книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

L

w (и) — \w(x,u — х) dx.

(3-3)

о

При этом предполагается, как и в §

1-3, что x ^(0 ,L ) .

Тогда текущее значение погрешности квантования по

уровню

при и^(Сі, Сі+і).

(3-4)

y K( u ) = Z i — u

Математическое ожидание

погрешности квантования

н~і сі+ ,

__

_

Г'к = X J (гс — и) w (и) du = Z — U,

(3-5)

і—0 сі

где

N —1

Z =

2 Z i p (Zi).

i=0

Дисперсия погрешности квантования

а2

N-1 ш сі+1_

(3-6)

2 ^

z* U uw(u)du,

i= 0

ct

Увых= г і—х = у вх+ у к(и) при

Сі+і).

(3-7)

Моменты этой погрешности

L

N — 1

? вых = =

(^0 2

[і/вх “І- Ук 0 0 ] Р (Zi I х) dx',

(3 - 8 )

О

1=о

L

N — \

а2 = Г ш ( л ) 2

[ г /в х Н - г /к ( ' 0 - ^ в ы х ] 2 Р ( 2 г- | ^ ) ,

(3 - 9 )

ывыж J

8— 301

113

Гдё

йі+і~л‘

р (Zi I x) = px {cL< a < ci+l) =

f w (yBXI x) dynx. (3-10)

—(et—X)

Сі+і— a — q= L/N

(равномерная шкала);

Zi =

(і +

0,5) q\

w (x) =

— /7 (xjL)\

w (y„ I x) =

w (yBX) = - L n ^ f - ----T]

(3-11)

Тогда при

имеем:

Г

0

при

— - 5-;

-^- + 0,5

при — 0,5а< о < 0,5а;

p(Zi\u)= .

1

при О,5а < о < < 7—0,5а;

^ ^

4

-

пРи 9 — О,5а<о<<7,

0

при v ^ q ,

имеем:

& Б Ы Х ------- О і < = ( Г + а-)/12.

(3-13)

усредненную по всем X,

лежащим в этой области:

р Ъ 1*> =

е ? й г -

<3-14>

Нетрудно получить:

Cj+l

С£+ 1

j1

w (x)

^ w (u\x) dudx

P(Zi IXS) =

t+I

------------------•

(3-15)

^

w (x) dx

C I.

Если 1£}(уъх\х) — ю(уъх) и шкала

квантования

равно­

мерна,

то

(І+ І)<7

(і+ 1)<7—X

f

w (x)

\

w(!/„x) dyBXdx

Pdi I * ) =

— *-------------------------------------.

f

w ( X )

dx

h

i =

o,

l,/ =

0, 1.....УѴ- 1.

(3-16)

Математическое ожидание

и дисперсия погрешности

на выходе квантователя выражаются формулами:

Увых=

У, р (Xi)

£

fa

— Xi) р (Zj I Xi);

(3-17)

i- 0

/=0

\

=

£ Р (-A)

£ (Ц —

Х і — ТъыхУ p(Zj\Xi).

(3-18)

упых

t=ü

/=0

s*

115

=

Ц р Ш

И [V -

i)q]aP(Zj\Xi)-

(3-19)

i=l

/=1

В качестве примера раскрытия этих формул рассмот­

рим случай соблюдения условий (3-11). Для вероятности

правильного

квантования

имеем:

0,5а

0,5а

q—0,5а

X

и

—V

0,5а

0,5а

q

q—v

X

J - У

+

j

\

j

■dh é v-

при a<q-,

—0,5а

q—0,5а —0,5а

q<7—0,5а

0,5аа

-

J

-

0,5а

2 .

+

I

(3-20)ф

х

Р Ь Ш =

j

-

J

& Ü

+

j_ L p

s

^ „

p

„

<7—0,5а

0,Ьа

—0,5 а

Щ Я—ѵ

Р (г} I xd = j-i-

J

при 2q < а.

Пределы интегралов ясны из рис.

3-1,

а.

;

(см.

Отсюда

рис.

