M	(Xl) M (xa) [M (x3) M	(xt)+
"'+V< 1-МЦх3)Ѵі-М*(Х;)+		КЗ Y 1-M2 (x4 ) M(x3)-		"'
	' " '	(xt) Y1	—M1 (x8 ) .	(5-255)

175

Если принять коэффициенты мощности тяговой нагрузки плеч питания равными их математическим ожиданиям, то дисперсия рас пределения Т О П

		[М2 (*,) a2 ( Х і ) +		ЛГ2	(лсх) а 2		(х,)] (44-к2 )		-
0 2	( / л 2 ) =		3 6 М 2		( / „ 2 )				(5-256)
			3 6 М 2		( / „ 2 )
где
к = M (х3)		M (xt) + ] / [	1 -	M 2	(дс8 )1 [l—M2			(xt)]	+
+ >	3 M ( х 3 )	> 1—УИ2 (Х4 ) — / 3				M	(хл)	Yl—M*(xa).
Далее по формулам (5-249)			и (5-250)			определяют параметры т), а

и уі2 распределения нормированной нормальной случайной величи


ны г в соответствии с преобразованием		(5-232), где х-—случайная
величина IА2.	ПЛОТНОСТЬ распределения	S ß Джонсона модуля Т О П
определяется	формулой (5-234), где т ] / , и у[2		— параметры	распре
деления S в Джонсона для Т О П , а параметры			M (х) и о2(х)	— мате
матическое ожидание и дисперсия случайной величины IAI,				опреде
ляемые соответственно по формулам (5-255) и (5-256).

Выбор коэффициентов трансформации трансформаторов трех фазно-двухфазной РРБ связан не только с модулем Т О П тяговой нагрузки, как случайной величины, но и с ее аргументом. Следо вательно, он должен основываться на совместной функции распреде ления декартовых координат вектора Т О П .

Декартовы координаты Т О П РРБ:

^ - [ / л С О в ф л — / п COS (60 —	Ф П ) ] ;	(5-257)

[7л 8ІПфл

+ / п 8 І п ( б О — ф п ) ] .

(5-258)

Математическое

ожидание и

дисперсия

случайных

величин х

и у:

~ w i M

{ X l ) м

{ Х з ) ~ Т М

{ Х г )

^ { Х

і )

3 Vl-M*(xt)]\

;

(5-259)

х )

= ^ Ш а Ц х і )

36 —35А12

(л4 )

+м(Хі)

i - м ц х , )

о 2

(xt);

(5-260)

(Xl)

M (x3) +

Уз

+ \ M

(x2)

[УЗ

M (xt)

Y1 -

(xt)

} j

;

(5-261)

176

+	1 + 2Л12	(х3)—2	У3~M ( x 4 ) l / l — Л42 (х4 ) 2
+			12	а 2	( х 2 ) . (5-262)
				а 2	( х 2 ) . (5-262)

В соответствии с формулами (5-245) и (5-246) без учета членов со вто

рыми частными производными

получаем:

[М (х) — ех] [Хх

±гх —М(х)) .

(5-263)

К о (х)

і)хК[К

+ 2ех-2М(х)]о*

(X)

1 п

М(х)~ех

(х) '

(5-264)

2 [ М ( x ) -

8 x ]

2 [Г Л^

+ e x

— M ( x ) ] 2

+ е

х — M

о г л /.Л

_ 19.

U / ..\Т)

Ж'

где M (х),

о (х) — математическое ожидание и

среднеквадратичное

уклонение декартовой координаты

х ТОП Р Р Б ,

8Ж , Хх

определяемые по формулам (5-259) и (5-260);

+ еж

— минимальное и максимальное значения

абсциссы

ТОП

РРБ в режиме I , определяемые по формуле

(5-257) из статистических

данных.

Аналогично

параметры

и уу

распределения

ординаты ТОП

РРБ в режиме I :

[М(у)-еу]

lhj

ey-M(y)}

(5-265)

К о (у)

щуку

\%у-2ву-2М(у)]а*

(у)

— Г|„1П

М(у)—гу

(5-266)

У у

2[М(у)-еу]Цку

+ еу-М(у)У

гѵ-М(у)

, у

ку +

Плотности

распределения токов

плеч

питания:

Лхі Язсі

yr2n

(Хі—гх1)

(lxi—£xi—xt)

x e x p i - -

— е жі

(5-267)

kxl— exi—xx J

ЦХ2 Язс2

V2n

(x2

— ex2)

(%x

-x2)

X exp

4x2 +

Пх2 ІП •

Ж2

2 .

