книги из ГПНТБ / Лебедев, Н. Н. Курс инженерной геодезии. Геодезические работы при проектировании и строительстве городов и тоннелей учебник

Чтобы найти длины линий хода, необходимо от известных длин круговых кривых перейти к длинам стягивающих их хорд.

На рис. 82 половина длины хорды, т. е.

хг> • Y

Т= ЛзіпТ ’

где у — угол при точке О — центре круговой кривой, следовательно,

зуют дирекционные углы прямых участков трассы и длины отрезков Іх, вычисляемые по формуле (VIII.17). В качестве исходных прини­

(VIII.11). Исходными данными в первом случае служат дирекционный угол радиуса, проходящего через начало круговой кривой, и координаты центра круговой кривой.

Исходными данными во втором случае будут дирекционный угол прямого участка трассы и координаты начала переходной кривой.

Полученные различными путями результаты вычислений должны сходиться в пределах допущенных округлений.

Длины круговых кривых К на разбивочной кривой и на оси тон­ неля ÜTT различны. Следовательно, перед вычислениями координатпикетов, расположенных на оси тоннеля, надо определить длину круговой кривой на оси тоннеля по формуле

Угол Ѳт может быть получен еще и как разпость дирекциониых углов радиусов, проведенных через концы переходных кривых.

§ 50. Вычисление данных для перенесения круговых кривых в натуру по хордам

Перенести ось тоннеля нлн ось пути в натуру строго по матема­ тической кривой очень трудно. Практически перенесение оси трассы в натуру на кривом участке осуществляется по ломаному контуру, состоящему из прямых линий и углов поворота. В качестве прямых линий выбирают или хорды, или секущие. Чем длиннее выбраны хорды для перенесения в натуру оси пути нлн тоннеля, тем меньшеэтих хорд в пределах кривой определенной длины. Следовательно, увеличение длин хорд ведет к сокращению разбивочных работ.

отходят от круговой кривой, которую переносят в натуру.

При выборе длины хорды для разбивки круговой кривой за основу принимают величину максимального отклонения точек кривой от хорды, т. е. величину стрелки прогиба в середине хорды.

Выведем зависимость между длиной хорды х и стрелкой прогиба Ь0 в ее середине.

На рис. 82

212

Если длину кривой, которую стягивает хорда х, обозначим через Кх, то получим

Для приближенных подсчетов длину хорды можно принять рав­

Из (VIII.43) легко определить длину хпр такой хорды, при которой стрелка прогиба не превышала бы величины Ьтах

Для перенесения круговой кривой по хордам необходимо вы­ числить координаты концов хорд. Это возможно сделать двумя спо­ собами:

1.Кривую переносят в натуру равными хордами так, чтобы все хорды в пределах разбиваемой круговой кривой имели одинаковую длину с точностью до миллиметра.

2.Ставят условие, чтобы длина хорды имела целое число метров; тогда в конце кривой длина хорды будет отличаться от принятой длины хорды для разбивки кривой.

При условии равенства длин хорда в пределах всей круговой

кривой приближенную длину их рассчитывают по формуле (VIII.44), а затем, пользуясь приближенной длиной хорды, подсчитывают при­ ближенное количество хорд п' по формуле

где К — длина круговой кривой.

Далее устанавливают количество хорд п, выражающееся целым числом. Чтобы максимальное значение стрелки прогиба не превы­ шало принятой величины, полученное значение п' округляют до ближайшего большего целого числа. После этого подсчитывают длину кривой, соответствующую длине принятой хорды, по формуле

Для вычисления координат концов хорд путем введения попра­ вок, вычисленных по формуле (VIII.37), переходят от длины кривой к длине хорды и по обычным формулам вычисляют центральные углы у , стягивающие хорды.

Координаты концов хорд вычисляют по ходу, составленному ив хорд. При этом угол поворота между радпусом и первой хордой, а также угол поворота между последней хордой и радиусом равны

90°----; углы поворота, обращенные к центру кривой, между по­

следующими хордами равны 180° — у.

В некоторых случаях рационально перенести оси круговой кри­ вой в натуру по хордам, имеющим целое число метров. Это особенно выгодно тогда, когда возможно установить длину-хорды равной 2 0 или 24 м или кратную этим значениям. В этом случае для вычисле­ ния координат концов хорд по выбранной их длине подсчитывают длину кривой, которая стягивается хордой, затем подсчитывают ко­ личество хорд п длину кривой, охваченную хордами установленной длины. После этого по ранее приведенным формулам вычисляют центральный угол, соответствующий остатку кривой, и от длины остатка кривой переходят к длине последней хорды.

