книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

математическое ожидание погрешностей по шкале при­ бора от 0 до L для одного из частных случаев (сплош­ ная линия); пунктиром показана ломаная, получающая­ ся при восстановлении исходной зависимости по резуль­ татам измерений в дискретных точках шкалы, как это часто делается.

Для каждого значения х можно оценить максималь­ ную погрешность укакс(х), среднее значение

и среднеквадратическое

°у (х ) = ] / Л J [У (х) - У (дс)] wy (у IX) dy (л-) =

Перейдем далее к описанию множества всех возмож­ ных значений погрешности по шкале прибора. Естествен­ но, что при этом нужно учитывать распределение веро­ ятностей X, обозначаемое ниже как шД.ѵ). Моменты этого распределения соответственно равны:

среднее значение

максимальное значение

yMaKc = sup sup у(х).

X У

Здесь {хь хг] — диапазон существования измеряемой величины.

Перечисленные три характеристики являются усред­ ненными по всей шкале. Например, при равномерном распределении вероятностей измеряемой величины

50

wx(x) = (1/L) ХП(х/Ь), где П — функция, равная 1 при значениях аргумента между 0 и 1 и 0 при всех осталь­ ных его значениях (Л. 1-14], и равномерном распределе­

являются, во-первых, абсолютными погрешностями (т. е. имеют размерность измеряемой величины), во-вторых, являются-частными значениями более общей характери­ стики—среднего риска (Л. 1-13].

Для перехода к относительным значениям необхо­ димо введение весовой функции gi(x), на которую необ­ ходимо умножить характеристику погрешности в ранее

Возможно также взвешивание_на более позднем эта­ пе, например, путем умножения У на g2 (x) = 1/хмаКс-

Введение весовых функций оправдано в тех случаях, когда по условиям измерений необходимо учитывать от­ носительные отклонения или сравнивать между собою приборы, предназначенные для измерения разнородных величин.

Приведем еще один показатель, сконструированный по тому же принципу, что и разъясняемый ниже пока­ затель для динамических погрешностей, предложенный Гловером {Л. 1-15]. Запишем этот среднеквадратический

Основные достоинства этого показателя следующие:

1)в равной мере пригоден для оценки в тех слу­

чаях, когда г/мако^х и максимальной погрешностью в знаменателе можно пренебречь, и для оценки измере­ ний с большим удельным весом погрешности;

51

2)не зависит от знака измеряемой величины и по­ зволяет учесть удельный вес измерений в области х~0;

3)соединяет достоинства среднеквадратических по­ казателей и относительных погрешностей.

Покажем далее, следуя методике, изложенной в [Л. 1-13], что средний риск г является некоторой общей функцией от перечисленных выше функционалов. На­ пример, в конкретной точке шкалы

где л[г/(.ѵ)] соответствует риску при конкретном частном

погрешности в данной точке шкалы). Аналогичным об­ разом при

ности превышения по абсолютной величине границ поля допусков (доверительной вероятности). Зона 2еі есть интерквантильный интервал, т. е. область, в которой ле­ жит заданная доля генеральной совокупности.

В ряде случаев различные по величине ошибки при­ водят к различному ущербу. Например, функция риска может иметь вид:

А,у2(х) при у'(х) < а (х);

(1-49)

А2у2(х) при у ( х ) ^ а(х).

В частности, а может равняться нулю.

Вместо понятия «риск» в ряде работ используется равнозначное ему понятие «функция штрафов».

Все изложенные выше соображения касались оценки приближения к истинному значению измеряемой вели­ чины, причем последняя предполагалась заданной с не­ ограниченной точностью. Другими словами, не учитыва­ лось квантование по уровню измеряемой величины. Меж­ ду тем квантование либо автоматическое (в цифровых

52

Этот подход .связан с ошибкой r принятии решения о том, в каком из интервалов ди­ скретности лежит измеряе­ мая величина.

