книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

i

<

’( i ® ) f = l ( * p ) ’ 4 - ‘

w (^p)

- dl'p]

(2-68)

а'2

=

а2

І Я + (*»)“ -

2*„ ftp] \ ^ f f r i T »

+

S .1 1 T

*

— СО

<

х[(М2 + 4 р]

00

“

^ r f T p +

o V .

(2-69)

j

.2

1 + а ( V 3 а т^ + Гр)

° X , 2

- kr )ln

+

2)^3,

——(cf

+

а ѵ Яр

п *

а (Тр — Ѵ^Зоу. )

Гр~Ь Ѵз Oj

+ < V

(2-70)

+

2 (fe2u +

0ftp) ln r p_ )4

Если плотность вероятности имеет вид:

^ T r) =

S(aTl + bTt + d ) n ( -

ь

™ 1_т

) , Ѵ - П )

+ V I - К ) £ + ( £ - ^ ) ь - Ш

к } +

SC2 Ц , + 0 { c . - r „ ) 6 + ( r ; - 7 '= ) ^ - +

+ d l n £ ) + k y x,

(2-73)

= а Ч 1 + 2 ( а Г 02 - 1 / 2 ) -

Тр

Тр 1^3 а 7

ln Тр — Ѵ З а7

Vs,

- Е і

Vs а-p )

1 + 2 (а Г 2 - ] / 2 ) +

Set (Тр -}-

}-<!

Ѵз arp .

Tp +

Vs,

ln

Кз ог

Гр -

+ 1/ 2 ^(8Г)Г7.,Т

Тр “Ь

ay

Тр — Кз 0Г

/=1

(2-74)

где

Еі (х) — интегральная

показательная

функция

вида

Еі (л*) = J* ~ -dt.

Из формул (2-73)

и (2-74) следует что

средняя дис­

персия погрешности VУвых

растет

с

увеличением

Т ь, Тр

и а2

и убывает

с

увеличением

Та

и а"

_

жет производить в несовпадающие

моменты

времени

с выдачей результата 2вых(0> можно записать:

2в ы х (0 = ^D liIx[fc(^ --- Т і) +

(2-75)

+ Уп*і(і-Ті)}], і= 1 , 2, .

. п.

5 'в ы х (0

=

( 0

}]

-2вых[{-^г(^

Т і ) +

(2-76)

+ Увхг(^— 7’,-)}];

(0 =

\

(0 +

(*. {П-}) -

(t,

{Ti})]

(2-77)

"вы х

•

К

*пых

"■‘ пых

Y nblx(l) =

V ( t ) - Z Bblx(t,

{Ті})\

(2-78)

R^DHX (t,

i*) — Rv(t, t*)

R вЫХ^(t,

t*) —

(2-79)

- R

vz

{t*,t) + R,

Ниже приводятся некоторые .примеры, иллюстрирую­

щие применение полученных формул.

Пример. 2-4.

Рассмотрим

погрешности

безынерционного сумма

тора

П

0(0 = Е *«(<).

(2-80)

на

выходе

которого имеем:

f і=1

п

г.и* (0 =

Е

[*( (/ -

г«) +

0, (f -

7Д] +

і/п (<).

(2-81)

В этом случае

і=і

П

'I

(О = ЕI» V(f-

+ 4

і

(<) - 2ДКг. (<-

ти 0] +

''выХ

t

П П

+

2 £

£

(f - T

t -,

t

-

Ti) + RxiH

(t) - R

(t -

Tu t) -

i=l/=l

n

n

-

Rx ix . (t, t -

Ti)]

+

2 E

e®

(/ -

Tt) +

2 £

(f -

(=1

1

n

n

І - 1

- T

u t - T

t)

- Rxiyi (/, / -

7*0] +

2 £

£

[ ^

Bj (f -

r , , . / - ^ ) -

j (f»f

(f — Tu

i=i /=1

n

n

t —

Ti) — Rxiyi {t, t — Ti)] +

+ 2 2

£

Ryfyj (t — Tu t — T*)+'°0 (tt) +

n

i=i /=1

+ 2 £

[/4lUa (t -

Tu

t) -

RHU „ (t, i ) +

RyiVvl (t -

Tu 01.

