книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

/12 = # 2 = а Л 1 - М т ) ] 2 ;

K[Sx(ti+x), rx(tu ti-\-x)]=K{Sx(ti),

rx(ti, ti+x)] = K{SX, /-x ( t ) ]

и поэтому

Переходя в (4-112) и (4-112а) от теоретических мо­ ментов к их оценкам, по аналогии с (4-110) и (4-111) для стационарного случайного процесса будем иметь:

173

для стационарного нормального процесса

До сих пор мы считали, что при оценке точности вос­ становления дискретизируемого случайного процесса из­ вестны численные значения автокорреляционной функ­ ции для всех интересующих нас значений аргументов ti и £{+т, причем эти значения автокорреляционной функ­ ции получены путем непосредственной обработки резуль­ татов измерений. Однако во многих случаях автокорре­ ляционная функция рассчитывается только в нескольких фиксированных точках, а затем ома аппроксимируется аналитической зависимостью заданного вида, с которой и оперируют при решении различных задач. Если извес­ тен вид автокорреляционной функции с точностью до па­ раметров, то в формулы для определения погрешности восстановления входит автокорреляционная функция Px{U, и+%, сц, ..., ай), причем параметры {а,}, г = 1, ...

..., k определены неточно. Тогда дисперсия

сумма в (4-126) будет отсутствовать. Значения оа. зави­

сят от способа получения оценок а:!ч.

Рассмотрим ряд примеров. Пусть дискретизируемый процесс является стационарным и характеризуется авто­ корреляционной функцией р.г (т, си)=ехр(—d i|т |). Пара-

174

метр «I известен неточно, и мы располагаем его оценкой а*і. Тогда

Для другого вида автокорреляционной^функции, а именно Рд:(т)= ехр(— а21т |) cos рт, если оценки парамет­ ров а2 и ß не коррелированы, дисперсия

и оценка искомой дисперсии имеет вид:

X (Sl.t cos3р*т+ Sj. sin2p*T)+ 25,Т X

X ехр (— 2a*21т I) cos3(р*т) К [S„ a*2]-f-

-f- 25,т exp (— 2a*21т | ) sin (р*т) cos (р*т) К (Sx, ß*). (4-121)

Как отмечалось выше, при вычислении максимальной дисперсии погрешности интерполяции требуется весьма точное знание нормированной автокорреляционной функ­ ции р,(т) исходного процесса X(t). Действительно, на­ пример, при оценке .погрешности ступенчатой интерпо­ ляции имеем в случае стационарного центрированного

175

исходного процесса максимальную дисперсию погреш­ ности (см. 4-3) в виде

10~4—10~3. Такого же порядка и разность 1—рХ(Т). Дру­ гими словами, необходимо оценить автокорреляционную функцию с точностью до четвертого знака. Естественно, что оценка автокорреляционной функции с такой точ­ ностью на значительном интервале т практически невоз­ можна.

Ситуация меняется, если вид автокорреляционной функции известен априори. В этом случае можно прибег­ нуть к разложению рДт) в ряд, а затем ограничиться весьма небольшим числом членов этого ряда. Например,

При этом задача сводится к отысканию параметра а. Погрешность в определении а с коэффициентом 2а2хТ це­ ликом переходит на погрешность оценки дисперсии по­ грешности интерполяции.

Для оценки параметра автокорреляционной функции в этом примере можно воспользоваться,'’например, сле­ дующим методом. Пусть из эксперимента получены вы­ борочные оценки автокорреляционной функции Гі, г2, ...

Если уравнения эти поддаются линеаризации относи­ тельно параметра іа, то можно найти такое решение, т. е. параметр а, которое является наилучшим приближением

176

Необходимо иметь в виду, что оценки эти в общем случае смещенные, а распределение выборочных оценок отлично от нормального.

Оценка параметров корреляционной функции по предложенной выше методике возможна и в том случае,

где fi(t) и [г(г) — некоторые функции только от т, не зависящие от а и ß. Естественно, что эти функции долж­ ны быть такими, чтобы соблюдались обычные свойства корреляционной функции, т. е. при а> 0 и ß > 0:

1)limf1(z)^limfa('z)=oo;

1- > С О

2)Ыт)=Ы -т),/2(т)=Ы-т);

3)/1 (0) = /( 0) = 0;

4) fi(т) >0, f z ( x ) > 0 .

Запишем уравнения, аналогичные (4-123), в матрич­ ной форме

Применяя «псевдообратную» матрицу [Л. 4-52], мож­ но найти решение, имеющее в общем случае вид:

рицы-столбца X н определяют искомое решение, т. е. параметры а и ß.

