книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

рактеристик. Некоторые частные варианты оптимизации были рассмотрены ранее три изложении материала гл. 2—5. Ниже излагается более общая 'постановка зада­ чи параметрического синтеза ИИС с известной структу­ рой.

Применительно к решению задачи измерения опре­ деленной совокупности величин в известных условиях выбирается один или несколько вариантов структурной схемы и 'ключевая характеристика, обеспечение которой особенно важно в данных условиях. Примером ключевой характеристики может быть объем аппаратуры в литрах для некоторых задач специальной техники, себестои­ мость массовых приборов и т. д. Основные метрологиче­ ские характеристики отдельных блоков, из которых воз­ можна комплектация различных вариантов системы в пределах выбранной структурной схемы, также можно считать заданными, так как они выбираются из нормаль­ ных рядов агрегатированных средств, о которых будет сказано ниже. Кроме того, требуется знание зависимости ключевой характеристики от принятых показателей точ­ ности. Задача синтеза при этом формулируется либо как минимизация (или максимизация) ключевой характери­ стики при ограничении на результирующую погрешность, либо как задача минимизации погрешности при задан­ ных ограничениях на значение ключевой характеристики.

Из сказанного вытекает возможность решения сле­ дующей частной задачи оптимального синтеза ИИС. Пусть структура системы определена с точностью до ти­ пов отдельных звеньев и их взаимного расположения. Такая определенность, как правило, имеется у опытного проектировщика после получения технического задания. Требуется оптимально распределить требования к ме­ трологическим характеристикам отдельных блоков

водном из двух вариантов:

1)минимизируя затраты на изготовление ИИС (клю­ чевая характеристика) при заданном ограничении на точность системы в целом в смысле принятого метроло­ гического показателя качества измерений;

2)минимизируя суммарную погрешность (ключевая характеристика — метрологический показатель качества всей РІИС) при заданном ограничении на затраты.

Рассмотрим решение этой задачи применительно к из­ мерительной информационной системе с одним входом и одним выходом,

?33

Итак, рассматривается ИИС, состоящая из іі звеньев, каждое из которых описывается реальным оператором Л(г)р; і = 1, .. ., п. В связи с отличием реальных операто­ ров от идеальных всеми звеньями вносятся погрешности. Обозначим погрешность, вносимую t-м звеном в услови­ ях нормировки погрешностей, через уь г=1, .. ., п, истин­ ное значение измеряемой величины (на входе системы) через X и идеальный оператор всей системы через Ап- Тогда желательный сигнал на выходе системы

где z(t) — реальный сигнал на выходе системы.

Для решения задачи необходимо знание зависимости стоимости конкретных видов звеньев от принятого метро­ логического показателя качества. Зададим эти зависи­ мости в виде Сі= С,ДТі (У,)], где МЛ—принятый норми­ руемый метрологический показатель качества t-го звена системы или совокупность метрологических характери­

т. е. при прочих равных условиях зависит от распреде­ ления погрешностей между звеньями системы.

Последняя запись отражает тот факт, что погреш­ ность уі, которой аттестуется звено, не совпадает с по­ грешностью, вносимой этим звеном в реальных условиях измерений. Последняя в первую очередь зависит от x(t), но связана также с величиной Уі(і) определенными со­ отношениями.

В рамках первого варианта поставленной выше зада­ чи можно минимизировать (6-3) при заданном ограни­ чении сверху на функцию от (6-2), т. е. искать

224

Здесь Li — область, в которой выполняется неравенство

где 'Гдоп — допустимое значение нормируемого метроло­ гического показателя; х* — истинное значение измеряе­ мой величины, соответствующее условиям нормирования и поверки всех звеньев и системы в целом.

Второй вариант задачи предполагает создание систе­ мы с максимальной точностью при заданном ограниче­ нии на стоимость, т. е. отыскание

где Сдои— максимально допусти,мое значение стоимости системы.

Исследование конкретных вариантов схем ИИС по­ зволяет определить вид зависимостей (6-3) и (6-4), а также область допустимых решений Li и Ь2. Для вы­ пуклых областей Li и L2 при условии сепарабельности ключевой характеристики может быть использован ме­ тод динамического программирования. При условии, что функции, характеризующие ключевые характеристики, являются выпуклыми, возможно применение итерацион­ ных методов поиска минимума. Однако эти вопросы вы­ ходят за рамки настоящей работы. Некоторые примеры приведены в [Л. 6-2].

Кроме того, в качестве примера применения изложен­ ной методики рассмотрим следующий простейший слу­ чай. Пусть система состоит из п блоков, каждый из ко­ торых характеризуется коэффициентом усиления а, и аддитивной погрешностью ij-u приведенной к выходу дан­ ного преобразователя. Тогда дисперсия погрешности на выходе всей системы равна:

Пусть далее стоимость і-го блока в зависимости от

овыразится формулой

Сі — Л' ехр (— Bp*).

Тогда в случае некоррелированности у,- н уи при ■іфіг имеем оптимальное распределение погрешностей между блоками как решение следующей системы урав­ нений:

2 2

где Я — неопределенный множитель Лагранжа; а2ДОп — допустимое значение дисперсии погрешности на выходе системы.

