книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие
.pdfКИЕВСКОЕ ВЫСШЕЕ АРТИЛЛЕРИЙСКОЕ ИНЖЕНЕРНОЕ ОРДЕНА ЛЕНИНА КРАСНОЗНАМЕННОЕ УЧИЛИЩЕ
им. С. М. КИРОВА
В. В. ИВАНЕНКО
УДК512
И18
О С Н О В Ы
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
КИЕВ — 1*73
КИЕВСКОЕ ВЫСШЕЕ АРТИЛЛЕРИЙСКОЕ ИНЖЕНЕРНОЕ
ОРДЕНА ЛЕНИНА КРАСНОЗНАМЕННОЕ УЧИЛИЩЕ им. С. М. КИРОВА
В. В. ИВАНЕНКО
ОСНОВЫ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Учебное пособие
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
КИЕВ—197$
Основы линейной алгебры.
Иваненко В. В. Учебное пособие, 197jî.
В учебном пособии излагаются векторная алгебра, основы теории опреде лителей и матриц, решение систем линейных однородных и неоднородных уравнений, основные сведения о билинейных и квадратичных формах, матрич ный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с по стоянными коэффициентами. В виде дополнения дана теория линейных нера венств. Пособие содержит весь материал, необходимый для изучения тех математических и инженерных дисциплин, которые пользуются аппаратом ли нейной алгебры.
Эта книга является вторым изданием учебного пособия под тем же назва нием, изданного КВАИУ в 1961 г. В данном издании почти весь текст пере работан и существенно дополнен, внесены изменения в характер изложения материала и его расположение. Изложение теоретического материала сопро вождается образцами подробно решенных примеров и задач. Имеется также достаточное количество примеров и задач для самостоятельного решения.
Книга предназначена для слушателей инженерных специальностей, может быть использована слушателями других специальностей.
Г Л А В А I
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ
§1. Основы векторной алгебры
впространстве трех измерений
1.Среди величин, встречающихся при изучении природы, а также в технике, можно различать величины двух видов. Одни из них вполне определяются числом, например: масса тела, тем пература, электрический или магнитный потенциалы и т. д. Друіие отличаются между собой не только численным значением, но
инаправленностью, например: сила, скорость, ускорение движе ния. Первые из этих величин, не связанные с понятием о направ лении, называются величинами скалярными, или короче скаля рами. Вторые, имеющие определенное направление, будут век торными величинами, или векторами.
Геометрически вектор может быть представлен направлен
ным отрезком прямой AB, где А и В — две точки Пространства, взятые в определенном порядке: А —• начало, В — конец вектора.
Вектор также часто обозначается одной буквой, например, а. Длина отрезка AB называется длиной или модулем вектора AB, что записываем так: А В = \А В \, или а — \а\.
Два вектора АВ и CD называются коллинеарными, если пря мые AB и CD параллельны или совпадают.
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор на зывается нуль-вектором. Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.
2. Для тот, чтобы получить вектор с, представляющий сумму двух векторов а и 6, надо от произвольной точки А пространства отложить вектор а, к его концу приложить начало вектора b и соединить точку А с концом С вектора. Ь, тогда АС по величине и направлению представляет вектор с.
Видим (черт. 1), что сумма двух векторов а и b является ди агональю параллелограмма, построенного на слагаемых векто
рах а и Ь. Отсюда имеем, что
а4- b — b + а ,
т.с. сумма векторов коммутативна.
Л
L
Заметим, что вектор с называется еще геометрической суммой или результирующим вектором. _ __ _
Для того, чтобы найти сумму трех векторов a, b и с, склады ваем сначала а с b и к результирующему вектору прибавляем
вектор с. Окончательно получаем вектор AD. Непосредственно видим (черт. 2), что придем к тому же результату, если к вектору
а прибавим сумму Ь + с.
Таким образом, имеем ассоциативность суммы векторов, т. е.
(â + Ь) + с = а + (Ь + с) ■
Следовательно, для того чтобы найти, например, сумму век
торов a+ b+ c+ d, надо последовательно в любом порядке отло жить эти векторы, совмещая начало каждого следующего с кон цом предыдущего, и провести замыкающую линию полученной ломаной линии, ведя ее от начала первого вектора, к концу по
следнего. Таким образом, точка М будет началом вектора f — a+ 4-Ъ+c + d, а точка N, конец последнего вектора d, будет концом
вектора f (черт. 3). Из коммутативности и ассоциативности сло жения вытекает, что векторы можно складывать в любом по рядке, а также можно заменить любое их количество результи рующим вектором.
