книги из ГПНТБ / Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах

уравнений, описывающих процесс, в цилиндрических координа­ тах (г, г, ср) имеет, как уже говорилось выше, следующий вид [117]:

(111.89)

Граничные условия этой системы:

Если считать вращение с угловой скоростью со равномерным и диск настолько большим, что можно пренебречь краевыми эф­

(где за аргумент принято выражение £ = z Y w/v) позволяет свести систему (111.89) к системе из шести обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений:

2f-f/T = 0;

Р + П -~?—Г= 0;

2fg + hg ' - g ” = 0-

(II1.92)

р' +hh' — h" = 0;

s" — Pr hs' -f- h's = — Pr (f 2 + g '2); t" — Pr hi' = — (4s -f 12 Pr f2)

7Г

с граничными условиями:

Численное решение этой системы позволило получить из пер­ вых четырех уравнений толщину динамического пограничного слоя

где

соа2 v

Последние два уравнения системы (III.92) позволяют полу­ чить решение для температурного поля в пограничном слое во­ круг диска:

Т — Тг + ( Т . - Т „ ) к { г У ^ ) + ^ ф У ^ +

СО2/-2

(III.97)

С Р

Как видно из рассмотрения уравнения (III.97), два последних члена в нем не зависят от граничных условий задачи; они не за­ висят ни от Tw, ни от и характеризуют повышение темпера­ туры, которое получается за счет диссипации механической энер­ гии. Расчеты, проведенные в работе [221 ], показали, что при малых значениях Мш этими членами можно пренебречь. В этом случае уравнение (III.97) сводится к соотношению

температура не зависит от радиуса, а зависит только от расстоя­ ния до диска г.

Значение функции tx было получено в работе [221 ] с помощью численного интегрирования.

72

Количество тепла, отдаваемого окружающей среде одной сто­ роной диска в секунду, равно

2л а

В работе (45) рассмотрен частный случай решения уравнения притока тепла для вращающегося диска, температура поверх­

Функция ср (Рг) также представлена на рис. 10.

Равномерное вращение диска в кожухе. При равномерном дви­ жении диска в соосном цилиндрическом кожухе возникает слож­ ное пространственное течение жидкости. Имеет место подтекание жидкости к вращающемуся диску и последующее отбрасывание

73

ее к периферии. Это приводит к циркуляции жидкости по стен­ кам кожуха и соответствующему перетеканию ее по основаниям кожуха от периферии к центру диска.

В зависимости от ширины зазора между диском и кожухом возможны два типа движения:

1) если зазор достаточно велик, то пограничные слои, обра­ зующиеся на вращающемся диске и неподвижном кожухе, не смыкаются, а взаимодействуют друг с другом через некоторую область внешнего потока;

2) если зазор мал, то пограничные слои, образующиеся на диске и основании кожуха, смыкаются.

Первый случай был рассмотрен в работе Шульца—Грюнова. Опыты, описанные в этой работе, показали, что в рассматривае­ мом случае в области, находящейся между пограничными слоями, возникает такое же распределение азимутальных скоростей, ка­ кое имеет место в твердом теле, вращающемся с некоторой угло­ вой скоростью сй! — промежуточной между скоростью диска со

инулевой скоростью вращения кожуха.

Вэтом случае в отличие от задачи, рассмотренной для враще­

ния диска в неограниченном пространстве, во внешнем потоке существуют азимутальные движения, в результате чего возни­ кает изменение давления в радиальном направлении:

(И1.103)

В связи с этим в системе уравнений (II 1.89) нельзя пренебрегать членами с радиальными производными.

Численное решение такой полной системы дифференциальных уравнений, приведенное в работе Шульца—Грюнова, позволило получить следующие выражения для толщины пограничного слоя 60 и момента сил трения жидкости М 0 на основаниях кожуха:

Для вращающегося диска соответствующие уравнения имеют вид:

74

Теоретически было получено соотношение между угловыми скоростями вращения жидкости (а^) и диска (со)

Тогда из (III. 106) следует, что 8 = const, а

М = 1,33pa4o) yiOjv,

Кроме решений этой динамической задачи имеются решения, относящиеся к вращению диска в однородном осевом потоке, к вра­ щению диска, приводимого в движение из состояния покоя, и др. Здесь на этих решениях мы останавливаться не будем, подробный их анализ приведен в работе [117].

15.Ламинарное движение вязкой жидкости

вгладкой цилиндрической трубе

Для решения задачи воспользуемся основной системой диф­ ференциальных уравнений, полученной в п. 2, так как в этом случае упрощенная система дифференциальных уравнений по­ граничного слоя может быть применена лишь на коротком входном участке. На основном же участке длинной трубы по­ граничные слои, образовавшиеся у стенок, смыкаются, и поня­ тие внешней границы погранич­ ного слоя с невозмущенным внешним потоком теряет смысл.

