книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

При условии, что погрешность облагается тем боль­ шим штрафом, чем она больше по абсолютной величине, для функции штрафов выведены следующие соотноше­ ния:

Нетрудно видеть, что этим условиям удовлетворяет, например, критерий дисперсии .погрешности и не удов­ летворяют информационные оценки, что вытекает из ограниченности самого характера условий. К сожалению, функция штрафов (особенно в денежном выражении) может быть получена далеко не во всех практически интересных случаях, что снижает возможности излагае­ мого метода.

В [Л. 1-47] предложено понятие «функциональной эффективности», в рамках которого сопоставляются две важнейшие характеристики информационной, системы: требуемое значение вероятности решения поставленной задачи в заданных условиях внешней среды и при за­ данном уровне влияния внутренних случайных факто­ ров, с одной стороны, и затраты, с другой стороны, кото­ рые необходимо произвести в заданных условиях для решения задачи с требуемой вероятностью.

В данной книге в некоторых разделах также сделана попытка применения обобщенных показателей. Это отно­ сится, в частности, к выбору частоты измерений по функ­ ции штрафов, специально сконструированной для этой цели [формула (1-51)].

Кроме того, ниже будет показано, что на основе та­ ких информационных показателей, . как скорость про­ хождения информации по измерительному тракту, воз­ можно естественное объединение критериев: погреш­ ность, точность считывания, надежность и быстродейст­ вие. Перспективным представляется развитие информа­ ционных критериев с введением весовой функции по экономическим показателям.

Другой возможный подход к выработке обобщенного показателя качества заключается в следующем. Пусть каждый прибор характеризуется точкой в я-мерном про­ странстве, где я — число учитываемых частных показате­ лей качества. Если все точки, характеризующие некото-

70

рую группу приборов, в статистическом смысле слова ложатся -на некоторую гиперплоскость, то простым пре­ образованием системы координат можно значительно уменьшить число показателей качества (в ряде случаев до одного). Правило перехода в новую систему коорди­ нат и есть формула для обобщенных показателей каче­ ства. В ряде случаев сами точки не лежат на гиперпло скости, но после соответствующим образом подобранно­ го функционального преобразования этого удается добиться. В настоящее время такой подход разработан еще недостаточно.

Нам представляется, что обобщенные критерии важ­ ны для инженерной практики. Недостатки и известная незаконченность существующих предложений ни в ма­ лейшей мере не снижают значение поставленной задачи, а, наоборот, доказывают ее сложность и необходимость ее решения.

Г Л А В А В Т О Р А Я

СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ ЗВЕНЬЕВ

НЕПРЕРЫВНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В данной главе рассматриваются аналоговые блоки без учета изменения во времени оператора преобразова­ ния Ар. Последнее обстоятельство есть предмет изучения теории надежности и требует использования специаль­ ных методов. В данной главе решается вопрос о том, какие характеристики необходимы для определения по­ грешностей и информационных характеристик результа­ тов измерения.

В соответствии с введенными в гл. 1 определениями функции -аналогового блока можно формализовать сле­ дующим образом. На вход блока поступает сигнал, опи­ сываемый как п-мерный вектор-процесс

71

Параметры реального оператора b0 и Ьі*— это случай­ ные величины ß 0 іи Bi. Их можно описать законом рас­ пределения вероятностей каждой величины и совместной плотностью вероятности. Для ряда задач, как будет показано ниже, достаточно знать математическое ожида­ ние этих величин, дисперсию и коэффициент взаимной корреляции. При проектировании блока такие характе­ ристики можно рассчитать, а при экспериментальном исследовании готового блока—проверить в ходе атте­ стации и поверки.

Для серийно выпускаемых блоков обычно нецелесооб­

экземпляра средств измерений. Вместо этого можно ис­ пользовать некоторые характеристики, усредненные по множеству однотипных экземпляров. Подробнее о ти­ повых характеристиках будет сказано далее.

В свете введенных обозначений можно записать по­ грешность на выходе блока в виде

ния. Если оба эти источника погрешностей'— детермини­

Предположим снова, что До и Ді есть случайные ве­ личины, т. е. имеет место дрейф нуля и случайные коле-

73

бамия коэффициента усиления. Тогда

Выражение для дисперсии дополнительно упрощается, если А' = у ‘вх= 0.

