книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

причем первое слагаемое в (4-16) тождественно равно нулю, то можно записать:

что случайные процессы с энергетическим спектром, описываемым зависимостью (4-14), имеют знакопеременные корреляционные функ­ ции.

Не следует, однако, считать, что при любом виде ограниченного спектра знакопеременность автокорреля­ ционной функции означает некоррелированность отсче­ тов, взятых по Котельникову. Узлы автокорреляционной функции могут отстоять друг от друга на расстояние, отличное от (2К)-1. Кроме того, функции с ограничен­ ным спектром может соответствовать знакопеременная автокорреляционная функция с неравноотстоящими узлами.

Интересным представляется подход к задаче дискре­ тизации во времени, основанный на полном отказе от описания сигналов как функции с ограниченным спек­ тром. В этой связи заслуживает освещения модель Н. А. Железнова '[Л. 4-14—4-16]. Основные свойства этой модели сигнала сводятся к следующему:

сигналы рассматриваются как нестационарный слу­ чайный процесс;

длительность сигналов Тп конечна;

143

энергетический спектр сплошной и отличен от нуля на всей оси частот (за исключением, быть может, полосы меры нуль);

интервал корреляции то ограничен, причем То макс-С

^ Тн-

Эти особенности обусловлены двумя условиями, нало­ женными на сигнальную функцию: способностью перено­ сить информацию и конечной длительностью. Поскольку спектр сигнала в модели Железнова не ограничен, то число степеней свободы не может быть определено по теореме Котельникова. Автокорреляционная функция знакопостоянна и монотонно стремится к нулю при т— у

— >-оо. Поскольку процесс нестационарен и нестационарность может быть выражена как зависимость функции автокорреляции от времени t, то \RX{т) есть функция от t. На интервале времени усреднением получаем зна­ чение среднего интервала корреляции то. Число степеней свободы сигнала теперь выразится соотношением М0=

— Тяхо~1. Принципиальной отличительной чертой теоремы отсчетов в формулировке Н. А. Железнова является утверждение о том, что последовательность дискретных' во времени отсчетов может дать лишь приближенное представление об исходной непрерывной функции, в то время как теорема Котельникова была связана со стремлением к неограниченной точности восстановления.

К тому же выводу приводит нас рассмотрение кванто­ вания во времени случайных процессов с неограничен­ ным спектром по методике И. Т. Турбовича [Л. 4-3— 4-5]. Этим автором рассматривался случай, когда основ­ ная часть энергии сосредоточена в интервале частот от нуля до частоты среза сосВозможно также обобщение

процессов характерна знакопеременность автокорреля­ ционной функции. Например, если энергетический спектр описывается одной из следующих зависимостей:

144

то согласно [Л.4-30] автокорреляционные функции соот­ ветственно имеют вид:

Таким образом, некоррелированные отсчеты лежат через интервалы времени, зависящие от частоты шо> на которую приходится максимум спектральной плотности сигнала. Однако эта частота отсчетов вовсе не совпадает с частотой среза cocЧто касается частоты среза, то она для процесса с неограниченным спектром, вообще гово­ ря, условна, так как отсечка может производиться на любом уровне энергетического спектра. Если снимать

Естественно, что точность воспроизведения увеличи­ вается по мере увеличения частоты отсчетов сос/л- Наи­ более удобным представляется брать сос кратным сооОбщее доказательство знакопеременное™ автокорреля­ ционных функций для так называемых узкополосных процессов приводится в [Л. 2-11].

Вопрос о приближении исходной функции с неограни­ ченным спектром с помощью модели с ограниченным спектром может быть также решен с помощью е-энтро-

пии Колмогорова [Л. 4-6]. Во всяком случае, ясно, что при дискретизации реальных сигналов во времени всегда имеют место потери информации за счет наложения е- сетн на исходное множество возможных непрерывных сигналов.

4-2. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ДИСКРЕТИЗИРОВАННОГО СИГНАЛА

Рассмотрим далее информационные характеристи­ ки дискретизированного сигнала, несущего информацию об исходном непрерывном процессе. Отметим прежде всего, что энтропия нормального процесса Х{і) в еди­ ницу времени согласно [Л. 1-24] равна:

—корреляционная матрица. Предполагается, что

ent ТпТ - і= ТпТ~і.

В случае стационарности процесса X(t)

Я° = 277ІОё № Т^ Т* Т а"Óà de1 II ~ Я ГІ II

где рж(т )— нормированная автокорреляционная функ­ ция процесса Х(і); Т = іі +і—іі—интервал дискретизации.

Вычислим количество информации в дискретизиро­ ванной смеси сигнала с погрешностью. Предположим, что как сигнал Х(і), так и погрешность Y (і) представ­ ляют собой нормальные процессы. Наложение условия

d e t А JCX (JC+г/)

146

Предположив, что процессы стационарны и стацио­ нарно связаны, имеем:

4 l 4 + 4 + 2/?*»W]

х+у<~*-х'— 0,5 log'

4 г4 + 4 + 2R*v (°)J - г*« w + л«, о)]2'

(4-28)

При т = 0 выражение преобразуется к виду

V 4 + 4 + - M

‘лг+у<~*х~

■ У і - рѴО)

Из последнего выражения следует, что с увеличением взаимосвязи X и Y количество информации возрастает, что согласуется с качественной картиной. С другой сто­ роны, при хфО и аддитивности погрешностей

т. е. с увеличением х количество информации умень­ шается. С увеличением относительного значения диспер­ сии погрешности / также падает. Эти обстоятельства со­ гласуются с интуитивными представлениями. Наконец, при аддитивности погрешности и т = 0 имеем:

148

стационарности процессов имеем

Осмысливание этой формулы также приводит к впол­ не логическим результатам. По мере увеличения интер­ вала времени между отсчетами количество информации возрастает. С другой стороны, если Ry(x) <^Rx(t) ss; 1, то

Наконец, при добавлении условия рж(т)= 0 получаем:

т. е. в 2 раза больше, чем в соответствующем случае при одном отсчете, что естественно, так как при отсутствии корреляции имеет место аддитивность по информации.

