книги из ГПНТБ / Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах

где В — коэффициент, зависящий от теплоемкости и молекуляр­ ного веса жидкости [20].

Зависимость теплопроводности твердых тел от температуры носит приблизительно линейный характер:

Я, = А,0 (1 + аТ),

где Я,0 — значение коэффициента теплопроводности при темпе­ ратуре Т = 0° С.

Для чистых металлов температурный коэффициент а, как пра­ вило, отрицательный. Для легированных сталей он может быть и положительным.

Кроме коэффициента теплопроводности в теории теплообмена вводится также понятие коэффициента температуропроводности

а= к/(срр).

Вкинетической теории газов доказывается, что число Прандтля

для совершенных газов не зависит от температуры и параметров течения, а зависит только от атомности газа:

В табл. 1 приведено сопоставление расчетных значений, получен­ ных по этой формуле, с экспериментальными для различных газов.

ние Рг увеличивается в два раза. Для воды Рг = 13,7 при Т = 0° С

12

и Pr = 1,75 при Т = 100° С, для трансформаторного масла Рг

= 220 при Т = 40° С и Рг = 100 при Т — 80° С и т. д.

Из приведенных цифр видно, что при исследовании движения совершенных или близких к ним газов можно считать число Прандтля всегда постоянным, однако при исследовании движения вязких жидкостей в неизотермических процессах необходимо учи­ тывать сильное изменение числа Рг с температурой.

Кондуктивный и конвективный теплообмен. При рассмотрении процессов теплообмена в твердых телах и в неподвижной жидкой среде при отсутствии поперечных движений основным законом передачи тепла является закон Фурье, характеризующий молеку­ лярную теплопроводность, или кондукцию, и устанавливающий прямую пропорциональность между потоком тепла q и градиен­ том температуры:

Здесь к — коэффициент теплопроводности вещества, в котором происходит процесс передачи тепла.

При перемещении объемов газа или жидкости перенос тепла осуществляется конвекцией. В случае, когда движение среды вызывается разностью температур, имеет место свободная (есте­ ственная) конвекция; если же движение вызывается воздействием внешних сил, то имеет место вынужденная конвекция.

При конвективном теплообмене тепловой поток q определяется законом Ньютона, устанавливающим связь между q и разностью

Исследования последних десятилетий показали, что коэффи­ циент пропорциональности а, называемый коэффициентом тепло­ отдачи, не сохраняет постоянного значения, а является сложной функцией характера обтекания и структуры потока, поэтому за­ висимость (1.6) в настоящее время рассматривают не как выраже­ ние какого-либо закона природы, а как формулу для определения коэффициента теплоотдачи.

Сжимаемая жидкость. Сжимаемой называется жидкость, спо­ собная изменять свой объем под влиянием внешних сил. Мерой сжимаемости является модуль объемной упругости Е, определяе­

где AV — относительное изменение объема V0 в результате изме­ нения давления на величину Ар.

Для капельных жидкостей значение Е очень велико, и поэтому практически в большинстве случаев они могут считаться несжи­ маемыми. Например, для воды Е = 20 000 кгс/см2 = 19,5-108 Па,

13

т. е. повышение давления на одну атмосферу вызывает относи­ тельное изменение объема на AV/V0 = 0,005%.

Для газов модуль объемной упругости имеет существенно меньшее значение. Так, если изменение объема происходит при постоянной температуре, то из уравнения состояния для газов можно получить

Е = р о,

следовательно, для воздуха в нормальном состоянии в этом случае

Е = 1 кгс/см2 = 98 066,5 Па.

Вопрос о том, следует ли учитывать влияние сжимаемости для данного газа, решается в каждом конкретном случае отдельно.

Из закона сохранения массы можно получить

Ар __ ДУ

следовательно,

Ар = £ — .

Или если ввести понятие скорости распространения звука в дан­ ной среде а, которая в соответствии с формулой Лапласа опреде­ ляется соотношением

а2 = EIр,

можно получить условие несжимаемости

= <’-8>

Таким образом, в случае течения газа влиянием сжимаемости можно пренебречь только в том случае, когда отношение М = .и!а много меньше единицы.

Для воздуха, например, при нормальных атмосферных усло­ виях а г» 330 м/с и относительное изменение плотности при ско­ рости движения и = 100 м/с составляет

= JL м2« 0,05.

Ро 2

Практически эта скорость считается предельной, когда еще можно пренебрегать влиянием сжимаемости.

Сплошная среда. Все уравнения, выведенные в аэродинамике или в теории теплообмена, справедливы для сплошной среды, об­ ладающей свойством непрерывности распределения кинемати­

14

ческих элементов в пространстве и дифференцируемости их в про­ странстве и времени, т. е. при математическом построении и ана­ лизе уравнений, как правило, приходится отвлекаться от молеку­ лярной структуры вещества. В связи с этим включаемые в анализ дифференциальные объемы должны быть достаточно большими по сравнению с размером молекул и с длиной их свободного пробега, но в то же время эти объемы должны быть достаточно малыми, чтобы можно было бы их рассматривать как объемы дифференци­ альные. Таким образом, решения и формулы, которые будут получены в этой и последующих главах настоящей монографии,

к потокам, в которых имеются разрывы (например, скачки уплот­ нения), и т. д.