Заметим, что сумма трех векторов, не лежащих в одной плос кости, является диагональю параллелепипеда, построенного на данных трех векторах, как на ребрах.
Проектируя полученную систему векторов f = a+ b + c+ d на некоторую прямую, например, на ось Ох, которая в этом случае называется осью проекций, имеем
пр. а + пр. b -f- пр. с + пр. d = пр./.
Разностью а—b 'называется такой вектор х, когда х+Ь = а (черт. 4).
3. Произведением ha, где Ігф0 есть скаляр, на вектор аф О называется вектор, коллинеарный вектору а, длина которого рав
на I ha I и который направлен в ту же сторону, что и вектор а, если Іг>0, и в противоположную сторону, если Іг<0. Когда Іг = 0
или о = 0, то ha = 0.
4. Пусть заданы произвольные векторы а\, а2, Оз и произволь ные скаляры Сі, со, с3; составленный из них вектор
а == суХу —|- с2а2—j—csa3
называется линейной формой от векторов а\, а2, а%. Говорят так же, что вектор а линейно зависит от векторов аь а2, а3.
Векторы аь а2, а2 будем называть линейно зависимыми, если существуют такие постоянные сі, с2, с2, не все равные нулю, что
с^ і -f с2а2 Г- сааа= 0 ,
если таких постоянных не существует, то векторы ал, а2, а3 будем называть линейно независимыми.
5. Три вектора а, b и с называются компланарными, если су ществует плоскость, которой все они параллельны.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является их линейная зависимость. Действительно, на
пример, вектор с можно рассматривать как геометрическую сум му векторов а и Ь, т. е.
с= а.а Н- |36 ;
вэтом случае все три вектора а, Ь, с можно считать лежащими
водной плоскости.
Если векторы а, Ь, с не компланарны, то всякий вектор d мо жет быть представлен как их линейная комбинация:
d = о.а + ßb + ус,
т.е. вектор d разложен по векторам а, Ь,_с.
6.Три некомпланарных вектора е,, во, е3, отложенных из од ной и той же точки О пространства, называются репером. Пря
мые Ох, Оу, Oz, на которых лежат векторы еь е2, е3 репера, на зываются координатными осями, точка О будет началом коор динат, а плоскости хОу, yOz, xOz называются координатными
плоскостями. Векторы еь е2, е3 в этом случае будут масштабны
ми векторами осей координат. Если векторы щ, е2, е3 попарно ортогональны и их модули равны 1, то система координат будет
прямоугольной. Тогда эти векторы обычно обозначаются і, j, k и называются ортами. Далее будем пользоваться прямоугольной
системой координат и ортами і, j, k. Заметим, что прямоугольная система координат может быть левая и правая: здесь пользуемся преимущественно правой системой координат.
Всякий вектор а можно разложить на его составляющие по осям координат, т. е.
а = ах -р сіу ~j- az — up, -j- ayj -j- azh >
где числа ах, ау, а, будут координаты, (или проекции) вектора а на осях координат.
Они вычисляются по формулам: |
|
ах = a cos (а ,О х), ач — a cos (а, Оу) , а. = а cos (a, Oz), |
(1) |
где а представляет длину мли_модуль вектора а.
Векторы ax = axi, ay= ayj, az—azk, в виде суммы которых представлен вектор а, называются составляющими (или компо нентами) вектора а по осям координат.
Модуль |а | может быть определен как диагональ прямо угольного параллелепипеда, сторонами которого являются ах, ау, az, получим
|
\ä\ = |
/ al + al -f à\ . |
|
(2) |
|
Из формул (1) можно определить направление вектора а: |
|||||
^ |
|
./Ч |
^ |
__ |
д |
cos (а. Ох) = |
• |
cos (о, Оу) — - Y > |
cos (а , Oz) = |
-pl |
|
|
iai |
|
|а| |
|
И ’ |
отсюда, принимая во внимание (2), находим, что
cos2 (а, Cbc) + cos2(a, Оу) -f cos'- (а, Oz) = 1.
Последнее соотношение справедливо для всякого вектора.
Заметим, что вектор а часто задается своими координатами, что записывается так
а = (ах, ау, а.).