Изложенные выше методы оценки параметров корре­ ляционной функции могут быть обобщены следующим образом. При задании корреляционной функции в анали­ тической форме желательно располагать таким набором

удовлетворяла бы значениям rit г2, . .., rN(N>k), полу­ ченным из опыта. При этом «нанлучшнм» считался такой набор оценок параметров а*, при котором выполнялось бы условие минимума суммы квадратов ошибок аппрок­ симации, т. е.

Однако при этом мы не учитываем, что оценки кор­ реляционной функции rh г-і, ..., rN имеют в зависимости от своей величины разную дисперсию и являются нерав­ ноточными даже при одном и том же объеме выборки. Поэтому более естественным был бы такой критерий оптимальности набора оценок параметров а*, при кото­ ром обеспечивается минимум суммы квадратов «взве­ шенных» ошибок аппроксимации.

Пусть ошибке аппроксимации

Ві = Гі—rx(%i, а*)

приписывается вес

и набор {а*,-}, і—1, 2, ..., /г обеспечивает минимум выра­ жения

178

Тогда для нахождения оценок а* необходимо решить систему уравнений

— aj-\-La^. Предположим, что это приближение является достаточно хорошим. Тогда можно записать корреляцион­

ную функцию как

k ^

дпп

<7=1 4

и вместо системы нелинейных уравнений (4-135) получаем систему линейных относительно Да уравнений

У] if exp (— 2aij) ch4zt i=l

где a — приближенное ‘значение a*.

Необходимо иметь в виду, что оценки {я**}, получен­ ные по критерию минимума суммы квадратов взвешен­ ных ошибок аппроксимации, в данном случае не будут удовлетворять принципу максимума правдоподобия, так как выборочные оценки /у (а следовательно, и ошибки еі) распределены по закону, который отличается от нор­ мального. Вопрос о свойствах этих оценок требует до­ полнительного исследования.

Г Л А В А П ЯТАЯ

СОВМЕСТНОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ И ДИСКРЕТИЗАЦИИ

ВО ВРЕМЕНИ

5-1. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОПИСАНИЕ

В предыдущей главе мы рассмотрели преобразо­ вание непрерывного случайного процесса в непрерывную случайную последовательность и наоборот. Еще ранее, в гл. 3, были исследованы преобразования непрерывной величины в дискретную в статике. В известной мере объединением этих задач является рассмотрение вопро­ сов преобразования непрерывного случайного процесса в дискретную случайную последовательность, чем мы и займемся в данной главе.

Если интервал квантования во времени Т не менее интервала корреляции т0.ѵ истинного значения измеряе­ мой величины Х(і) (предполагается, что интервал кор­ реляции погрешности То.^То,/), то следующие друг за другом во времени результаты измерений не коррелиро­ ваньи При этом задача сводится к простому объедине­

ства информации в одном отсчете на число степеней сво­ боды No.

Значительно сложнее решение для практически более важного случая коррелированных отсчетов. На практике всегда стремятся получить коррелированные отсчеты, так как это позволяет восстановить потерянные в ре­ зультате грубых промахов наблюдателя и сбоев в аппа­ ратуре значения, используя избыточную информацию

всоседних отсчетах. К рассмотрению этого мы перейдем

вданной главе.

180

Остановимся прежде всего на информационных ха­ рактеристиках дискретной случайной последовательнос­ ти, полученной при квантовании по уровню и дискрети­ зации во времени из исходного случайного процесса X(t), описывающего истинное значение измеряемой ве­ личины. Погрешности преобразований, предшествовав­ ших квантованию, будем обозначать по-прежнему через г/гх. Наиболее естественным представляется при инфор­ мационном описании в динамике воспользоваться теми же соотношениями, что и в статике. При этом w(x) за­ меняется на соответствующую условную плотность ве­ роятностей X(tk) при условии задания результатов изме­ рения в моменты времени 1, tu-2, Д-3 ... в зависимости от порядка обобщенного марковского процесса, получен­ ного при дискретизации X(t). Однако такая процедура вряд ли реализуема для обобщенного марковского про­ цесса.

Действительно, вне зависимости от порядка марков­ ского процесса имеем:

где H{X(th) \ Z(tk)] определяется по формулам, приведен­ ным в § 3-3 для H(X\ZBblx) , а H[X(tk)] зависит от инфор­ мации о возможном исходе данного измерения, содер­ жащейся в предыдущих измерениях.

Например, для простого марковского процесса

При стационарности и независимости X(t) и YBX(t)

впредположении о нормальности этих процессов имеем:

Щ[х (th), zBX (th — Г)] =

181

где для сокращения записи применяются следующие обозначения:

разложить функцию в ряд Тейлора и ограничиться пер­ выми двумя членами. Тогда

182