книги из ГПНТБ / Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах

Это решение получено раньше, чем (III.44) и (III.46) [95]. Принятое при выводе формул (III.44) допущение о независи­ мости безразмерного профиля скоростей от числа М0, позволив­ шее получить удобные и простые формулы, оказывается, однако, справедливым только при сравнительно небольших числах М0. Так для обтекания пластины (/ = 0) несжимаемой жидкостью функция £ в соответствии с точными решениями должна быть

равна 0,221.

Рис. 6. Сетка кривых а 0 = а (Мт , рн.с)

Очевидно, это же значение, если принятое допущение справед­ ливо, должно сохраняться при любом М0. Однако расчеты пока­ зывают, что величина £ изменяется в зависимости от М0 сначала незначительно, а потом более резко:

Таким образом, рассмотренный здесь метод расчета следует применять только при М0 << 2.

Однопараметрический метод расчета ламинарного погранйч-* ного слоя был впервые предложен для обтекания несжимаемо'й жидкостью еще в 1921 г. Карманом и Польгаузеном, которые

61

13. Расчет теплового ламинарного пограничного слоя при течении с продольным градиентом давления

Задача о развитии ламинарного теплового пограничного слоя при обтекании поверхности потоком несжимаемого газа с про­ дольным градиентом давления решалась многими исследовате­ лями, рассматривавшими различные законы изменения скорости внешнего потока U = U (х) [167].

Если ввести обозначение

то основная система уравнений для рассматриваемого простого случая будет иметь вид:

50 . 50 __ v 320

~дх + V ~dy ~ ~Р7~ду*~'

Граничные условия для этой системы: 1) при у — 0 имеем u — v = 0; 0 = 0; 2) при у = оо имеем и — U (х); 0 = 1. Введем замену переменных:

где

„ т - 1

£ = » ]/■

Тогда решение системы уравнений (III.52) для случая изменения скорости по закону U = ex'" позволяет получить уравнение

(III.53)

которое было решено численно [117 ]. При этом было обнаружено, что при Pr = 1 на участках пограничного слоя с конфузорным

течением <<0^ толщина температурного пограничного слоя 6Т

оказалась больше толщины скоростного слоя 6 и, наоборот, на

62

Из (III.53) можно получить

(Ill .54)

или

Функция К (Pr; m) определяется с помощью численного инте­ грирования.

Для частного случая температурного пограничного слоя вблизи лобовой точки поперечно обтекаемого круглого цилиндра [31], когда т = 1, значение функции К (Рг; 1) может быть определено по следующим данным:

Для более общего случая задания скорости внешнего потока функцией

U = хт (U0+ «1лгт +1+ ц2х2<т +1) Н----- )

решение третьего уравнения системы (III.52) было выполнено Спэрроу. На основе этого решения для частного случая лобовой

являющееся частным случаем уравнения (III.55).

Из многочисленных решений, полученных для плоского по­ граничного слоя с произвольным градиентом давления, оста­ новимся на двух решениях, сравнительно простых и удобных для практического пользования [149, 56]. Оба эти решения относятся к классу однопараметрических, т. е. таких, в которых предпола­ гается, что все характеристики пограничного слоя однозначно зависят только от одной переменной, именуемой форм-параметром, которая изменяется вдоль пограничного слоя.

Методы, изложенные в работах [149, 56], являются развитием метода, приведенного в работе [95], и распространяются на теп­ ловой пограничный слой.

Рассмотрим задачу об обтекании поверхности потоком несжи­ маемого газа. Для этого случая уравнение притока тепла, как отмечалось в п. 3, будет иметь вид

граничные условия при этом:

63

Соответственно уравнение интегрального соотношения энер­ гии (1.52) имеет вид

После подстановки (III.58) и (III.59) в интегральное соотно­ шение энергии (1.52) удается получить обыкновенное дифферен­

Предположение об однопараметричности задачи, очевидно, сво­ дится к утверждению, что независимо от характера изменения скорости U и температуры на внешней границе пограничного слоя функции у (/т) и

должны сохранять один и тот же вид. В связи с этим их можно вычислить для любого частного случая и, подставив полученные значения в уравнение (III.62) и решив его, получить из соотно­

шений (III.58) и (III.61) значения б” и

qx_

Nu*

64

В работе [149] использовано описанное в настоящем параграфе точное частное решение для случая:

U = cxm', to= То — Tw= const.