(2-82)

f=i

При стационарности

и взаимной

некоррелированности

процессов

X и Y

П

/1—1

/1

=

(=i

«»і

Г1-Р**(7'і)] + 2 і

S

X

i=i /=і+і

X

[hi*i

(Tt -

Ti) + PxfeJ (0) -

9xix. (7\) - Ps* xj (Г,)] +

n

+

I > ' l . +

el -

(2-83)

J t

•'п

1=1

При n = 2,

аддитивных

погрешностях

и //aÄ=

0, не налагая ус­

ловия стационарности,

имеем:

О* (О

°хЛ0°х,Ѵ-т>

«*,(< -г,)

+

+

°.ѵ, (< - Л)

2р,, ( М - т \)

+

( 0 °Л-, (' - Г.) X

(О

X

(о

+ °,а Ѵ-т>)

2Рл, ( / , ( - Та)

+

+

2 [Я*л (Л « -

^

іЛ, (/. t -

7*0 -

( t - T „ t )

+

+

Вх л V

- T

>

. t - Т,)\ +

2 [ RXigi

( t - T

„

t - T , ) -

- R

Xly, «

■ t - T

l)] +

2[RXil/i( t - T

1, t -

-

T*) -

Rx,y, V

. i - m

- 2

(/,/ ) -

- RXlyn ( t - T

„

t)]

-

2 [RXt y (t,

t -

T,) -

v“, (/ -

Tt , t -

Г,)] +

+ 2

(*-

n . t - T a) -

<

- r,)i- 2

[RXlyn (M ) -

- Яадп V -

^ . /)] +

(/ -

г,) «й (/ -

Л)

°u V — T>)

_•1„

+-Г +

У

' Ѵ ~

Т *)

+ ■

(t-T,)

2Ру * Л * - Т» 1 - П

+ Ч < 0 + 2Ry,ya ( I -

у,

(2-84)

T „ t ) + 2Rl. , , ( t - T

„ t ) ,

где Уі = Уъл\\ У2 ~У вхг; Уи — инструментальная погрешность сложения.

При стационарности

Хг(0» ^і(0- Уг(0 и Уц(^), а также

в предположении их взаимной независимости

двух величин

(2-86)

і)(0= х,(/)**(<),

на выходе которого имеем:

X[xz(t—Ti) +ijz(t—T2) ]+ y B(t).

(2-87)

F„b,x ( t ) = R XlXl

(Л 0 -

R XlX,

( t -

Tt , t -

rt) -

R UiXi

T 2) -

- Rx,,„ (< -

r , , t -

r.)

-

(f -

7 \, ( -

Г,) - Уп (<).

(2-88)

Формула для дисперсии eC

(/),

получаемая аналогично (2-84),

^пызс

Если процессы

Хо(і), Yi(f), Y2(t) и Yn(0

стационарны,

попарно независимы и центрированы,

то

■ ' l + K ' i

\ - ? Хі(Т,)9х(Тг) + 0,5=г^- +

2

~l

1 Л2 _2

+

0,5=rf-

(2-89)

+ °й Ѵ

°хг

откуда

а 2

о2

-*4- ff2 ,

lim

=

(2-90)

Г,-»0.Г,->0 + ы*

;/и

что соответствует качественной картине,

в частности при

=- < = 0

(2-91)

X,

данного

измерительного устройства. Обозначим этот ряд мер

через

З і< 5 2<

... < Э і < ... < Э п. В момент времени t0 происходит срав­

/з измеряется x(t3) и выдается

результат измерения с

поправкой

в виде

2 (*ш) ~ %(f.) + У (■*> ^з) — 0, 5 [// (Эі , ti) -(- У (5і + ,, ^г)] +

Упшч•

(2-92)

где (/выч—-погрешность вычислений при введении поправки.

Дисперсия погрешности этого результата

«р'= °7/ (-*. tt) +o,25 го® (э*. /,) +;«*

(Эі+1. t2y +

+ 2Ry(t,.t2) ] + ° 2

- Я« (f.,7.)

-

Упыч

— Ry Ѵз> h) + 2RyyBыЧ(tf ta) — RyyBыч

ч (^2’

(^-93)

7—301

97

аР=

11’5 + ° ' 5Р« ~ ^ — Ру (<з — М — Pu Us — *2) +

°^пыч ^

0у5і,выч [~РУУвыч ^ 3’ ^3) Р’іИвыч ^ 3’

РѵУпыч ^ 3’ ^3)]'

и поправки

уменьшают погрешность. Наоборот, при очень быстром

изменении погрешностей, так что ри (/2 — /,1)=і; 0 п РвиПыч ^

пмсем:

з , г 2 , 2

О р = І , 5 . і/ + о

УП Ы Ч

т. е. введение поправок только ухудшает качество измерения.