Другой подход соответст­ вует утверждению, что даже в случае вынесения правиль­ ного суждения о том, в ка­ ком интервале дискретности лежит измеряемая величи­ на, мы имеем так иазываевую погрешность дискрет­

ности, связанную с тем, что всему интервалу присваива­

что значение погрешности квантования ук обусловлено не только X, но и у. Поэтому неверны попытки считать

довать взаимную корреляцию ук и У и только после это­ го решать вопрос о моментах их композиции. Иногда имеется возможность сложения дисперсий. Подробнее этот вопрос решен в § 3-2 настоящей книги и в [Л. 1-15].

Все приведенные выше характеристики относились к отдельному прибору. Для оценки технологической се­ рии приборов необходимо усреднить полученные погреш­ ности по ансамблю возможных значений в рамках этой серии. Даже математическое ожидание погрешности в каждой точке шкалы внутри технологической серии есть величина случайная.

В противном случае следует говорить о браке про­ изводства. Получение распределения погрешности внутри серии возможно как методом непосредственных испыта­ ний достаточно представительной партии, так и на осно­ вании расчетов исходя из особенностей принятой техно­ логии. В первом случае необходимый объем выборки оценивается на основании известных формул статистики

(см., например, [Л. 1-55]).

53

1-4. ОПИСАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ (ДИНАМИКА)

Перейдем далее к рассмотрению погрешностей с учетом времени. Реальный процесс измерений связан с внесением погрешностей некоторых видов, которые не могут быть учтены только по одномерному распределе­ нию вероятностей, т. е. в статике. Описание погрешно­ стей как случайного процесса открывает возможности их оценки. За этими погрешностями укоренилось название «динамические погрешности». В ходе последующего изло­ жения будут рассматриваться динамические погрешно­ сти, вызванные рядом причин. При этом учитывается, что статика есть частный случай динамики.

Прежде всего процесс измерения всегда связан с ди­ скретизацией исходного сигнала во времени. Сама опе­ рация дискретизации—операция замены непрерывного во времени сигнала конечной последовательностью его мгновенных значений на данном интервале времени, как будет показано далее, неизбежно связана с внесением погрешностей [Л. 1-48]. Если дискретизированный во вре­ мени процесс, т. е. последовательность, подвергается дальнейшему преобразованию, например восстанавлива­ ется снова до непрерывного или дискретного по уровню случайного процесса, то при этом не удается получить желательный идеальный процесс; разность между полу­ ченным и желаемым процессами и есть вносимая дискре­ тизацией и восстановлением погрешность. Кроме того, в процессе преобразования сигнала на аналоговых (не­ прерывных) звеньях также вносится погрешность, вы­ званная инерционностью последних. Если передаточная функция звена неизменна' во времени, то статистиче­ ские характеристики этой погрешности полностью опре­ деляются статистикой процесса на входе данного звена н видом передаточной функции. Наличие случайных изме­ нений передаточной функции приводит к дополнительным погрешностям.

В качестве основных критериев для оценки динами­ ческих погрешностей естественно взять среднеквадрати­ ческую .погрешность и математическое ожидание (сред­ нюю погрешность). Наряду с этим в литературе часто применяют отношение дисперсий a2x/azy (отношение мощности сигнала и помехи). Известен ряд попыток ввести взвешенные показатели с различными весовыми функциями |[Л. 1-16—1-20, 1-22, 1-23].

54

Представляется целесообразным в ряде случаев кри­ терий Гловера [Л. 1-15], записанный в виде

т

Величиной (Д,акс обычно можно пренебречь, в то вре­ мя как при измерении малых величин с большими по­ грешностями или шумами величина г/2Макс достаточно су­ щественна. В силу квадратического характера критерия по нему возможна оценка измерений знакопеременных величин, а в силу его относительного характера погреш­ ности взвешиваются по значениям сигнала, т. е. учитыва­ ется, что одна и та же величина абсолютной погрешно­ сти может быть опасна или не опасна в зависимости от текущего значения измеряемой величины. Критерий Гло­ вера применим к отдельным звеньям и всей системе в целом.