3-1, б)

,

a h '

.г

. 2 L

п р и

1 _

_

N ^ — -,

p(Zj\Xi) =

L

д г —

2L

Д Г ПРИЛ ^ —

Условная

вероятность перехода в область Zj

'L(aN)~l

при i — i,

t'd rl, t= t2 ,... ,i=t

r t (0,5r — 1);

^ W

~ l[(0 ,5 + 0 ,5 é -

(3-21)

P{Zi\Xi) = \

— 0,125/é2) при j = idz0,5r;

0,l25L(aN)~1k2 при j =

i dr (0,5r-f* 1);

0

при ;> td = ( 0 ,5 r+

1),

где a=(r+k)q\ г — четное число

(в том числе

нуль);

0 < & < 2 (в том числе k дробное).

Величина r + k

имеет

н~

-н

Я .

г

- -Н (г1-t-

П----г

I

-I-

j ____Ё

*-і

I

а й q

tjicz Zq

atZq

а)

gj

300

ZOOO 5000

______ равномерный закон распределения i/DS; ------------

нормальный закон

распределения і/в х .

3

= л / Щ

-г

(г — 1) (г— 2)

- г О + ^ + т г О Н - 1)}

ѵ,шх

у а

X

24

при'N'^2La~1.

(3-22)

При /г= 0 имеем:

0,5 V aq

при N < 2 L a ~ \

х

у/~

п

(3-23)

П р И

ң : 2La ~1.

Из формулы

(3-23)

нетрудно

видеть, что в данном

75

ЬуВых

естественно,

так

как

при вто­

По формуле (3-23)

ром подходе

мы,

по существу,

исключили те значения погреш­

ности, которые лежали в пре­

10

делах і-го интервала, т. е. бли­

же

всего

к

математическому

ожиданию

погрешности

кван­

5

По формуле (3-13)

тования.

сред­

Рассмотрим значения

неквадратических

погрешно­

Л'

стей

по

формулам

(3-13) и

(3-23) при предельных значе­

1

г югочо wo woo wood

ниях входящих в них величин.

Рис.

3-2.

Зависимость

При

стремлении

числа

среднеквадратической

по­

областей квантования N к бес­

грешности

квантования

от

конечности, т. е. при

q - ^ 0,

числа областей квантования

имеем

из

формулы

(3-13)

при

£=І00,

а=5.

3ynHj( — а/2|/3~- Формула

(3-23)

ние погрешности

при бесконечной

точности измерения

X и увх, а (3-23)

связано с утверждением, что измерение

безошибочно, если лг + увх лежит

в

пределах

того же

интервала, что и л;. Нетрудно видеть,

что lim

о

для

W—>00

“вых

первого подхода имеет характер поправки Шеппарда.

На рис. 3-2 показан ход кривых погрешностей в зави­

симости от числа областей квантования. При

N'— уоо

дать, что вне

зависимости от законов распределения

вероятностей

истинного значения измеряемой величины

X и погрешностей YBX имеют место следующие явления:

1) квантование всегда связано с потерей информа­

ции;

входной;

интервалов квантования N

3) при стремлении числа

к бесконечности количество

информации . I'

х стре-

чину на выходе АЦП в

первом и во втором случае

соответственно zN и zN .

Тогда в силу (1-61) /

что

и требо­

валось доказать. Знак „•<“

вместо знака

указывает

элементов разбиения а, то

говорят,

что b мельче а

или а круп­

нее Ь.

заданы

две вероятностные

меры Рі и

Предположим, что на Q

= Рг(Аі)=0.

Разбиение,

содержащее

вырожденные элементы,

назы­

вается вырожденным.

оГ^О) как

Зададим функцию qі{и, о) (п^О,

и logs (и И ,

если /г > 0 ,

о > 0 ;

у

у) _

J

0,

если и =

О,

V. J 0;

I

— оо

если

0,

о = 0.

Заметим, что ср(и, ѵ)

является непрерывной функцией с областью

значений [0,

+ оо] во всех точках (и,

ѵ), где и ^О , ѵ ^О , кроме точки

(О, 0).

Введем формально некоторую функцию

п

Н Рг (Я„ а) = Ц

у (Р, {At},'P2 {А,}),

І=1

если а={А і), і=1, 2,

...,

п, и определим энтропию меры PY по мере

Р2 (см. [Л. 1-54]) равенством

Н РА р і ) =

SUP Н Р, (Л,

а),

1

а

где верхняя грань берется по всем разбиениям пространства

(X, Q).