Тогда

Таким образом, для вычисления дисперсии погрешно­ сти на выходе линейного безынерционного звена по из­ вестным характеристикам на входе необходимо знать первые два момента дрейфа нуля н коэффициента уси­ ления.

Перейдем далее к оценке погрешностей от нелиней­ ности. Пусть желательный сигнал ѵ выражается зависи­ мостью вида (2-6), а реальная величина на выходе

74

Kw = E *j S Сп; [ X ^ - ^ r - X (Хі-”ЧГ )]. (2-22)

/= I m=0

Если 'iX= У’пх = 0 и закон распределения X и Увх — нормальный, то

На основании полученных соотношений при подста­ новке их в формулу (2-5) имеем оценку дисперсии по­ грешности на выходе блока. В частности, при соблюде­ нии условий вывода соотношений (2-8), (2-20) и (2-24), а также при^ѵ, = 0 имеем:

что при Ь22— »-0 совпадает с результатом, получаемым из формулы (2-11). Таким образом нелинейность увели­ чивает дисперсию погрешности, причем эта добавка ли­ нейно возрастает по мере роста квадрата дисперсии сум­ марного процесса на входе.

Поскольку для анализа любого[звена требуется вели­ чина Rr„ , а сигнал на выходе рассматриваемого звена

во многих случаях является сигналом на входе после­ дующего, то необходимо также вычислить корреляцион­ ные моменты вида R°“выт. Искомое значение может быть

получено из вышеприведенных формул с помощью соот­ ношения

(2-26)

2-2. ПОГРЕШНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ БЛОКОВ В СТАТИКЕ

Рассмотрим нелинейный блок с одним входом и одним выходом. Предположим, что желательная функ­ ция может быть записана в виде

Реальная функция на выходе описывается зависи­

мостью

П

В общем случае возможно пфі.

76

Для определения дисперсии погрешности на выходе воспользуемся соотношением (2-5). Запишем:

Например, при 1 = 7

о2ѵ= а2іа2х+ 2а22аіх+ За3а'1х (2at+

+5fl3o2.x-) + 24a4oGx(a2+3a4cr2x) +

+15a5aGx-(2ai+ МозсД+бЗо^оД) +

Формула (2-32) сконструирована таким образом, что при 1<7 (что обычно имеет место на практике) отбра­ сывается соответствующее число последних слагаемых.

Для оценки а2 воспользуемся формулами (2-18) — 2ЙЫЗС

(2-21). В зависимости от допустимых ограничений об­

щности задачи R может быть представлена в виде

2вых

77

Если законы распределения X и Евх нормальны, то (2-35) преобразуется к сиду

К г пх= "4, (з;+ + Лх) + а.А \ К + б\. А-^+Ь

Все приведенные в данном параграфе соотношения были выведены при фиксированных значениях членов совокупности {Bj}, / = 1, 2, ..., п. Если {Bj} — совокуп­ ность случайных величин, то необходимо при усреднении

78

учитывать моменты этих величин. Например, при соблю­ дет™ условий вывода формулы (2-37) .при независимо­ сти {ßj} от X и Yих имеем:

а= о2 [а, (а, — 2д,) -f- 2а„а2 (а„ — 2ІА)] +

Отметим, что одноканальные звенья с «гладкой» харак­ теристикой, во многих случаях приводимой к рассмо­ тренной полиномиальной форме, имеют наибольшее рас­ пространение в электроизмерительной технике.

Сравнивая полученный результат с результатом, при­ веденным в І[Л. 2-2], видим, что формулы для дисперсии погрешности на выходе совпадают, если принять нала­

Таким образом, приведенные выше результаты носят более общий характер.

2-3. ПОГРЕШНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ БЛОКОВ В ДИНАМИКЕ

Рассмотрим блок с одним входом и одним выхо­ дом, действие которого можно описать с помощью ли­ нейного оператора. Пусть погрешность на выходе звена

значений сигнала на выходе, другими словами, звено обладает некоторой инерционностью. Предположим так­ же, что оператор линейный и не изменяется во времени, а случайные процессы X(t) и Yuyi(() непрерывные и ста­ ционарные. В этом случае имеется возможность 'Исполь­ зования частного вида операторного описания, а именно передаточной функции (см., например [Л. 2-3, 2-4 и др.]). Обозначим идеальную и реальную передаточные функ­

СО

—0 0

79