книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

Нетрудно видеть, что значения Г* соответствуют фор­

ется вполне допустимым. Опишем зависимость от (Ті) - 1

линейиой функдией

у= (Т{)-1 = а + Ь$,

где согласно методу наименьших квадратов

1

X (Pit — Pep) (Yh — Yep)

X (Pi.-Pop)2 k=l

обеспечивающую искомое соотношение с вполне прием­ лемой точностью. Отметим, что в данном случае (тз)~1=

= (тз)-1, что объясняется экспоненциальным законом распределения вероятностей тз, полученным при числен­

Тз. Итак, в общем случае дисперсия, а, следовательно, и среднеквадратичное значение погрешности от люфтов и 'Гистерезиса могут зависеть от скорости протекания измеряемого процесса и величины люфта, а также сред­ неквадратичного значения измеряемого процесса.

При некоторых видах корреляционной функции про­ цесса зависимость от скорости протекания процесса от-

103

сутствует, но погрешность зависит от дисперсии процес­ са. В общем случае дисперсия погрешности от люфтов и гистерезиса тем меньше, чем меньше дисперсия изме­ ряемого процесса и чем быстрее он протекает.

2-6. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Рассмотрим сначала в общем виде информацион­ ные характеристики блока, имеющего п входов и т вы­ ходов, в статике. Обозначим величины на входе {Z,}, где Zi = Xi+Yj, а величины на выходе { Z * Предположим, что желаемая (требуемая) функция на выходе есть {oj}, где Vj=fj(Xь Хъ ..., Х„). Все величины предполага­ ются центрированными. Тогда в соответствии с (1-63) в предположении о нормальности законов распределения

J04

Аг^ } _ матрица-строка, транспонированная по от­

ношению к матрице

k — 1 ,2 ...... т.

Ниже приводятся некоторые примеры, поясняющие приведенный общий метод получения информационной оценки.

В отношении погрешностей, накопленных на предыдущих звеньях, не будем вначале накладывать никаких ограничений. Количество информации в величине на выходе Z* относительно V равно:

Если сам сумматор идеален, т. е. арифметическая операция сум­ мирования выполняется без внесения дополнительных погрешностей, то

лп

Тогда

пп

пп

105

Подставляя полученные значения в (2-121), получаем искомую оцен­

X С0!-. + RxiVi)

i= l

'У<—i-Z* — logj 1

S . ! X ( aI-, + °y, + -Rxßi

W=1

(2-125)

Если погрешности аддитивны и a^. = <і^= const, то

В ряде случаев представляет интерес также другая оценка, свя­ занная с-определением роли каждого из слагаемых. Тогда ищется количество информации относительно одного входа

/=1

106

Последнее выражение получает ясное толкование. Действительно, каждый канал даст тем меньше информации о результате суммиро­ вания, чем больше число каналов.

В случае нормальности всех величин и предположения, что погрешности не зависят от значений х и у в другом канале, имеем:

А = я2хіах, + 2Rl,x, + °ГѵДад, + '’lßx.y, + Rx,y,Rx2y2’ I

Если все корреляционные связи отсутствуют, то

По мере увеличения относительной дисперсии погрешности С ко­

личество информации уменьшается, что согласуется с интуитивными представлениями.

107

Вышеприведенные характеристики описывают шен­ ноновскую информацию в статике. Рассмотрение в дина­ мике проведем, привлекая аппарат канонических разло­ жений [Л. 1-1]. Пусть на вход звена воздействует z(t) = =x(t) + y Bi(t). Опишем звено с помощью идеального Ап и реального Лр операторов. Входное воздействие

ния соответственно X(t) и Yвх(7); fi(t) — координатные функции. Можно показать, что количество информации в выходной величине Z*(t) относительно желательного сигнала на выходе V (t) =Л„[Х(г')] в любой момент вре­ мени

J

При выводе последней формулы предполагалось, что операторы А„ и Лр линейны. Для оценки потерь инфор­ мации на звене запишем:

108

Отметим также, что энтропия процесса на выходе звена

Если реальный оператор описывается с помощью па­ раметров, являющихся случайными величинами, т. е. имеется случайный разброс параметров но множеству выпускаемых изделий, то

В частности, при нормальном законе распределения

Uix и и, , их взаимной независимости и безынерцион-

^пх

ном линейном преобразовании с коэффициентом усиления а имеем:

Дальнейшее исследование динамики с позиций шен­ ноновской меры информации представляется удобнее провести уже после рассмотрения дискретизации и кван­ тования процесса, о которых будет идти речь в гл. 5.

Г Л А В А Т Р Е Т Ь Я

АНАЛОГО-ЦИФРОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

3-1. СУЩНОСТЬ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Среди основных видов измерительных преобразова­ ний, перечисленных в § 1-1, два этапа наиболее сущест­ венны с точки зрения получения достоверной количест­ венной информации об истинном значении измеряемой физической величины. Первый из них — восприятие и селекция данной физической величины в исследуемом

