книги из ГПНТБ / Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник

В приведенных суммах / — коэффициенты, стоящие в графах Fr и Fy табл. 26.

Из решения нормальных уравнений по схеме Гаусса найдем коррелаты к х, к 2 и /ся, а также величины, обратные весам определе­ ния координат точки 2 , вычисленные по формуле

По найденным коррелатам вычисляют поправки в измеренные

m!/= m?

(III.120)

т,. = тР

Средняя квадратическая ошибка определения координат точки М определится по формуле

М = Y mx + mv-

Для подсчета средней квадратической ошибки определения дирекционного угла линии 2—3 выражение весовой функции будет иметь вид

/а2_з— УХА + Ух, + УХ*-

Коэффициенты / в этом выражении равны нулю или единице.

(II 1.118). Вычисление выполняют также в дополнительной графе схемы решения нормальных уравнений.

150

При уравновешивании системы ходов, образующих одну узловую точку N (рис. 50), опирающихся на твердые пункты К, L и М, для каждого хода вычисляют коэффициенты A it Bt и С{ по формулам

(III.121)

Всего будет шесть условных уравнений. Приращения коорди­ нат для подсчета невязок по ходам zx и zu вычисляют по измеренным углам, без предварительного уравновешивания угловых невязок, полученных по этим ходам.

К

Рпс. 50

Нормальные уравнения коррелат будут иметь вид

(Аг4 - А3) кх+ (С±-f-С3) к2+ Ajk3+ Сгк4+ fx1 —0

(В, 4- В3) к24- (Сх + С3) кг+ Bjci 4- С±к3+ /ух = 0

В формулах (III.122) k t . к2, ks и /с4 — коррелаты, которые опре­ деляют из решения нормальных уравнений, a fxi, /ух, f x n , /уц — невязки в приращениях координат по ходам между пунктами три­ ангуляции.

151

Поправки в углы и линии определяют по формулам: по ходу K N

ѵч = Ахі (Л'і + к3) +Ауі (к2+ kJ

Уравнение весовой функции составляют обычно для точек, рас­ положенных в местах ответственных разбивочных работ, включая при этом обязательно наиболее близко расположенную к этому уча­ стку узловую точку.

Строгое уравнивание систем полигонометрических ходов с двумя и бблыпим числом узловых точек можно выполнять способами, опи­ санными в [29].

§ 23. Уравновешивание результатов измерений, выполненных для снесения координат

Углы и линии при снесении координат приходится измерять в весьма неблагоприятных условиях. Для того чтобы наиболее пра­ вильно распределить получившиеся невязки между измеренными значениями углов и линий, а также одновременно с распределением невязок получить оценку точности измерений, результаты измере­ ний строго уравновешивают *.

Для получения координат пункта А (см. рис. 18), если измерен примычный к стороне триангуляции М Т г угол о , достаточно иметь один треугольник с измеренными в нем базисом bL и двумя углами

появляются три условных уравнения, из которых два уравнения фигур и одно уравнение базиса.

Уравнения фигур имеют вид

(1) + (2) + (у1) + ш1= 0

(III.124)

(3) + (4) + (Тг)+^2 = 0

где (1), (2), (3), (4), (уД и (у2) — искомые поправки в углы;

* Наиболее строгие результаты можно получить при совместном уравнива­ нии снесения координат и измерений в ходе {Прим. ред.).

152

Wj и w 2 — свободные члены, которые подсчи­ тывают по формулам

1 + 2 + 7!—180° = ѵог, 3 + 4 + у2 —180° = w2.

При уравновешивании результатов измерений, произведенных для снесения координат, относительные точности измерения углов и базисов близки между собой, а потому полученные невязки должны быть устранены введением поправок как в измеренные значения уг­ лов, так и в измеренные длины базисов. Рассмотрим условное урав­ нение базисов для этого случая, для чего обозначим поправки в дли­

целесообразно выражать в единицах шестого знака логарифмов. Следовательно, получим условные уравнения, возникающие ири

Для того чтобы получить поправки в базисы, выраженные в мил­ лиметрах, надо значения Аь, и Дь2 брать для изменения длины базиса в один миллиметр. Если w1 и w2 выражены в секундах, то перемены логарифмов синусов углов 1, 2, 3 ж4 надо брать для изменений углов на 1 ".

При совместном уравновешивании измеренных углов и базисов необходимо установить соотношение весов угловых и линейных измерений.

Если обозначим среднюю квадратическую ошибку измерения

153

При незначительном влиянии систематических ошибок на резуль­ таты измерения базисов

где р — коэффициент влияния случайных ошибок при измерении базисов.

Формулы (III.128) с учетом (III.129) примут вид

(III.130)

Вес полученного угла удобно иметь равпым единице. Поэтому разделим все веса на т$. В результате получим

(III.131)

Обычно коэффициент влияния случайных ошибок р, вычисляют для длины, равной 1 м. Соответственно должна быть выражена в мет­ рах длина базиса Ъ во второй формуле (III.131). При уравновеши­ вании поправки в длины линий удобно выражать в миллиметрах. Тогда коэффициентами ДЬ] и Дь. условного уравнения базисов будут изменения логарифмов длины базисов при измерении его длины на 1 мм. Соответственно должны быть вычислены средние квадратнчеческие ошибки определения длины базиса. Чтобы получить ошибку ть измерения длины базиса, выраженную в миллиметрах, необхо­ димо умножить правую часть формулы (III.129) и соответственно знаменатель второй формулы (III.130) на 1000, если длину базиса выражать в метрах и коэффициент влияния случайных ошибок р, вычислить для одного метра расстояния. В результате будем иметь

Нормальные уравнения коррелат будут иметь вид

(HI.133)

Искомые поправки находят по формулам

Для оценки точности получения длины стороны A M систему нормальных уравнений (III. 133) следует дополнить выражением поправки длины стороны A M через поправки измеренных величин.