Таким образом, изложенный подход позволяет гово­ рить об оптимизации измерительной системы с учетом экономико-метрологических факторов. Одним из путей дальнейшего развития описанной задачи является сведе­ ние требований по точности также к экономическому фактору путем учета функции потерь потребления. По­ добная постановка возможна для электроизмерительных систем, в отношении которых заранее точно определен объект .применения. Однако эти вопросы также выходят за рамки настоящего исследования.

Другим важным аспектом создания и использования агрегатироваиных средств электрических измерений является обоснованный выбор рядов типоиомипалов раз­ личных групп приборов и устройств. В связи с зависи­ мостью себестоимости от серийности излишне мелкое дробление невыгодно, так как при этом, хотя и имеет место удовлетворение потребности заказчиков по но­ менклатуре в соответствии с запросами, каждая серия очень мала, а число серий велико.

С другой стороны, малое число номиналов укрупняет серии, т. е. выгодно заводам, но заставляет потреби­ теля выбирать приборы с «запасом» по параметрам. Другими словами, если потребителю требуется, напри­ мер, некоторое быстродействие, не соответствующее вы­ пускаемым номиналам, то он должен выбрать прибор с большим быстродействием (ближайший номинал), т. е. купить более дорогой прибор. Метод расчета оптимума с учетом специфических особенностей измерительной т?х-

226

Формализуем задачу выбора гипономиналов следую­ щим образом. Охарактеризуем каждый прибор совокуп­ ностью п номиналов и. Компоненты вектора и есть ос­ новные характеристики (параметры) прибора, из числа которых нужно в первую очередь выделить точность, бы­ стродействие и пределы измерения. Совокупность всех векторов и порождает некоторое /і-мерное пространство Еп, в котором для каждого конкретного вида приборов можно оговорить из 'физических соображений область функционирования WnczEn. В этой области каждому типономиналу us соответствует подобласть WVsczWn.

Если возможна замена приборов с типономиналом u.s приборами с типономиналом и,., то имеется возможность сформулировать задачу унификации. Под рядом типономииалов номенклатурной группы будем понимать лю­

в приборах wn(ui, Uz, . .., ип) по параметрам и. Удовлет­ ворение потребности возможно при различных разбиени­ ях области Wn, однако эффективность различных раз­ биений неодинакова. Таким образохм необходимо задать­ ся критерием эффективности и выбрать такое разбиение, которое соответствует экстремальному значению крите­ рия.

Пусть выбраны значения параметров { и t = l, 2, . ..,

.. ., п. Тогда критерий оценки качества разбиения Е бу­ дет некоторым функционалохм вида

причем плотность вероятностей w(ui, ..., ип) не зависит от выбранного разбиения. Наибольшие трудности пред­ ставляет выбор вида функционала Е. Наибольшей общ­ ностью, по-видимому, обладает запись в форме, которую мы -поясним на примёре одномерной задачи

ті

Е== 2 Yz'jC (Н-г j +1, Тг'з)~Ь

/=1

годовой .партии приборов, входящих в у'-ю зону параме­ тра і; <p(Uitj+i—Ui) —-функция потерь от несоответствия

ущерб от «запасов» потребителей приборов по параме­ тру щ. Напомним, что имеется в виду под запасами. До­ пустим, потребителю требуется некоторое значение нор­ мируемого показателя точности, которого нет в ряду типономиналов. Тогда он вынужден покупать более точ­ ное средство измерения, т. е. иметь ненужный ему запас по точности, за который приходится переплачивать. По­ добная же ситуация возможна по быстродействию и дру­ гим параметрам.

В многомерном случае формула (6-10) принимает вид:

п т

(6- 12)

К сожалению, в данных формулах имеется по край­ ней мере одна величина, в общем виде не поддающаяся оценке. Действительно, вид функции ущерба ф(«,-, 3-+і— Ui) не может быть определен как в большинстве кон­ кретных применений измерительных приборов, так и для средств измерения универсального назначения.

228

Поэтому возможен следующий подход. В качестве критерия качества разбиения используется первое сла­ гаемое в формуле (6-11). Требуется минимизировать этот функционал. Так как согласно пятилетнему плану заданы контрольные цифры (в стоимостном выражении), то, получив в результате минимизации по всем разбие­ ниям некоторую цифру суммарной стоимости всех при­ боров, выпущенных подотраслью, в виде

пт

довая цифра на конец пятилетки в рублях.

Следует иметь в виду, что существуют так называе­ мые ряды предпочтительных чисел. Поэтому практиче­ ски задача разбиения сводится к отысканию разрешен­ ных и запрещенных значений в этих рядах. Кроме того, все исходные характеристики могут бъіть заданы только в численной форме. Отсюда естественно вытекает целе­ сообразность численного решения поставленной задачи с помощью ЭЦВМ. Именно по этому пути пошли при на­ значении рядов средств АСЭТ (см. гл. 1). В результате этой работы была разработана методика назначения типономиналов средств АСЭТ, отдельные аспекты кото­ рой изложены в [Л. 6-5, 6-6].