§ 5і. Вычисление данных для перенесения круговых кривых в натуру по секущим

Для уменьшения объема разбивочных работ и повышения точ­ ности их целесообразно переносить в натуру круговые кривые по секущим.

Рис. 83

244

Длина секущей принимается такой, чтобы отклонение концов секущих Ь0 от круговой кривой не превышало величины отклонения кривой от середины секущей (рис. 83).

Выведем зависимость между длиной всей секущей и ее хордой.

Таким образом, при одном и том же отклонении круговой кривой от разбивочпой линии длина секущей будет в -j/2 Раз больше длины

хорды.

Следовательно,

с = 1,414л:; х = 0,707с.

долей, несколько нарушается равенство отклонений средней и конеч­ ных точек секущей от кривой, но это практического значения не имеет.

Схема перенесения круговой кривой в натуру по секущим изо­ бражена на рис. 84, на котором для большей выразительности секу­

и примыкающие к началу и концу круговой кривой, состоят из хордовой части секущей и одного ее внешнего конца.

245

При длинах секущих, применяемых для перенесения кривых участков трассы в натуру, последний член правой части равенства (VIII.57) можно опустить, тогда искомая поправка для перехода от длины дуги к секущей примет вид

Кс- с= - д а - (VIII.58)

Таким образом, секущая, у которой концы и середина удалены от кривой на одну и ту же величину, длиннее дуги кривой, соответ-

На рис. 84 неполная секущая равна половине хорды плюс поло­ вина полной секущей. Поэтому поправка для перехода от длины не­ полной секущей к длине соответствующей ее дуги равна половинепоправки за переход от хорды к длине дуги и плюс половина по­ правки за переход от длины полной секущей к дуге. Следовательног на основании ранее выведенных формул (VIII.37) и (VIII.58) можно написать

24Т

На основании (VIII.48) Кк заменим через 0,7 К с, тогда

по секущим выполняют в такой последовательности:

а) вычисляют приближенную длину секущей по формуле *

с Пр = 4 1 / b 0R ;

б) определяют приближенное число всех секущих (полных и неполных)

т' = ~г— 1~0,3;

спр

в) устанавливают число секущпх путем округления величипы тѣ' до ближайшего большего целого числа;

г) определяют длину дугп Кс, соответствующей полной секущей,

ус = -|^ 2 0 6 265,

YHC= - j f - 206 265 = 0,85Ус,

ух = - ^ 2 0 6 265 = 0,70ус;

вычисленные углы поверяют по формуле

«Yc + 2унс = 0 ,

где 0 — угол поворота;

* Формула получена путем преобразования выражения (VIII.45).

248

-Yc-

§52. Вычисление данных для перенесения переходных

Для применения второго способа необходимо знать величину стрелок прогиба переходной кривой от стягивающей хорды.

Выведем эти формулы. Если направление оси х принять совпа­ дающим с линией тангенса, а начало координат — с точкой НПК, то положение каждой точки переходной кривой определяют по фор­

где I — длина переходной кривой от начала до текущей точки. Координаты конечной точки переходной кривой КПК опреде­

ляют по формулам

ХL 4UC- ’

L'2 lJ~ 6С ’

где L — длина всей переходной кривой.

Повернем ось х на угол ß (рис. 85) до совпадения ее с направле­ нием замыкающей Н П К —КПК. Тогда величины у' будут соответ­ ствовать значениям стрелок прогиба переходной кривой, но с об­ ратным знаком.

Следовательно, после поворота оси

' !/' = — Я п SHI ß - j - 7/п COS ß ,

249

а значение стрелки прогиба переходной кривой

Для определения угла ß можно написать

Переходные кривые на путях в тоннелях применяются с боль­ шими параметрамп С, поэтому угол ß будет всегда мал и не

Кроме того, учитывая, что стрелки прогиба переходной кривой представляют собой малые величины, при выводах формул для оп­ ределения стрелок прогиба переходной кривой ограничимся только первыми членами разложения тригонометрических функций в ряд, -т. е.

Примем: х = L и xn = I, тогда на основании (VIII.61) и (VIII.62) •формула (VIII.60) примет вид

< ѵ ш - 6 3 >

.250