что для любого разбиения а=

{А,}, t= l, ..., п, удовлетворяющего

условиям |Р| (А0,)—Р \(А,) I < у.

]Р2(А0і)—Рг(Аі) I <у, (і= 1 .......n),

выполнено неравенство

определенная при «і^О,

равенством

п

Чп («I. о,....... ѵп) =

S

?("<■ уі).

i=i

непрерывна в точке (іі\, ѵі,

.. ., и„,

и„), если только ни при каком і

tit и Ѵі не равны 0 одновременно.

В силу невырожденности а0 точка (Рі(А°і), Р2(А°і), .. ., Pi(An),

Р2(А„))

обладает этим свойством, и так как

Н Рг (Р,, а) =фи (Яі (А,), Я*(А.)........Яі (А„), ЯДА*)),

то утверждение леммы становится очевидным.

ситуацию, когда

2.

Теперь мы

рассмотрим

более специальную

X — полное

сепарабельное

метрическое пространство с

расстоянием

г(х,

у),

а

Q—ст-алгебра

всех

борелевскнх подмножеств X (см.

[Л.

3-35]). Если А — подмножество

X, то определим диаметр А ра­

венством

diam А = sup

r(x, х'). Нам понадобятся две функции, оп-

х.х’^Х

f

Пусть а — разбиение,

е>0 — число.

Обозначим

через и(а, е)

объединение

всех

тех элементов

А,-

разбиения а,

для которых

diam (A,)>e.

Положим,

р (а) = max

(inf max (е,Я; (иг ('а, е)))).

Эквивалентное

/=1,2

8>0

определение таково:

число р(а) удовлетворяет неравенствам

Pi (u(a,

p(a)))s£p(a);

P2(u(a, р(а))) s£p(a),

также для а={Л

,}, £= 1, ...,

п; diam a=max diam А(. Ясно, что

р(а) sgdiam а, так

как P](u(a,

diam a)) = P 2(u(a, diam a))=0. Заме­

Л е м м а 2. Пусть а={А ,}, (=1........«. Тогда для всякого е>0

найдется

такое (/>0, что для любого разбиения а', для которого

р(а')<(/,

найдется разбиение

а"={А",}, £=1, . . п. более крупное,

чем а', и

такое, что

|Л (А і)-Л (А " ,)

і <s; IP-i (A,) —P2(A'',) | < e

при /=1, ..., II.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Зафиксируем e>0. Из теоремы 6 § 7 гл. 2

пакт 1 F;> что выполнены

неравенства

Л (Fi)

(А,) :=£/', (F .)+е/2«;

Все компакты

Ft попарно

нс пересекаются, поэтому найдется

такое а>0, что min

inf

r(x, х')/г<х. Пусть разбиение а' таково,

іф І

xGEFt', x 'sF i

что выполнено неравенство p(a/)< i/ = max (а/3; е/2). Мы будем те­

ны от Fi не более чем на р(«')^;а/3, то при любом і множество

В,-

не пересекается

со всеми

множествами

В,- и

Fj, если /¥='•

Положим,

A"t = Bt ( l < £ ' <

л —

1),

Л"„ =

Х \

И—1

=

у

= в„и ( х \ и в,).

/=і

/=і

/=1

« — разбиение.

Положим, Аі=

Ясно, что

а"={А"і}, і=1, ... ,

= Fi \u (a ',

р(a')). Нетрудно установить, что Н ,=Р,ПВ,-. Очевид­

но,

что

Ні С Fi С Аі, Ні С В і С А 'і.

Поскольку различные

попарно не пересекаются, то

At =

Х \ U AjCX\U Hj;

А"

і с

Ві U (XV М В,) = Х \ U Ві С XV U Ні .

/=І

ІФі

ІФі

Так как Х \ (J HiZ3Ht (различные

Hi

попарно

не

пересекают-

ся),

то

IРг (At) -

Р \

(А"і) I <

Л ( Х \ и

Hi) -

Л (Hi) = Л ( Х \ U Hi).

Ш

/=і