книги из ГПНТБ / Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник

Пункты А и В — исходные, сторона CD — выходная сторона базисной сети; при уравнивании по направлениям возникает 15 условных уравнений, из которых 10 — условий фигур, 4 — условия полюсов и 1 — условие базисов. Для получения ожидаемых сред­ них квадратических ошибок определения длины и дирекциопиого угла стороны ЕН к условным уравнениям следует добавить выраже­ ние весовых функций этих величин.

Пользуясь углами треугольников GBA, HBG и EHG и длиной выходной стороны AB, можно написать для длины стороны ЕН

тртт_ A B sin (3 —2) sin (19 —17) sin (И — 10)

= (19) — (15) Н- (22 )— (20).

Выражения для весовых функций присоединяют к условным уравнениям сети и решают совместно по способу наименьших квад­ ратов. В результате по формуле

определяют обратные веса искомых функций.

Вычисление средней квадратической ошибки весовой функции можно значительно упростить, применяя двухгрупповой способ уравновешивания.

Уравнение весовой функции в этом случае следует включить последним во вторую группу условных уравнений.

Коэффициенты при неизвестных для второй группы можно преобразовать по способу Крюгера — Урмаева или по способу Ла­ рина.

Средние квадратические ошибки функции после этого вычисляют

где и — средняя квадратическая ошибка единицы веса, равная ошибке измеренного угла или направления в зависимости от того, как уравнивалась сеть (по углам или направлениям).

50

Средние квадратические ошибки угла и направления при оценке

Строгая оценка проекта требует больших вычислений, поэтому часто применяют упрощенные приемы, которые для свободных сетей

Для простоты вычисления весов обычно выбирают р = 1, учи­ тывая возможность произвольного установления ее величины.

Средние квадратические ожидаемые ошибки определения лога­ рифма стороны DE можно подсчитать по известным в геодезии фор­ мулам:

а) при уравновешивании по направлениям

где туг — средняя квадратическая ошибка измерения' угла. Величины R в единицах шестого знака логарифмов даны в табл. 10.

Таблица 10

Связующ ий угол, А°

52

Для предвычислеиия средней квадратической ошибки определе­ ния дирекционного угла стороны DE по каждому из рядов следует

столько же, сколько их в запроектированной сети с дополнитель­ ными диагоналями.

Среднюю квадратическую ошибку определения логарифма и дирекционного угла стороны ЕН можно подсчитать по формулам:

53

18(22— 8)

■EH 3 ""наир 2 2 (1 8 -4 ) 4 = 4,4лі'папр*

Учитывая, что пітпр = 1", 1, получаем

Ма = ± 2",3.

Л Е Н

Среднюю квадратическую ошибку определения взаимного поло­ жения пунктов Е и Н можно определить по формуле

54

Эквивалентные формулы обратного веса с некоторым допущением можно применить и для оценки сетей, имеющих два или несколько

Для оценки точности определения положения пункта из тре­ угольника, опирающегося на исходную сторону, можно рекомендо­ вать формулы проф. К. Л. Проворова [37]. Формулы (11.19) не учитывают ошибок исходных данных.

Результаты наблюдений, выполненных для сгущения сети путем вставки группы связанных между собой пунктов, обычно уравнове­ шивают методом посредственных измерений. Для строгой оценки проекта вставки группы пунктов применяют метод весовых коэф­ фициентов .

55

Рассмотрим ^строгий метод оценки определения положения пунк­ тов 1 и 2, изображенных на рис. 13.

Для уравновешивания результатов наблюдений методом посред­ ственных измерений надо написать четыре уравнения вида:

Здесь 8xlt 8уг, 8х2 и 8у2 — искомые поправки в предварительные значения координат пунктов 1 и 2.

Коэффициенты а и й вычисляют по формулам

— psina a = — —

Имеются специальные таблицы, составленные по формулам

56

С использованием этих таблиц коэффициенты а и b получим

Для оценки точности определения координаты х пункта 1 надо в системе уравнений (11.20) вместо неизвестных 8хг, 8г/4, 8х2 и 8у2 подставить весовые коэффициенты с соответствующими индексами, вместо свободного члена первого уравнения поставить — 1, а во всех трех остальных уравнениях нули.

Получим

[aa] QV14- [ab] @4.2 + [ас] Q1S + [ad] @Ь4— 1 = 0

[ab] Q u + [bb] @1-2 + [bc] Q13 + [bd] @4.4 + 0 = 0

[ac] @1Л + [bc] QU + [cc] <?!.3 + [cd] @4.4 + 0 = 0 [ad] Q1.1-j- [bd] Qi,2+ [cd] Q1è3+ [dd] @4.4 + 0 = 0

Для оценки точности получения остальных неизвестных надо составить еще три группы уравнений, подобных (11.24). Вторая группа будет иметь вид

[aa] @2Л + [ab] Q2.2+ [ac] Q2.3+ [ad] @2.4 + 0 = 0

[ab] @2Л + [bb] Q2'2+ [bc] Q2_3 + [bd] @2.4— 1 = 0

[ad] @2Л + [bd] @2,2 + [cd] @2.3 + [dd] @2.4 + 0 = 0

Нетрудно проследить, что в том уравнении, где при квадратич­ ном коэффициенте первая и вторая цифры индекса у величины Q одинаковы, свободный член принимается равным единице с минусом, а во всех остальных уравнениях — нулю.

Из решения систем уравнений определим коэффициенты @Ь1, (?2.2>

Q 3-3 И @ 4.4-

Вес определения абсциссы пункта 1 будет

Среднюю квадратическую ошибку определения абсциссы пункта 1 вычислим по формуле

Если т.наПр выразить в секундах, S — в километрах, а коэффи­ циенты (а) и (b) взять из таблиц, то тх будет выражена в дециметрах.

Величину 7Пуі определяют по формулам

57

Подобным же путем получим

Wv^Waanpl/Ca.S. (11.29).

Коэффициенты при неизвестных во всех четырех группах соот­ ветственно одинаковы, поэтому решается только одна группа урав­ нений с четырьмя самостоятельными столбцами свободных членов.

Для контроля в процессе решения следует иметь в виду, что

(?і-2= (?2-ы Q1 .s~Q 3 .it Qi.4 ~ Qi.it Q-i.s — Qs.it

Qil = Ql-2 П Qä-l — Qi- 3-

Ошибку определения положения пункта можно подсчитать по формуле

При построении геодезического обоснования нередко встреча­ ются случаи, когда триангуляционная сеть 3 класса сгущается пунк-

58

тами 4 класса путем вставки большой группы пунктов, связанных между собой.

Выведем формулы для приближенной оценки точности опреде­ ления координат таких пунктов.

Предположим, что при наблюдениях с исходного пункта А на определяемый пункт П направление получено с ошибкой туг (рис. 14). Повернутое на туг направление АП' отсечет на линиях, параллельных осям координат, отрезки dy и dx, которые будем рассматривать как изменения приращений координат, происходя­ щие за счет ошибки туг. Опустим перпендикуляр из точки Л на направление АП' и обозначим величину этого перпендикуляра через Д.

Учитывая, что величина А по сравнению с длиной стороны три­ ангуляции S мала, можно написать

(11.34)

Р

Если дпрекционный угол направления АП обозначим через а, то

dx — sin а

А

dy-

cos а

Принимая во внимание (11.34) с учетом знаков величин dx и dy,

получаем

5 dx = — туг рsin а

dy = туг р cos а

От приращений перейдем к средним квадратическим ошибкам

Согласно формулам (11.21) напишем

Из способа наименьших квадратов известна формула общего вида для средней квадратической ошибки

59