книги из ГПНТБ / Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах

Величину б* обычно называют толщиной вытеснения, а величину

получим интегральное соотношение импульсов для плоского по­ граничного слоя в сжимаемом потоке газа

Рассмотрим частный случай уравнения (1.43).

При обтекании поверхности потоком сжимаемого газа при практически одинаковых температурах стенки и потока, т. е. при

31

физические свойства потока будут постоянными и р = р0; ро = 0. Тогда уравнение (1.43) приобретает вид:

При этом, очевидно, выражения для условных толщин погра­ ничного слоя также приобретают более простое написание:

Как видно из сопоставления уравнений (1.43) и (1.44), в рас­ сматриваемом частном случае из уравнения интегрального соот­ ношения импульсов выпадает член, содержащий характеристики

теплового пограничного слоя 6Т, поэтому динамическая задача решается независимо от тепловой.

При обтекании поверхности потоком несжимаемого газа, но при значительном различии температур потока Т и стенки Тш (интенсивное охлаждение поверхности в высокотемпературном газе или охлаждение поверхности с высокой температурой потоком холодного газа), т. е. при TWIT =f= 1, в уравнении интегрального соотношения импульсов сохраняются все члены, характеризу­ ющие изменение физических констант и температуры поперек пограничного слоя. Таким образом, динамическая и тепловая задачи в этом случае, как и в общем случае обтекания поверхности потоком сжимаемого газа, не разделяются.

Интегральное соотношение энергии получается аналогичным

Соотношение (1.46) подставляется в уравнение (X), и получен­ ный результат вычитается из уравнения, получаемого при под­ становке (IX) в тождество (1.47).

Далее, используя все принятые ранее обозначения, а также вводя понятие толщины потери теплосодержания

о

32

и интегрируя в пределах теплового пограничного слоя, можно получить уравнение

Л

ср

Отсюда получаем интегральное соотношение энергии в развернутом виде

Как видно, в уравнение (1.50) наряду с условными толщинами

теплового пограничного слоя 6Ти 8Т входят также условные тол­ щины динамического пограничного слоя б*, б**, б***, т. е. тепло­ вая и динамическая задача должны решаться также совместно.

Частные случаи уравнения (1.50):

U2

а) при малых скоростях ----—<£ 1, тогда

2сЛ

где

5. Представление интегральных соотношений пограничного слоя в переменных Дородницына

Из сравнения формул (1.44) и (1.52) с формулами соответ­ ственно (1.43) и (1.50) видно, насколько проще решается задача о расчете теплообмена и сопротивления при обтекании тел потоком несжимаемой жидкости. Кроме простоты формы уравнений очень

важно, что для несжимаемого потока тепловая и динамическая за­ дачи полностью разделяются, т. е. в уравнении (1.44) мы имеем дело только с характеристиками динамического пограничного слоя, а в уравнении (1.52) — с характеристиками теплового по­ граничного слоя.

Вследствие этого для определения сопротивления не нужно рассчитывать тепловой слой, а для расчета теплоотдачи не нужно рассматривать слой динамический, как это имело место в общем случае обтекания сжимаемым газом. Это обстоятельство весьма упрощает расчеты.

В связи с этим появился целый ряд работ, в которых иссле­ дователи пытались вводить различные новые переменные или пара­ метры, которые позволяли бы так или иначе сводить сложные урав­ нения к упрощенным.

Наиболее широкое распространение получили преобразования Дородницына—Стюартсона.

А. А. Дородницын предложил в 1942 г. [42] преобразование координат, которое учитывает влияние сжимаемости и в то же время позволяет придать уравнениям для обтекания сжимаемым потоком форму, близкую к уравнениям пограничного слоя для обтекания несжимаемым потоком. Было предложено вместо обыч­ ных переменных х и у ввести в основную систему уравнений новые переменные:

6 = (1.53)

Здесь ро и ро — значения р и р соответственно в адиабатно и изоэнтропно заторможенном внешнем потоке.

Введем новые переменные в уравнения (VII), (IX), (X), учи­ тывая, что

Рассмотрим случай, когда на внешней границе пограничного слоя течение изоэнтропное. Тогда, очевидно, будет иметь место соотношение

ft

Здесь

U

а 0

^2Г0 '

34

из уравнения (VIII), то, очевидно, соотношение (1.55) будет спра­ ведливо в любой точке пограничного слоя.