При выборе частоты отсчетов представляет интерес введение специальной функции штрафов. Пусть дискре­ тизации подвергается стационарный случайный процесс X(t). Требуется выбрать частоту опроса с учетом после­ дующей интерполяции по дискретным во времени заме­ рам. Естественно, что повышение частоты измерений сни­ жает погрешность интерполяции, но одновременно удо­ рожает операцию измерения, так как требуется более быстродействующая аппаратура. В качестве функции штрафов можно принять следующую зависимость:

где ki и кг— масштабные коэффициенты, зависящие от единицы измерения штрафа; хК(ув) — выбранный крите­ рий оценки погрешности, например максимальное зна­ чение дисперсии погрешности интерполяции ув при

мум берется по множеству возможных значений, соот­ ветствующих различным моментам времени внутри ин­ тервала интерполяции; Т — интервал времени между из­ мерениями (это время предполагается постоянным).

Первое слагаемое в формуле (1-51) отражает потери от погрешности интерполяции, второе — затраты на уве­ личение быстродействия аппаратуры.

55

деляется дисперсией измеряемого процесса, его автокорреляционной функцией, величиной Т и выбранным видом интерполяции. При постоянстве всех прочих параметров £ІчВ(г/в)] = £(7') • Таким образом, функция штрафов зави­ сит от интервала времени между измерениями Т. В силу самого характера выбранного критерия естественно на­ ложить на функцию штрафов следующие ограничения:

1) функция штрафов всегда положительна, т. е. ср!>0 при любых значениях 7;

2) ЦТ) и ЦТ) принципиально могут существовать только в области положительных значений Т. Как пра­

0 < Т н < Т < Т в, а Ц Т )—невозрастающая функция своего аргумента;

4) при Тк—ѵоо и Т—уоо функция ср должна иметь лостояный предел. Действительно, максимальное значе­ ние среднеквадратической погрешности оМакс при Т— >-оо стремится к некоторому постоянному пределу, опреде­ ляемому только дисперсией измеряемого процесса. С дру­ гой стороны, при Т—>-оо ЦТ) также стремится к посто­ янному пределу, так как начиная с некоторых значений Т увеличение интервала времени между отсчетами не приводит более к уменьшению потерь;

5) при Тп= 0 и Т—у-0 ср-э-оо, так как бесконечно ча­ стые измерения штрафуются бесконечно большой функ­ цией.

Приведенные условия не определяют однозначно функцию штрафов, но хорошо согласуются со здравым смыслом и существенно сужают класс возможных за­ висимостей. Кроме того, эти условия приводят к наличию минимума у ср. Действительно, так как

то всегда найдется такое Т = Т 0, при котором ф'(Т0) —0. Нетрудно показать, что этот экстремум — минимум.

56

1-5. ИНФОРМАЦИОННЫЕ КРИТЕРИИ

При выполнении измерений наблюдатель стремится получить информацию, дополнительное знание о процес­ сах, которые он изучает. До осуществления измерений он располагает некоторым представлением об измеряе­ мой физической величине, которую можно описать рас­ пределением .вероятностей. Характер этого распределе­ ния определялся несколькими факторами, из числа ко­ торых в первую очередь выделим характер изучаемого па­ раметра вообще. Математически это представляется как знание бесконечного прошлого, что при соблюдении эргоднческой гипотезы эквивалентно знанию многомерного распределения процесса, а следовательно, и всех его мо­ ментов. У наблюдателя имеются также знания ближай­ шего к моменту измерения конечного прошлого. Сопо­ ставление ближайшего конечного прошлого с известным спектром процесса в ряде случаев позволяет предсказать априорное распределение вероятностей измеряемой ве­ личины. Наконец, наблюдатель мог знать о значениях других измеряемых величин, коррелированных с изучае­ мой.

После осуществления измерений наблюдатель имеет другое распределение вероятностей, определяемое уров­ нем организации эксперимента и степенью несовершен­ ства измерений, включая внутренние шумы аппаратуры и внешние влияющие факторы; выбранной дискретностью по шкале и во времени. Кроме того, имеются принципи­ ально неустранимые факторы дезинформации, связанные с микроскопической структурой измеряемой величины и необходимостью энергетического взаимодействия между датчиком it изучаемым объектом. Последнее ограниче­ ние может быть охарактеризовано искажениями изме­ ряемой величины под воздействием датчика, что приво­ дит в ряде случаев к физическому барьеру наблюдаемо­ сти (см. гл. 7).