В результате проделанных вычислений была обнаружена однознач­ ная связь у и /т с динамическим форм-параметром/, определяемым по формуле (111.47). Эти функции были определены для Рг = 0,73 и Рг = 1,0. Формула для числа Nu* была представлена в виде

Недостатком формулы (III.63) является необходимость полу­ чения производной скорости U', что в случае определения функ­ ции U (х) экспериментальным путем или графического ее задания является весьма неточной операцией, и обращение в бесконечность последнего сомножителя в правой части формулы вблизи точки

/ = 0 .

В работе [56] уравнение (1.52) решается следующим образом. Вводится форм-параметр

гается, что в соотношении (III.64) первый сомножитель выра­ жает полностью влияние градиента давления, а второй зависит

только от числа Рейнольдса RT.

Поскольку предполагается, что функция GT не зависит от гра­ диента давления, то для определения ее вида можно использовать данные по теплоотдаче пластины. В соответствии с формулами (III.24) и (III.26) для нашего случая для одной стороны пластины имеем

Nu* = 0,332 y^Pr R*5.

Используя это выражение и интегральное соотношение энергии для пластины

66

откуда легко получаются выражения для определения локальных значений 8Т и Nu* в виде элементарно простых интегралов:

В работе [149] рассмотрен случай обтекания поверхности не­ сжимаемым потоком газа, осложненный наличием больших тем­ пературных напоров, когда нельзя пренебречь изменяемостью физических констант поперек пограничного слоя. В этом случае для описания процесса теплообмена приходится использовать полную систему уравнений (VII)—(XII) (см. п. 3).

В работе [84] введена обобщенная (распространяемая на тепло­ вой пограничный слой) переменная Дородницына

Это позволило для случая й = Т — Tw — const и Pr = 1 свести систему (VII)—(X) к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:

и функция

(III.78)

Для решения уравнения (II 1.76) вводятся форм-параметр

(III.79)

и функция

(II1.80)

В результате подстановок этих функций в соответствующие интегральные соотношения (III.75) и (III.76) получаются уравне­ ния, формально совпадающие с уравнениями (III.42) и (III.66), только функции F и FT в них оказываются равными:

= 0,73 и Рг = 1,0. По этим кривым можно, заменяя для задан­ ного T J T „ соответствующую кривую прямой

Тепловой форм-параметр считается связанным с динамическим так же, как и при ф = 1, и для числа Нуссельта получается фор­ мула

в которой значения %/']/fT определяются из табл. 4, а п — пока­ затель степени в зависимости вязкости от температуры.

Рассмотренные выше решения уравнения (1.52) выполнены для случая, когда температура стенки Tw = const. В практике часто встречаются задачи, в которых температура Тшнепостоянна. В этом случае задача анализа теплообмена становится более труд­ ной, так как зачастую изменение Tw вдоль поверхности не за­ дается независимо, а является также функцией процесса обте­ кания.

Уравнение баланса тепла для этого случая приобретает вид

68

На рис. 8 приведена одна из групп кривых изменения интен­ сивности теплообмена поверхности при различных значениях |3 и п, полученных в работе Леви. Из рассмотрения этих кривых

при заданных Рг и р толщина пограничного слоя бт убывает с уве­ личением п, причем это убывание тем заметнее, чем больше Рг при заданном р и, наоборот, чем меньше р при заданном Рг.

14. Расчет ламинарного пограничного слоя на вращающемся диске

Вращение диска в неограниченном пространстве. Задача о со­ противлении и теплоотдаче диска, вращающегося в бесконечном пространстве вязкой жидкости в на­

чены радиальная, окружная и нормальная к плоскости диска составляющие скорости потока в некоторой точке М. Система

70