Нетрудно получить также выражения, связывающие значения в любой точке внутри пограничного слоя со значениями на внеш­ ней его границе, для следующих параметров:

Используя полученные соотношения, можно переменные Дород­ ницына представить в виде:

| = J ( i _ ag)*-1 dx-

все члены уравнения на комплекс рр/р0, то можно получить урав­ нение движения в виде

Аналогичным образом вводя переменные Дородницына в урав­ нение (IX), можно получить следующий вид уравнения нераз­ рывности:

Если ввести соотношение (1.68) в уравнение (1.64), то

(1.69)

Вычитая из уравнения (1.67) уравнение (1.69) и производя преобразования, аналогичные преобразованиям в п. 3, можно получить интегральное соотношение импульсов в переменных Дородницына:

36

Здесь

Введя переменные Дородницына в уравнение (X), разделив все члены уравнения на рр / р 0 и использовав выражение (1.63), получим уравнение энергии в виде

Используя уравнение сплошности (1.65), можно получить соотношения:

Далее, вычитая почленно из уравнения (1.73) уравнение (1.75) и интегрируя результат по т] в пределах теплового пограничного слоя, получим интегральное соотношение энергии для изоэнтропного течения в виде

37

| | Г Л А В А

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

6. Основные представления

Система дифференциальных уравнений, полученных в гл. I, как уже говорилось, является весьма сложной, и к настоящему времени аналитические ее решения получены только для ряда частных случаев.

Невозможность аналитического решения задачи в полном объеме способствует созданию приближенных решений, основан­ ных на введении гипотез, упрощающих либо постановку задачи, либо процесс ее решения. Полученные результаты, естественно, или будут приближенными, или дадут частные соотношения, справедливые в узком диапазоне изменения определяющих пара­ метров; в некоторых случаях такие решения могут привести и к совершенно неправильным результатам. Во всех случаях такое решение требует экспериментального апробирования.

В последнее время в связи с развитием машинной вычислитель­ ной техники широкое распространение получили численные ме­ тоды решения задач, причем успехи, достигнутые в этой области, таковы, что сейчас практически любая сколь угодно сложная задача может быть решена численно с любой заданной степенью точности. В результате такого решения может быть получен боль­ шой численный материал, на основе которого могут быть построены и некоторые аналитические соотношения между отдельными вели­ чинами, однако эти соотношения будут иметь частный характер (типа эмпирических соотношений) и не смогут вскрыть общих закономерностей и внутренних связей между определяющими пара­ метрами (особенно при большом числе переменных), характерными для данной задачи [35]. В этом существенное отличие численного решения от аналитического.

Экспериментальные исследования, которые широко приме­ няются для задач, не имеющих аналитического решения, в неко­ торых случаях являются единственным способом получить не­ обходимые количественные соотношения, характеризующие рас­ сматриваемую задачу. При правильной постановке эксперимента удается получить количественные соотношения, которые можно распространять на широкий круг подобных задач; при неправиль­

39

ной постановке эксперимента получаются частные эмпирические соотношения, справедливые только для данной конкретной обста­ новки эксперимента в исследованном диапазоне изменения парамет­ ров. Кроме того, проведение надежных экспериментов в натурных условиях, как правило, оказывается невозможным, и приходится заменять их исследованиями на модели. При этом важно проводить моделирование таким образом, чтобы полученные на модели зако­ номерности имели обобщенный характер и их можно было бы рас­ пространить как на моделируемый образец, так и на целую группу подобных агрегатов.

Условия правильной постановки экспериментальных исследо­ ваний (в том числе и численного эксперимента), определяющие возможность получения обобщенных зависимостей, так же как и правила моделирования, устанавливаются теорией подобия и тео­ рией размерности.

Сущность теории подобия заключается в утверждении, что при изучении какого-либо явления не следует рассматривать в отдель­ ности влияние на процесс всех физических переменных, эти пере­ менные взаимосвязаны, и закономерности развития процесса опре­ деляются некоторыми устойчивыми комплексами, составленными из этих переменных. Такие комплексы выступают как обобщенные координаты процесса, причем одинаковые их численные значения могут достигаться многообразными путями за счет изменения вхо­ дящих в комплекс физических величин. Соотношения между та­ кими обобщенными координатами и выражают общие закономер­ ности, характерные для изучаемого явления. Теория подобия позволяет установить обобщенные координаты процесса, зави­ симость между которыми нужно находить при экспериментальном или численном исследованиях, для того чтобы полученные при этом зависимости были универсальными для изучаемого класса явлений.

7. Условия подобия

Каждый конкретный рассматриваемый рабочий процесс может быть отнесен к определенному классу явлений, описываемых не­ которой системой дифференциальных уравнений. Из этого широ­ кого класса данное конкретное явление выделяется, как известно, граничными и начальными условиями задачи. В связи с этим усло­ виями подобия будут тождественность уравнений и подобие усло­ вий однозначности (подобие граничных и начальных условий и геометрическое подобие). Два физических явления называются подобными, если для каждого из них значения любой переменной в сходственных пространственно-временных точках отличаются друг от друга на постоянный множитель. Для подобных явлений решения системы дифференциальных уравнений, определяющих процесс, должны быть подобны, т. е. каждое решение должно по­ лучаться из другого путем умножения каждой из величин, входя­

40