Рассмотрим бесконечно длин­ ную трубу с потоком, направ­ ленным вдоль ее оси z (рис. И). Очевидно,что для рассматривае­

мого случая все компоненты скорости произвольной точки М, кроме w, будут равны нулю и система уравнений существенно упростится. Уравнения движения и сплошности для несжимае­ мого потока приобретают вид:

Из этих уравнений следует, что скорость w является функцией только от координат х и у, а давление р —. только от г.

75

Таким образом, для рассматриваемой задачи мы имеем только одно уравнение

левая часть которого представляет функцию только от z, а пра­ вая — только от х и у. Так как координаты х, у и z независимы друг от друга, то равенство (III.ПО) возможно только в том слу­ чае, если правая и левая его части в отдельности равны постоян­ ному числу. Пусть

в нуль скорости w на контуре поперечного сечения, нормального к оси z. Эта задача для простейших контуров поперечного сечения трубы легко решается.

Рассмотрим течение через трубу эллиптического сечения. Пусть сечение трубы будет представлять собой эллипс с полуосями а ив, описываемый в плоскости хОу уравнением

Тогда решение уравнения (III. 111) с учетом граничных усло­ вий будет иметь вид

при этом постоянная А определяется из условия

Подставляя это значение А, получаем выражение для профиля скорости в поперечном сечении эллиптической трубы в виде

76

Очевидно, эпюры этой скорости представляет собой параболоид вращения, а линиями равных скоростей — изотахами — будут концентрические эллипсы с одинаковыми отношениями полуосей.

Максимальная скорость на оси трубы

Тогда выражение для скорости можно представить в виде

Секундный объемный расход жидкости через сечение эллипти­ ческой трубы (а — площадь сечения)

или

Средняя скорость будет равна отношению секундного объем­ ного расхода к площади сечения трубы F = nab:

Течение в цилиндрической трубе круглого сечения можно рас­ сматривать как частный случай, соответствующий условию равен­

т. е. получаются известные формулы и известный закон Пуазейля, согласно которому при установившемся ламинарном движении в круглой трубе секундный объемный расход пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса. Этот закон справедлив только для установившегося течения, имеющего место на достаточном удалении от входа; для начального участка трубы или для коротких труб закон Пуазейля несправедлив.

Введем понятие сопротивления Ар данного участка трубы, ха­ рактеризуемого перепадом давления на этом участке при заданной

77

скорости или заданном объемном расходе жидкости через трубу:

(III.120)

Коэффициент X, представляющий собой перепад давления на участке трубы длиной I = d , отнесенный к единичному среднему скоростному напору, называется к о э ф ф и ц и е н т о м с о ­ п р о т и в л е н и я .

Этот коэффициент имел бы одно и то же постоянное значение для данной трубы и данной жидкости, если бы сопротивление трубы подчинялось квадратичному закону зависимости от ско­ рости. На самом деле при ламинарном течении в гладких трубах этот закон не имеет места и коэффициент X зависит от скорости.

Действительно, если подставить в (III. 120) выражение для Ар из (III. 118), то можно получить соотношение

кой жидкости в цилиндрической трубе круглого сечения. Выра­ жение (III. 120) обычно рассматривается не как закон сопротив­ ления, а как формула для определения X.

Выражение (III. 121) справедливо и для эллиптической трубы,

Закон распределения скоростей (III. 112) можно было бы полу­ чить и непосредственно из исходного дифференциального уравне­

78

Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г = О следует, что = 0, а из условия w = 0 при г — а — что профиль скорости имеет параболический характер.

Решение (III. 122) является более общим, чем (III. 112). Из него, например, можно получить распределение скоростей в об­ ласти между двумя соосными круглыми цилиндрами, имеющими

радиусы а и Ь >• а.

Граничные условия (w — 0 при г = а и г = Ь) позволяют получить распределение скоростей

(III.123)

Тогда соответственно:

(III.124)

(III.125)

Так же можно получить формулы для скоростей и расходов в слу­ чае ламинарного движения в трубе прямоугольного сечения. Пусть

(III.126)

(III.127)

(III.128)

где

79

Численные значения этой функции:

Уравнение притока тепла (1.27) для рассматриваемой задачи может быть также упрощено. В цилиндрических координатах (г, г, ср) в соответствии с рис. 11 для круглой трубы его можно пре­ образовать к виду

Задачу представим следующим образом. Сначала температур­ ное поле жидкости в трубе однородно (Т = Tw). После некоторого сечения z = 0 температура стенки Tw становится выше (или ниже) температуры жидкости, но сохраняется постоянной (Tw = const).

Введем в рассмотрение ft = Т —• Tw\ очевидно, уравне­ ние (III. 129) относительно ft будет иметь такой же вид, как и от-

2) при 2 > 0 и г = а имеем d = 0.

Решение задачи о температурной функции d (г, г) ищется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от 2, другая — только от г:

Подставив эту функцию в (III. 130), Нуссельт [32] нашел ре­ шение уравнения'в виде бесконечного ряда

80