Изложенные задачи не исчерпывают возможные ва­ рианты оптимизации. Имеется целый ряд других мето­ дов, позволяющих найти оптимальные или квазиопти­ мальные решения в ряде частных аспектов построения измерительной аппаратуры, к рассмотрению которых мы и перейдем в дальнейших параграфах этой главы.

6-2. ОПТИМАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ

Рассмотрим прежде всего частную задачу оптими­ зации ■—выбор шкалы 'Квантования по уровню, обеспе­ чивающей наилучшее в определенном смысле согласова­ ние квантователя с измеряемой величиной.

Задача оптимального квантования по уровню может быть сформулирована следующим образом: пусть из-

229

ізестны вероятностные свойства сигнала, подлежащего квантованию; требуется осуществить его квантование по уровню при заданном числе N уровнен 'квантования та­ ким образом, чтобы 'построенный квантователь был наплучшим в смысле некоторого точностного критерия сре­ ди всех квантователей с N уровнями.

Впервые эту задачу начали изучать специалисты по теории связи более десяти лет тому назад '(см., напри­ мер, [Л. 6-7—6-12)].

Побудительной причиной такого исследования яви­ лось развитие импульсных методов передачи сообщений. Оптимальное квантование по уровню может рассматри­ ваться как одни из способов сжатия данных, т. е. сокраще­ ния полосы частот, необходимой для их передачи. Действи­ тельно, если сравнить некоторый оптимальный квантова­ тель е 'квантователем с постоянным шагом, обеспечиваю­ щим ту же точность, то очевидно, что число уровней последнего превосходит число уровней оптимального квантователя. Поэтому (во всяком случае, если не при­ меняется статистическое кодирование) можно получить некоторую «экономию», тратя на передачу одного отсче­ та, взятого на оптимальном квантователе, меньшее число двоичных единиц по сравнению со случаем равномерно­ го квантования по уровню.

Указанный выше факт — возможность более компакт­ ного представления сигнала при заданной точности вос­ произведения— лежит в основе применения методов оптимального квантования в измерительной практике.

Теория, излагаемая в этом параграфе, не может ис­ пользоваться при создании измерительных приборов уни­ версального назначения: ее предпосылкой является предположение, что «вид» измеряемого сигнала априо­ ри известен. В то же время построение специализирован­ ных АЦП, входящих в измерительную систему, постоян­ но используемую в одинаковых условиях с одинаковой целью, зачастую может быть осуществлено с помощью

в измерительной системе. Это позволяет повысить точ­ ность восстановления квантуемого сигнала оптимальным выбором «точек отнесения» внутри кванта, не усложняя конструкции АЦП: в вычислительную машину вводится только код номера кванта, в который попал измеряемый

230

сигнал, вы'бор же точки отнесения производится программой воостановлейия.

Приведем точную формулировку одной из задач тео­ рии оптимального 'Квантования. Пусть фиксирован не­ который критерий точности, основанный на усреднении функции штрафов ср(х, z), т. е. качество устройства, пре­ образующего случайный сигнал X в случайный же сиг­

нал Z, оценивается величиной ср(А', Z). Будем предпола­ гать, что функции ф(х, z) удовлетворяет условиям, накладываемым на функции штрафов (см. гл. 1) .Требует­ ся по заданному числу уровней квантования N и одно­ мерной плотности вероятностей квантуемого сигнала w і ( х ) определить параметры квантователя с N уровня­

Здесь хи-—'пороги квантования; zk — точки отнесения;

.Vo — минимальное, а хк — максимальное значение изме­ ряемой величины, т. е. если значение квантуемого сигна­ ла лежит между порогами хк-і и Xh, то значение кванто­ ванного сигнала есть zk-

Как показано в работах А. И. Величкина [Л. 6-14, 6-15], эта задача, кажущаяся весьма частной, является основной в данной теории. Так, рассмотрение более об­ щих ситуаций (учет запаздывания в квантователе, нали­ чия помех, отличных от шума квантования по уровню) сводится к минимизации функций вида (6-14). Мы вкратце рассмотрим эти результаты несколько ниже.

Прежде чем перейти к изложению способов решения задачи оптимизации, обсудим один вопрос, связанный с возможностью практического применения методов оп­ тимального квантования. Априорные данные об измеряе­ мом сигнале получаются, как правило, эксперименталь­ но. Естественно, они не вполне точны. Поэтому необходи­

априорных данных (ниже мы встретимся еще с одной ситуацией, в которой важно знать ответ на этот вопрос).

231.

Введем следующие обозначения:

ставит в соответствие величину среднего штрафа, соот­ ветствующего способу квантования с ворогами {х,} и точками отнесения {г,}, а функционал R x ( w ) — величину

ге[*„. xn\.

Положим, E2=ei/Lo. Тогда для любого способа кван­ тования с N уровнями

Nх\

^J ?(Х, Zn) [да, (х) — да, (л:)] dx

232