книги из ГПНТБ / Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах

намического коэффициента вязкости для плоского течения на бесконечности.

Подставив все эти безразмерные величины в первое уравнение системы (1.23), получим

Вынося за скобку постоянный коэффициент перед первым членом, имеем

Проделаем такую же операцию со всеми остальными уравне­ ниями системы: (1.12), (1.23), (1.27), (1.28), (1.30). После этого поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент перед первым членом, тогда получим следующие уравнения.

Уравнения движения:

21

Комплекс R, — v x носит название числа Рейнольдса и, как

будет показано ниже, является весьма характерной величиной при аэродинамических исследованиях.

Уравнение неразрывности

Масштабы x lt у г, иг и т. д. выберем таким образом, чтобы ограничить задачу "характерными для пограничного слоя усло­ виями. Известно, что в пограничном слое при любых условиях продольные и поперечные скорости и координаты всегда конечны. Для этого, как видно из рассмотрения уравнений (I)—(III), должны выполняться два условия:

22

Из этих условий вытекает необходимость следующего соотно­ шения между масштабами:

Подставляя полученные значения у х и vx в уравнения (I)—(V)

|i = in.

Обычно во всех задачах пограничного слоя, как это будет по­ казано ниже, имеет место условие Rj > 1, а следовательно,

23

1/Ri <C 1- Тогда для перехода к уравнениям пограничного слоя необходимо во всех полученных уравнениях отбросить все члены первого и высших порядков относительно малой величины 1/R х. Таким образом, получаются уравнения:

Если использовать уравнение неразрывности, то можно пра­ вую часть последнего уравнения заменить и получить выражение

Представляя систему уравнений (VI) в размерном виде, до­ полняя ее остальными уравнениями полной системы и используя выбранные масштабы, получим:

24

где

Уравнения (VII)—(XII) составляют основную систему диффе­ ренциальных уравнений плоского пограничного слоя в общем случае движения вязкого сжимаемого газа.

Из проведенного анализа и из рассмотрения полученной си­ стемы уравнений вытекают свойства пограничного слоя:

2) все поперечные масштабы в пограничном слое пропорцио­ нальны величине 1/jXRi- В частности, толщина пограничного слоя б убывает как l/] /R x.

Уравнение (X) может быть также представлено в виде

СрР (“ Ж + V ~ ду) ~ U Их + Р ( ~ду) ~ ^ д у \ к ~ д у ) '

Рассмотрим частный случай системы уравнений (VII)—(XII). Если мы имеем дело с несжимаемой жидкостью, то физические свойства будут постоянными и 7* Г. Тогда при Pr = 1 будем иметь:

распределение давления в любых соответствующих точках внутри пограничного слоя, в том числе и на поверхности обтекаемого тела, совпадает с распределением давления на внешней границе

25

пограничного слоя, по которой происходит его смыкание с внеш­ ним потенциальным потоком. Следовательно, распределение этого давления может быть определено непосредственно из расчета по­ тенциального обтекания без учета вязкости или измерено экспе­ риментально с помощью дренажных отверстий на поверхности. Таким образом, при решении задач расчета пограничного слоя распределение давлений всегда считается заданным независимо.

Если сравнить уравнения (VII) и (X), то видно, что при

они являются совершенно идентичными. Это позволяет считать, что в рассматриваемом случае скоростные поля и поля температур

должны быть одинаковыми. Здесь U — скорость на внешней гра­ нице пограничного слоя.

На этой идентичности построена так называемая гидродинами­ ческая теория теплообмена, позволяющая по известным значе­ ниям скоростных величин определять величины температурные

ирассчитывать, например, количество тепла q по известному т.

Вкачестве одной из таких расчетных формул можно привести формулу Куерти

Q То

ТЦш “ о

Гидродинамическая теория теплообмена была развита в свое время Карманом для случая обтекания поверхности потоком несжимаемой жидкости и экспериментально подтверждена обна­ руженным подобием температурных и скоростных полей. Как видно из приведенного анализа, она оказывается справедливой и для потока сжимаемого газа при условии введения в рассмотрение вместо температуры потока Т температуры торможения Т*.