Если даны две точки: Мл (хь у и Zj) и М2 (х2, у2, z2), которые
являются соответственно началом и концом вектора а, то его ко ординаты будут:
ах = х г — -лгх, ау = у 2 — Уі, |
а2 = г2 — ги |
|
т. е. |
|
|
а — (х2— х1г |
у2— ylt |
z, — z j . |
Наконец, если задано два вектора: |
|
|
а = (аЛ„ ау, |
az), b = (ft,, byl bz), |
|
то соответственно получим: |
|
|
à+~b = (ax -f- bxt ay -f by> az + bz),
a — b*= (ax — bx, ay — by, az — bz).
Эти соотношения легко обобщить для любого конечного числа заданных векторов.
Пример. 1. Найти длину вектора
а = mi -f (m -f- 1) j -f m (ni + 1) k.
Р е ш е н и e. Применив формулу (2), получим
I a j = Y a%+ dy -f al = У /я2 -f (m -f l)2 -f m2 (m + l)2 =
= У (m*-\-m3+m 2)-f |
+ m)+ (m3-f-m -|-1) = m3+m -f 1 |
Пример 2. Определить модуль суммы и разности векторов
ä = ( 3 ; - 5 ; 8 ) , 6 = ( - 1 ; 1 ; - 4 ) .
Р е ш е н и е. Находим сумму заданных векторов:
ä + b = [3 + ( - 1); - 5 + 1 ; 8 + ( - 4 ) ] = (2; - 4 ; 4),
аналогично получим:
а - Ь = {3 — (— 1); - 5 - 1 ; 8 - ( - 4 ) ] = (4; - 6; 12),
отсюда:
|д + 0[ =1/ 4 + 1 6 + 1 6 = 6,
\а — 6 | = У 16 + 36 + 144= 14.
Пример 3. Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы а = 60°, ß= 120°. Вычислить его координаты при условии,
что I а I = 2.
Р е ш е н и е . Пусть у будет углом между направлением за данного вектора а и положительным направлением оси Oz, тогда
cos2 а + cos2 ß + cos2 т = 1 »
следовательно, cos2 60°+ cos2 120°+cos2y= 1, отсюда
, 1/2 cos T = ± —2~
и по формулам (1) окончательно получим: а = (1; — 1; У 2) или ä = ( l ; - 1; - 1/ 2).
§2. Скалярное произведение двух векторов
Оп р е д е л е н и е . Скалярным произведением ab двух век
торов а и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
ab = I а \I b 1cos а, |
(3) |
где а есть угол между векторами а и b.
В результате скалярного умножения получаем скаляр, что и объясняет название скалярного произведения. Например, работа
А, производимая постоянной силой F на прямолинейном пере мещении s, будет
А = ( F j |s I cos a,
где а есть постоянный угол, который составляет сила F с пере
мещением s.
Рассмотрим проекцию вектора а на вектор Ь. Про
екцией вектора а на вектор b называется длина отрезка А'В', отсекаемого плоскос тями, перпендикулярными к
вектору b и проходящими через начало А и конец В
вектора а, причем эта длина берется со знаком плюс или минус в зависимости от того
имеет ли А'В' то же направ
ление, что и вектор а или противоположное (черт. 5). Следовательно, группируя в формуле (3) разными_способами
множители, составляющие скалярное произведение ab, получим
ab — I а I cos я.• | b \ = пр*а • | b |,
(4)
ab = I b I cos я ■I a | = npâô • | a |,
T. e. скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию другого вектора на направ ление первого.
По самому определению (3) скалярное произведение комму тативно, т. е. не меняется от перестановки множителей:
об = Ьа.
Из формул (4) получим дистрибутивность скалярного произведения, т. е.
|
а{Ь + с) = |
ab + |
ас. |
(5) |
Действительно, |
_ |
_ |
_ |
|
|
ПРя {р + С) = |
п р в £> + |
ІфяС, |
|
отсюда, умножая обе части на вектор а, получим равенство (5). Очевидно также, что скалярный множитель можно выносить
из-под знака скалярного произведения т. е.
(та) (nb) = тп (ab).
Следовательно, скалярное произведение ассоциативно по от ношению к скалярному множителю.
Скалярное произведение двух векторов равно нулю, jeonи один из сомножителей равен нулю, либо если векторы а и b взаимно