149

4-3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОЦЕССА ПО ДИСКРЕТНЫМ ВО ВРЕМЕНИ ИЗМЕРЕНИЯМ

Дискретная последовательность отсчетов (чисел) может быть оценена с точки зрения потерь информации о пропущенных мгновенных значениях исходной величи­ ны путем рассмотрения операции так называемого вос­ становления исходного сигнала.

Операция восстановления исходного сигнала реали­ зуется в устройствах передачи данных, в системах циф­ рового управления и в других случаях, когда выходной сигнал принципиально должен быть непрерывен во вре­ мени. Казалось бы, для измерительной техники операция восстановления не нужна, поскольку с получением ре­ зультата (числа) операцию измерения данного мгновен­ ного значения можно считать законченной. Однако это справедливо только с точки зрения оценки данного ре­ зультата, т. е. отдельного сообщения в потоке измери­ тельной информации. Для оценки результатов измере­ ния случайного сигнала на некотором интервале време­ ни, т. е. для оценки потока сообщений, рассмотрение операции восстановления исходного сигнала оказывает­ ся необходимым, поскольку позволяет выявить дополни­ тельные потери информации при дискретизации.

Оценка погрешностей восстановления исходного сиг­ нала необходима в случае косвенных или совокупных из­ мерений, когда искомая физическая величина опреде­ ляется по результатам измерений нескольких исходных величин, мгновенные значения которых могут не совпа­ дать во времени.

Кроме того, при наблюдении за последовательностью отсчетов, соответствующих случайному сигналу, по циф­ ровым индикаторным устройствам или диаграмме опера­ тор интуитивно осуществляет операцию восстановления (обычно методом ступенчатой экстраполяции).

Итак, задача формулируется следующим образом. Задана последовательность дискретных во .времени от­ счетов, полученных в результате дискретизации реализа­ ции непрерывного процесса x(t). По этим отсчетам тре­ буется восстановить исходный процесс с заданной точ­ ностью с помощью интерполяции или экстраполяции.

Для этого необходимо предварительно подобрать на данном участке-реализации исходного процесса восста­ навливающую функцию. Затем с помощью этой аппрок­ симирующей функции, задавая значение аргумента меж-

150

ду точками отсчета, провести интерполяцию. Как пра­ вило, для всех участков непрерывного процесса задаются одним и тем же видом восстанавливающей функции (на­ пример прямой, параболой и т. д.), меняются лишь коэф­ фициенты. Исходя из практической реализуемости интер­ полирующего устройства и стараясь по возможности обеспечить простоту его изготовления, обычно выбирают в качестве аппроксимирующих простые функции, что и обуславливает несовершенство интерполяции.

Критерии, по которым оценивается точность восста­ новления, весьма различны. Принципиально различают приближение в отдельных узловых точках и по всей оси времени. Текущее значение погрешности восстановления есть случайный процесс, зависящий от исходного непре­ рывного процесса X(t), расстояния между отсчетами восстанавливающей функции и точности, с которой бе­ рутся отсчеты. Для оценки характеристик этого процес­ са могут быть использованы обычные статистические характеристики случайных процессов, однако чаще всего употребляются текущие, средние и максимальные по интервалу интерполяции значения двух величин — интерквантильной оценки и среднеквадратического отклоне­ ния.

Восстанавливающие функции чаще всего конструи­ руются в виде

функций (стремятся, чтобы она была ортонормирован­ ная); {сіі}— коэффициенты разложения.

Из соображений простоты реализации часто исполь­ зуют базисные функции вида

Рті СО — полином пг-й степени от т.

Коэффициенты разложения {оД, і=1, 2, ..., п могут определяться из различных условий:

151

1. Из условия минимума среднеквадратической ошиб­ ки приближения. В этом случае, если {cp,(0). і=1, 2, ..

. . оо — ортонормированная система функции, то коэф­ фициенты должны определяться как коэффициенты Фурье по данной системе функции

2. Из условия совпадения восстанавливающей функ­ ции с исходной реализацией процесса х(і) в узлах интерполяции (в моменты снятия отсчетов). Это означа­ ет, что необходимо решать систему /г уравнений относи­ тельно {flj} вида

Ньютона), получившая широкое распространение в изме­ рительной технике благодаря исключительной простоте аппаратурной реализации и сравнительно высокой точ­ ности. В частности, при п= 1, q>i(t)=n[(t—tj)i'TB], ai =

+ Т)—x{tj)\ имеет место линейная интерполяция. Выбор того или иного метода зависит от конкретных условий. В настоящее время в измерительной технике в основном используется ступенчатая интерполяция, если задержка с выдачей результатов недопустима. Примером устрой­ ства со ступенчатой интерполяцией может быть любой цифровой измерительный прибор, у которого цифры на световом табло изменяются через определенные интер­ валы времени. Если допустима задержка в выдаче ре­ зультатов измерения на один такт Т, то возможна линей­ ная интерполяция. Более сложные виды восстанавливаю­ щих функций, как правило, целесообразны только для отдельных наиболее интересных участков и при наличии ЭВМ для обработки данных измерения, так как вычис-

152