Однако следует помнить, что полное подобие должно иметь место только при соблюдении условий (1.31). Опыт показывает, что при небольших продольных градиентах давления, т. е. при

или при значениях числа Рг, не сильно отличающихся

от единицы, имеет место приближенное подобие температурных и скоростных полей.

Для газов Рг «=« 1, и поэтому при течении газа в трубе или при обтекании газом пластины возможно приближенное использование

26

нии пластины или при течении в трубе, строго говоря, нельзя применять гидродинамическую теорию теплообмена.

Приведенные в настоящем параграфе преобразования безраз­ мерных уравнений динамики вязкого сжимаемого газа справед­ ливы, как это уже отмечалось, при больших значениях числа Рейнольдса R. Таким образом, полученные уравнения погранич­ ного слоя справедливы только для течения с большими R. При малых R ими пользоваться нельзя, в этом случае необходимо ре­ шать полную систему уравнений. Но при малых значениях R

Рис. 3. Характерные зоны течения вязкого газа при изменении параметров потока

неверна и вся теория пограничного слоя, так как при этом теряется и само понятие пограничного слоя [117].

Анализ показывает, что область применимости уравнений пограничного слоя и самого понятия пограничного слоя опреде­ ляется не только значением числа Рейнольдса, но и соотношением толщины пограничного слоя б и длины свободного пробега мо­ лекул I.

Вкинетической теории газов показано, что

/= 1,255 V k — .

’’ а

Если ввести параметры

и считать, что между определяющим размером тела L и толщиной пограничного слоя б имеет место полученное выше соотношение

8/L = 1 //R , то получим

27

На рис. 3 приведена схема, из которой наглядно видны области применимости тех или иных методов расчета течения вязкого газа. Область применимости уравнений обычной газовой динамики и теории пограничного слоя находится справа от кри­ вой, соответствующей //б = 0,01. Например, при Мт = 1,5 предельное значение числа Рейнольдса, определяющее примени­ мость уравнений пограничного слоя, соответствует Rm^ Ю4.

4. Вывод основных интегральных соотношений пограничного слоя

Полученная в п. 3 система уравнений (VII)—(XII) решается для ряда задач точно, для некоторых задач приближенно. Каждый конкретный случай обтекания характеризуется своими гранич­ ными условиями.

В общем случае течения газа при наличии теплообмена у об­ текаемой поверхности кроме скоростного возникает и тепловой (температурный) пограничный слой, причем при P r= 1 толщины этих слоев равны, при Рг =/- 1 толщина температурного слоя, обычно обозначаемая бт, не равна толщине б скоростного (динами­ ческого) слоя. При Рг > 1 имеем бт < б, а при Рг < 1, наоборот

6Т> 8 .

Таким образом, составляя граничные условия для системы (VII)—(XII), следует помнить, что для уравнения (VII) нужно рас­ сматривать условия течения у стенки и на внешней границе ди­ намического пограничного слоя, а для уравнения (X) — условия у стенки и на внешней границе теплового пограничного слоя.

При приближенном решении задач о теплообмене и сопротивле­ нии поверхности в потоке газа обычно уравнения пограничного слоя преобразуют к двум интегральным соотношениям: интеграль­ ному соотношению импульсов и интегральному соотношению энергии, которые и решают тем или иным способом.

Получим эти интегральные соотношения в общем виде, огра­ ничиваясь для простоты выкладок случаем плоского стационар­ ного обтекания. Рассмотрим уравнения (VII) и (IX).

Введем следующее тождество:

Последнее преобразование справедливо потому, что в силу урав­ нения (IX) сумма, стоящая в скобках, обращается в нуль. Подста­ вим полученное соотношение в уравнении (VII) и воспользуемся также очевидным соотношением

28

Проинтегрировав вторые члены в правой и левой частях урав­ нения и подставив в полученные выражения пределы интегриро­ вания, можно получить уравнение

29

Величина б** обычно называется толщиной потери импульса. Введя это обозначение в уравнение (1.35), получим

ного слоя давление не изменяется и что тогда по уравнению Кла­ пейрона р/ро = Т 0/Т, а также, учитывая, что величины р0 и U не зависят от у , можно два последних интеграла преобразовать:

+ ^ \ t o —

30