109

или контролируемом процессе н формирование первич­ ного измерительного сигнала (к этому вопросу мы вер­ немся в гл. 8). Вторым ключевым этапом является ана­ лого-цифровое преобразование — преобразование анало­ гового измерительного сигнала в цифровую форму или код. Как уже отмечалось в гл. 1, аналого-цифровое пре­ образование осуществляется по двум координатам: уров­ ню и времени. Аналого-дискретное преобразование по уровню принято называть квантованием по уровню, а то же преобразование во времени—дискретизацией по вре­ мени. Поскольку измерение непрерывных величин (нс процессов) в статике связано только с квантованием по уровню, то указанные две стороны аналого-цифрового преобразования целесообразно рассмотреть отдельно. В гл. 5 мы вернемся к совместному рассмотрению обеих сторон этого процесса. По существу операция аналогоцифрового преобразования имеет место во всех измери­ тельных устройствах и без ее выполнения принципиаль­ но невозможно получить результат измерения в виде конечного числа. Отнесение, например, стрелочных пока­ зывающих приборов к чисто аналоговым с этой точки зрения ошибочно и условно, так как сопоставление плав­ но изменяющегося угла отклонения стрелки с делениями шкалы и взятие отсчета, очевидно, тоже является ана­ лого-цифровым преобразованием, осуществляемым на­ блюдателем.

Можно указать п еще на одну сторону этого преобра­ зования. Абсолютная мера энтропии непрерывной вели­ чины равна бесконечности. Поэтому, если предположить возможность построения гипотетической непрерывной шкалы без дискретизации по некоторым конечным зонам (интервалам квантования), то с учетом конечной про­ пускной способности любого информационного канала ( в том числе и человека) время считывания одного по­ казания по такой шкале определилось бы как бесконеч­ ное. Другими словами, так как число возможных значе­ ний аналоговой величины внутри даже ограниченного диапазона равно бесконечности, то для передачи любого ее значения требовался бы код бесконечной значностп, т. е. сообщение стало бы бесконечно длинным.

С другой стороны, следует заметить, что в инженер­ ной практике часто проявляется недооценка сущности аналого-цифрового преобразования как измерительного преобразования. В смежных областях техники (в вычис-

110

литблы-юй, в технике управления и связи) аналого-циф^ ровое преобразование иногда рассматривают как слу­ жебную операцию при обработке сигналов, произвольно трактуя соответствие входных и выходных величин. Ана­ литическое рассмотрение аналого-цифрового преобразо­ вания, предлагаемое читателю в этой и двух последую­ щих главах, по нашему мнению, может оказаться полез­

непрерывной величины дискретной. При этом вся об­ ласть возможных значений разбивается на конечное чис­ ло подобластей или интервалов квантования. Каждому интервалу присваивается определенный индекс, обычно его порядковый номер в единичной системе счисления. Попадание входного сигнала в любую точку интервала вызывает появление на выходе прибора индекса этого интервала. Вообще говоря, эту операцию можно охарак­ теризовать как округление. Кодированием называют пересчет номера интервала в другую систему счисления (например, в двоичную или десятичную). Зачастую обе операции выполняются одним и тем же конструктивно совмещенным устройством.

В обычных стрелочных устройствах квантование не автоматизировано, т. е. выполняется наблюдателем. При этом наблюдатель мысленно приводит стрелку к бли­ жайшему делению на шкале пли к некоторому связан­ ному с ним уровню (например, половине расстояния между штрихами на шкале). Так как шкала нанесена заранее, то разбиение диапазона возможных значений на интервалы квантования предопределено. В цифровых измерительных приборах и аналого-цифровых преобра­ зователях (АЦП) эта операция автоматизирована. В со­ ответствии с указанным выше отметим, что в силу этих обстоятельств утверждение некоторых авторов (напри­ мер, [Л. 3-12]), что погрешность дискретности присуща / только автоматическим цифровым системам, явно, ошибочно.

Имеется обширная литература по технике аналогоцифрового преобразования, например [Л. 3-1—3-3], и предложен целый ряд классификаций, имеющих сравни­ тельно небольшое отличие [Л. 3-1, 3-4—3-7]. Поэтому

іи

в данной книге эти вопросы не рассматриваются. Чита­ телю, интересующемуся техникой преобразования, реко­ мендуем обратиться к указанной литературе. Отметим лишь, что во всех упомянутых классификациях не нашел отражения метод случайного поиска (см. § 5-4).

Предметом исследования в данной главе является квантование по уровню. Дискретизация во времени рас­ сматривается в гл'. 4.

3-2. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ КВАНТОВАНИИ ПО УРОВНЮ

Рассмотрим прежде всего задачу квантования по уровню, воспользовавшись в качестве критерия диспер­ сией погрешности. Отчасти эта задача несколько иначе решалась в [Л. 3-8—3-10]. Авторами этих работ были получены в частных случаях результаты, совпадающие с нашими.

Как и раньше, будем считать, что на вход преобразо­ вателя поступает смесь сигнала, отображающего истин­ ное значение измеряемой величины х, и результирующей погрешности всех предшествующих звеньев аналогового преобразования уВх> носящей аддитивный характер. В величину упх включены также погрешности, вносимые входными цепями АЦП, кроме погрешностей квантова­ ния. Таким образом, преобразователь дополнительно вносит только погрешности, обусловленные квантовани­ ем. Все последующее рассмотрение проводится без учета искажения распределения погрешности на грани­

полагает, что величины х и увх выражены в единицах измерения гораздо меньших, чем квант. Другими слова­ ми, в пространстве переменных введена единица измере­ ния, практически неограниченно малая. Будем считать, что і-й интервал ставится в соответствие любому значе­ нию X внутри этого интервала.

Введем следующие обозначения:

112