(5-268)

Я;с2

—

Так как x1 и x2 независимы друг от друга, плотность

совместного*

распределения

токов плеч

питания

Цхі Яжі Цхг Яж2

2п(х1

— ех1)

(х2—гх2)

(кх1+

ех1—х{)

(кх2

+ ех2

— х2)

X ехр { -

j Ѵ*і + Л«і1п

КЖ1

Яхі — ËJC1

Х1

Ѵ*2 + Л*2ІП'кх2

Х 2

ЪХ2

+—Еж2

—. J

(5-269)

177

При отсутствии экономических ограничений коэффициенты транс формации трансформаторов РРБ и ее мощности следовало бы вы брать так, чтобы РРБ была способна симметрировать тяговую на грузку во всем диапазоне ИППС. Однако при этом резко увеличи вается стоимость РРБ . Анализ статистических данных показывает, что наибольшие значения координат вектора ТОП в значительной своей части сосредоточены за пределами 5-го и 95-го процентилей распределения токов плеч питания.

Вводим условие, заключающееся в том, чтобы РРБ обеспечивала симметрирование тяговой нагрузки в пределах от 5-го до 95-го про центилей распределений токов плеч питания.

Учитывая, что распределение исследуемых случайных величин аппроксимируется распределением SB Джонсона и что при этом слу чайные величины преобразованием (5-232) функционально связаны с нормированной нормально распределенной величиной z, находим значения токов плеч питания, соответствующих указанным выше процентилям.

С учетом преобразования (5-232) значения тока / л , соответствую щие 5-му и 95-му процентилям нормированной нормально распреде ленной величины z, равны:

(5-270)

(5-271)

Значения тока Іп, соответствующие 5-му и 95-му процентилям его распределения:

	( _	1,645 + у ж 1	^
Х і (0,05) =	I	ч*і	!	(5-272)
Х і (0,05) =				(5-272)

(5-273)

178

Функция

совместного

распределения

токов

плеч питания-

[X (0,05) <

X < X (0,95),

гу < у <

г/(0,95)] -

= Р [X (0,05) <

X < X (0,95),

еу

у <

г/ (0,95)] =

Л:, (0,95) хг

(0,95)

Чхі

1^x2 кх2

е Х Р

Yxi +

4 x i l n ^Ж1"Ь Ехі —Xi

2я

Xi (0,05)

ЛГ2

(xi

— Exi) (x2 —ехг) (^хі + Exi—

(0,05)

7x2 + 4x2 ІП

6x2 _

^ХІ 4"EX2

-*-2

dxxdx2.

(5-274>

*l) (Ä-X2 4"EX2

X2)

Заменяя переменные:

x i — Exl

2x1 =

Y x l + M x l ІП- ^-xl + £xi —x

хг

ex2

2x2^7x2+4x 2 ІП- ^<X2 4"eX2

получаем вместо (5-274)

Р [ -

1 , 6 4 5 < г ж < 1,645;

— 1,645< z y < 1,645] = 0,810.

(5-275)

Координаты ТОП РРБ связаны друг с другом функциональной зависимостью. В то же время поле ТОП РРБ в соответствии с изло женным выше должно лежать в пределах от ТОП РРБ, формируе мого ^(0,95), х2 (0,05), до ТОП РРБ , формируемого хх (0,05)„ х2 (0,95). Соответствующие этим токам компоненты ТОП РРБ:

JC«1»-	=- \хх (0,95) cos ф л — х				2 (0,05) cos (60 —<рп)];	(5-276)
	Уз-				(0,05) sin (60 — фп )];
	Уз	\хх	(0,95) sin Ф л	+ х2	(0,05) sin (60 — фп )];	(5-277)
Х (2) =	•	[ X i	(0 j 05) cos Ф л	— х 2	(0,95) cos ( 6 0 - ф п ) ] ;	(5-278>
	У з
(2).	1	[хх (0,05) sin ф л + х2 (0,95) sin (60 — Ф п ) ] .				(5-27»),
(2).		[хх (0,05) sin ф л + х2 (0,95) sin (60 — Ф п ) ] .				(5-27»),
У	Уз
	Уз

Углы грі и ур2 (см. рис. 5-41):

,	я	1	arctg- M)	(5-280>
			,0>l
			(2)1	(5-281)
	4	2	6 U(2)	(5-281)
Т 2	4	2	6 U(2)

179»

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