В качестве характеристики результата измерений естественно взять некоторую функцию от указанного пе­ рераспределения вероятностей. Следуя классической ме­ тодике, принятой в теории информации, охарактеризуем распределение вероятностей до эксперимента безуслов­ ной или априорной энтропией (неопределенностью), а’после эксперимента—условной или апостериорной энтропи­ ей. Разность их, т. е. мера уменьшения неопределенности,

57

и есть количество информации (абстрактное), получен­ ное при измерении. Тем самым мы введем в рассмотре­ ние информационные показатели1.

О целесообразности применения информационных ха­ рактеристик говорит прежде всего тот факт, что они по­ зволяют оценить во многих случаях предельные, т. е. потенциальные возможности исследуемых методов изме­ рения. Например, в {Л. 1-43] доказано следующее общее утверждение. Если задана повторная выборка (дц, х2, ...

.. ., хп) с распределением, зависящим от параметра Ѳ (из евклидового «.-мерного пространства), и %— вектор­ ная достаточная статистика для Ѳ, имеющего распреде­

ветствующей паре случайных величии по Шеннону.

В связи с возрастающей сложностью систем инфор­ мационные оценки приобретают все большее значение, так как они позволяют описать весь тракт получения, передачи и переработки информации единым математи­ ческим аппаратом. В качестве информационных крите­ риев применяются количество информации на одно из­ мерение и скорость передачи информации. Первый из этих критериев при независимости следующих друг за другом измерений дает статическую оценку, второй — естествен­ ную оценку динамических характеристик прибора, при наличии которой, по-видимому, теряют актуальность искусственные построения зависимостей быстродействия от точности.

Остановимся в первую очередь на некоррелированных измерениях, т. е. па таких, при которых интервал дискре­ тизации процесса во времени Т (время между двумя во времени ближайшими измерениями) 'больше, чем время действия автокорреляционных связей. Для этого доста­ точно, чтобы рх (Т) =«0, где Px-(t) — нормированная авто­ корреляционная функция центрированной составляющей измеряемого случайного процесса. Для таких измерений информационная оценка будет получена, в частности, в § 2-6 и 3-3. Исходная формула для вычисления количе­ ства информации [Л. 1-24]

1 Как будет показано ниже на ряде примеров и в соответствии с [Л. 1-44], информационные оценки не могут быть получены одно­ значно из какого-либо функционала от распределения погрешности.

58

Где Н(X) и Я (Z) — безусловные энтропии (неопределен­ ности до эксперимента) соответственно величин на входе и на выходе прибора; Я (X \ Z) и Н (Z \Х) — условные эн­ тропии (неопределенности после измерения) соответст­ венно входной величины при задании выходной и нао­ борот.

Расчетные формулы для вычисления этих энтропий будут даны в § 3-3.

В случае применения информационных оценок для анализа промежуточного аналогового t-го звена форму­

Я (Z,+1) — безусловная энтропия на выходе (і+ 1 )-го зве­ на; Н(Х) — то же, что и в формуле (1-52); H(Zi+i\X) — среднее значение условной энтропии процесса на выходе (7+1)-го звена при задании истинного значения; Н(Х I Zf+i) — среднее значение условной энтропии истин­ ного значения измеряемой величины при задании величи­ ны на выходе і-го звена.

Авторы предполагают, что основные понятия теории информации известны читателю из обширной литерату­ ры, например [Л. 1-24—1-26 и др.]. Поэтому ограничимся лишь напоминанием некоторых, часто применяемых в дальнейшем изложении формул.

Безусловная энтропия распределения вероятности ди­

где рі—вероятность /-го из возможных п значений вели­ чины X.

Для непрерывного распределения вероятностей отно­ сительная мера безусловной энтропии имеет вид:

— СО

59