Для получения такого выражения прологарифмируем формулу

Ах и Д2 — перемены логарифмов синусов углов 1 ж2. Обозначим коэффициенты в правой части формулы (III.136)

через /, тогда по формуле (III. 118) может быть найден обратный вес уравновешенной длины стороны AM. Он будет получен в дополни­ тельной графе при решении нормальных уравнений.

Среднюю квадратическую ошибку единицы веса, которая в на­ шем случае равна средней квадратической ошибке измеренного угла, вычисляют по формуле

155

Средняя квадратическая ошибка определения логарифма длины стороны A M равна

Если свободный член базисного условного уравнения и коэффи­ циенты при поправках в базисы были приняты в единицах шестого знака логарифмов, то и величина ni\g АЛІ будет получена в этих же единицах.

Уравновешивание может быть выполнено по натуральным значе­ ниям тригонометрических функций. Условные уравнения фигур в данном случае будут иметь такой же вид, как при логарифмических вычислениях.

Для составления условного уравнения базисов напишем формулу, определяющую длину второго базиса

В результате дифференцирования формулы (III.139) по всем переменным получим

(III. 141) ранее принятыми обозначениями и принимая во внимание, что сумма поправок, умноженных на коэффициенты, должна дать свободный член базисного уравнения с обратным знаком, получаем

Выражая коэффициенты при поправках и свободный член в еди­

156

Г л а в а IV

ВЫСОТНОЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

§24. Требуемая точность высотного обоснования

исхема построения городских нивелирных

сетей

На территории современных городов выполняются пнженерно-

строительстве метрополитена и крупных канализационных коллек­ торов. В первом случае требуется обеспечить сбойку по высоте встречных подземных выработок, а во втором — выдержать допу­ стимый уклон.

Для обеспечения подземных сбоек по высоте при строительстве метрополитена создаются специальные сети высотного обоснования, вытянутые вдоль строящихся трасс.

Крупные самотечные канализационные коллекторы, укладывае­ мые с уклоном в 0,0005, требуют геодезического обоснования весьма высокой точности.

На основании допусков, предусмотренных «Строительными нор­ мами и правилами» (СНпП), отклонение отметок лотков от проекта не должно превышать ±5 мм. Это следует отнести к лоткам в колод­ цах, расположенных на расстоянии 75—100 м.

Врезультате анализа формул гидравлического расчета канд. техн. наук. В. А. Климкович [14] пришла к выводу, что среднюю квадратическую ошибку в уклоне труб самотечной канализации можно допустить в пределах 1 0 —1 2 %.

Вуказанной работе приводится формула

Следовательно, требуемая точность укладки трубопроводов по высоте зависит от величины проектного уклона и расстояния между колодцами канализации, которые обычно равны 50, 75 или 100 м.

158

Если взять уклон самотечного канализационного коллектора 0,0005, являющийся минимально допустимым, и принять ms = 0,1/ц то при расстоянии между колодцами 75 м получим

пін — ± 3,8 мм.

Переходя к допустимой ошибке, получим Дн = ±7,6 мм.

В основу расчетов точности высотного геодезического обоснова­ ния примем такую густоту закрепленных точек высотного обоснова­ ния, чтобы любую разбивку при строительстве на городской за­ строенной территории можно было осуществить ходом нивелиро­ вания IV класса, длиной в одну-две станции. Для этого закреплен­ ные пункты необходимо иметь на расстоянии 400—600 м один от другого.

Средние квадратические ошибки определения превышения на станции в различных классах нивелирования получим согласно требованиям Инструкции по нивелированию I, II, III и IV классов.

Допустимая невязка в ходах и полигонах определяется соответ­ ственно для II, III и IV классов нивелирования формулами

/Л= ± 5 / £ м м ,

/Л= ± Ю У L мм,

/д = ±20 У L мм.

Средние невязки по ходам в соответствующих классах будут

2 ,5 /Z , 5 / Z и 1 0 /Z .

В расчетах требуемой точности нивелирных работ следует исхо­ дить из самых неблагоприятных условий, когда рельеф или заст­ ройка не позволяют производить нивелировку с большими длинами визирных лучей.

Примем для таких условий на 1 км нивелирного хода 14 станций. Тогда соответственно для III и IV классов

тст= 5 : /1 4 — 1,3 мм,

тпст= 10: /1 4 = 2,6 мм.

Нивелирование II класса для этого случая не рассматривается, так как ходы нивелирования II класса должны проходить по напра­ влениям с лучшими условиями.

Две конечные точки участка трубопровода с проектным мини­ мально допустимым уклоном і = 0.0005, длиной 75 м должны быть уложены в натуре с точностью, характеризуемой средней квадрати­ ческой оптбкой ±3,8 мм, а средняя квадратическая ошибка одной станции нивелирования IV класса в неблагоприятных городских условиях может оказаться ± 2 ,6 мм.

159