Таким

образом, целесообразность пли нецелесообразность приме­

о . < - ~ \ п Ѵ

-)- 0,75

(2-95)

от природы

явлений,

их вызывающих.

На

рис.

2-1 сплош­

ной линией показан из­

меряемый

процесс,

а

пунктирной — его иска­

жение

при

измерении,

вызванной

люфтовой

и

гистерезисной

погреш­

ностями.

Рис. 2-1. Искажение процесса люф-

-^а Р^с. 2-1 показано,

тобой погрешностью.

что £/л(4)|=>0. Зтопред-

мени также равно Ул.

Найдем дисперсию этой погрешности.

Считая кривые Цп(і)

на участках

(Д h) и (Д і/>) па­

раболами

и

учитывая

малость

ул.макс

по сравнению

с А',макс, получаем:

^л.мгікс О

Л )~

^л.мят-

dt -f-

ч -

Vi-f,)*

+

f

[I -

j £ - E $

dt

Ул.м

dt =

+

\ (

°

~

^л.макс

“^2.'лСп.макс.макс[(С-С) +

(С -/,)]

15 ( С - ?,)

( 2 - 9 6 )

-Отметим,

что

при

описании

ул (0

как ул (і)==

= г / л . м а к с •

1 [ я ' ( / ) ]

дисперсия

погрешности

была бы про­

сто 0 , 2 5 г / 2л . м а к с ,

т.

е. принятое нами 'описание погрешно­

сти

дает

более

точную

оценку,

чем

исследование

л.макс

2

2

/ 1

- 0 , 2 5 у

15

уУл„.а„„„„ ,2 ~г хі)

тг~

~ 0,25 у2

— '-гг Ч~

(т, +

х,)

, ( 2 - 9 7 )

1

^л.макс

15

л.мпкс 4 1

17

2 Оз)2 J

где Ti = tz—Д Ti—t/t—Д

Тз=Ч—Д

7*

99

h— ti и ti—/3 связано

с задачей

о времени первого до­

стижения случайным

процессом

y.4(t) границы г/л.макс,

а эта задача решается только

для марковских процессов че­

рез уравнение Фоккера—План­

ка [Л. 2-9]. Дело дополнитель­

но осложняется тем, что необ­

ходимо введение в рассмотре­

ние условных плотностей веро­

ятности

в зоне, непосредст­

грешности.

венно примыкающей к экстре­

мумам реализаций. Из условий

задачи оценки погрешностей от

0,5ßC -ЛС = 0,5т,0С = г / л . м а к с

( 2 - 9 8 )

С другой стороны,

для угла

а

t g

a = ^ =

*"(*.).

(2-99)

Ь1

откуда математическое

ожидание величины ті

может

быть записано в виде

со

Л

dx" &).

(2-101)

о

w [x'

(О]: 2nax'ax"

exp

Ш

Г*" (Ol*

4 '

К "

V

(0]ар^ѵ (0) + [х"(0]»]

2™2х\

р”я (0)1 У р^ѵ(0)

exp •

Ь 3х Р"* (0) р‘ѵ (0)

I

Условная плотность

вероятностей w[x" (I)] при усло­

вии x'(t)= 0 и х"{Ѵ)Ф0, полученная из

(2-102), при под­

становке в (2-101) дает результат

—

3J^Умакс

(2-103)

Х1

,Vcx V - f . (0)

7

В частности, при

р*С0

= ехр (—ат2)

(2-104)

имеем:

%\ —

3 "1/ і/л.макс

(2-105)

~

т^У 2аая

Нетрудно показать, ЧТО

х2= Ті.

(2-106)

z« =

£ е х р [-р 2(Дт)^1д:п_й,

(2-110)

к=—р

где Хп-к — число

на выходе датчика случайных

чисел;

ß. Обозначив

(Дт)_1 (/5—U)i — Ti, приведем результаты

моделирования в виде таблицы

(табл. 2-2).

Таблица 2-2

рДт

0,10

0,15

0,30

0,40

0,60

0,70

f t

25,6

17,6

9,0

6,5

4,7

4,2

4*

94,8

58,9

14,3

6,1

3,6

3,1

Ш

0,046

0,070

0,137

0,179

0,248

0,282