Полная производная. При рассмотрении процессов обтекания и теплообмена в движущихся потоках в общем случае в качестве величины, характеризующей полное изменение векторной или скалярной величины X, вводится понятие полной (субстанциональ­ ной) производной, которая соответствует эйлеровым правилам дифференцирования и записывается в виде

Если разложить вектор скорости U на составляющие и, v, w, то для температуры Т и скорости U будут иметь место соотношения:

Совершенный газ. Все выводы в последующем относятся к газу вязкому, но совершенному, в котором давление, температура и плотность связаны между собой уравнением Клапейрона

к — 1 . k - t ,

где R — газовая постоянная; k — cplcv\ i — энтальпия газа.

2. Основная система дифференциальных уравнений динамики реального газа

Будем рассматривать газ однородный, реальный, но совер­ шенный, т. е. подчиняющийся уравнению Клапейрона. Очевидно, что его состояние в некоторой точке М с координатами х, у, г

15

в декартовой системе координат будет определяться системой диф­ ференциальных уравнений [118]. Рассмотрим эти уравнения.

Уравнение неразрывности. Из закона сохранения массы можно получить выражение

полную производную ее локальными и конвективными состав­ ляющими, использовав условие произ­

менения количества движения равна главному вектору всех внеш­ них поверхностных и массовых сил. Тогда можно записать

ха т

Если пренебречь влиянием массовых сил и использовать соот­ ношение (1.14), то уравнение (1.13) может быть сведено к урав­ нению

ха

Из этого уравнения после выполнения дифференцирования, ис­ пользуя з а к о н с о х р а н е н и я м а с с ы , можно получить,

16

или в развернутом виде для плоского стационарного движения газа:

Следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Уравнения движения (1.23), именуемые в аэродинамике уравне­ ниями Навье—Стокса и выведенные для вязкой жидкости, не до­ пускают предельного перехода к течению идеальной (без трения) жидкости. Легко видеть, что если мы просто подставим в уравне­ ния (1.23) значение р = 0, то из них будут исключены члены со старшими производными и, таким образом, будет понижен порядок уравнений. Решения таких упрощенных уравнений не смогут удовлетворять всем граничным условиям полных (первоначаль­ ных) уравнений, и, следовательно, эти решения не имеют смысла. Из сказанного следует, что для получения из уравнений Навье— Стокса решений, соответствующих предельному случаю течений с очень большими числами Рейнольдса (Re —>оо) и в то же время имеющих физический смысл во всем исследуемом диапазоне пере­ менных, необходимо осуществлять предельный переход к исче­ зающей вязкости (р —>0) не в самих дифференциальных урав­ нениях, а в их решениях.

Сказанное можно легко проиллюстрировать простым мате­

где т — масса колеблющейся точки; с — коэффициент восстанав­ ливающей силы; k — коэффициент затухания; х — расстояние, на которое точка удалена от положения равновесия.

Начальное условие: при t = 0 имеем х — 0.

18

Решение (в) при трех разных значениях т представлено на рис. 2 штриховыми линиями (чем меньше т, тем выше кривая). Если теперь подставить т — О в уравнение (а), то оно превра­ щается в уравнение первого порядка

к ^ + с х - а ,

смысла.

Уравнение притока тепла. Согласно первому закону термоди­

Выполнив дифференцирование, использовав закон сохранения массы и преобразовав поверхностные интегралы к объемным [118],

После преобразований уравнение притока тепла приобретает

В развернутом виде для плоского стационарного течения получим

Для очень высоких температур п я» 0,50; для средних темпе­ ратур п я» 0,75; для низких температур п *=» 1,00.

Шесть уравнений — (1.12), (1.23), (1.27), (1.28), (1.30) —

составляют полную замкнутую систему уравнений динамики ре­ ального газа. Эта система даже для сравнительно простого случая плоского стационарного обтекания является весьма сложной не­ линейной системой, и аналитическое ее решение до настоящего времени выполнено только для некоторых частных случаев. Кроме нелинейности конвективных членов сложность системы заклю­ чается еще в зависимости вязкости от поля температур, которое, в свою очередь, является функцией условий обтекания. В послед­ нее время в связи с созданием весьма совершенных электронновычислительных машин (ЭВМ) и широким их внедрением в вычи­ слительную практику существенно расширился круг задач, для которых возможно численное решение системы с приемлемой точ­ ностью.

Поскольку в дальнейшем будут рассматриваться вопросы тепло­ обмена и сопротивления, которые, как уже говорилось выше, опре­ деляются процессами обмена в пограничном слое, то преобразуем основную систему-уравнений применительно к условиям течения в пограничном слое.

3. Уравнения плоского пограничного слоя

Для вывода уравнений пограничного слоя [118] представим систему основных уравнений динамики реального газа в безраз­ мерных координатах:

20