книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

«флюктуируют» корреляционные функции (спектры) от­ дельных реализаций. Если реализации достаточно длин­ ные и справедлива эргодическая гипотеза, то «флюктуа­ ции» относительно малы и в результате обработки одной реализации получается среднее значение корреляцион­ ной функции или спектра. Для «коротких» реализаций более уместно говорить о текущем спектре и текущей функции корреляции, а для нестационарных процессов — о среднем, текущем и мгновенном спектрах [Л. 1-4]. Так для нестационарного процесса справедлив следующий аналог теоремы Винера — Хинчина:

00

автокорреляционной функции и средний спектр на одном и том же интервале времени.

Представляет также интерес связь между так назы­

1-52]. Нестационарный случайный процесс Х(і) может

где G(о)) — некоторая функция частоты.

Определим обобщенную спектральную плотность про­ цесса как

41

Обобщенная спектральная плотность, так же как и автокорреляционная функция нестационарного процесса, зависит от двух переменных. Ома однозначно связана с текущим спектром процесса.

Следует отметить, что не все стационарные случайные процессы эргодичны. Например, по [Л. 1-30, 1-45] гаус­ совский процесс эргодичен в том и только в том случае,

если интеграл вида I Сд-(/)<//, называемый спектральной

о

функцией, непрерывен при любых значениях верхнего предела. Примятая выше характеристика «энергетичес­ кий спектр» представляет собой дифференциал от спек­ тральной функции, т. е. спектральную плотность. Оба показателя распространяются на случай задания аргу­ мента в виде обобщенной частоты.

Для конкретных вычислений спектров и автокорреля­ ционных функций по записанным на магнитной ленте или диаграммной бумаге реализациям в настоящее вре­ мя существует значительное число специализированных вычислительных устройств. Описание некоторых из них приведено в работах [Л. 1-5—-1-10].

Многим случайным процессам свойственна сингуляр­ ность, условие которой для стационарных процессов за­ писывается в виде

00

• (1-25)

— 00

Сингулярные процессы дифференцируемы бесконеч­ ное число раз, т. е. являются гладкими. Их реализация разложима в ряд Тейлора относительно любой точки. Теоретически по одному временному отсчету можно продолжить их на неограниченное будущее. В этом смысле они детерминированы. Однако практически, на основе изучения конечного отрезка такого процесса не­ возможно получить точное выражение для функции, опи­ сывающей этот процесс, а тем более для бесконечного числа ее производных. Этому препятствуют погрешности измерительного прибора, с помощью которого велось наблюдение, инерционность этого устройства и наличие

42

дискретизации во времени. Последнее, как будет показа­ но ниже, в известном смысле слова эквивалентно сгла­ живанию процесса. Поэтому практически можно считать сингулярный процесс случайным. Его энтропия отлична от нуля. Однако из белого шума физически реализуемым фильтром сингулярный случайный процесс получить нельзя.

Остановимся далее вкратце иа методике построения статистической модели случайного процесса, описываю­ щего изменение истинного значения измеряемой величи­ ны. В зависимости от условий задачи и объема априор­ ных сведений существует множество процедур расчета статистических характеристик. На практике применение той пли иной процедуры часто диктуется не математи­ ческой строгостью обоснования расчетов, а техническими возможностями. Вообще статистика как наука более тесно, чем теория вероятности, связанная с конкретными явлениями окружающего мира, часто оказывается вы­ нужденной идти на целый ряд условностей. По вопросу о построении математической'модели случайного процес­ са имеются специальные исследования (см., например, [Л. 1-49, 1-50, 1-53]). Если соблюдаются условия стацио­ нарности и эргодичности процесса, то процедура получе­ ния статистических характеристик процесса является простой. Однако в большинстве случаев нет оснований априори принимать эти гипотезы. Необходимо иметь на­ бор реализаций. В измерительной технике почти всегда число известных реализаций крайне ограничено, а порой и в различных временных сечениях число доступных изу­ чению реализаций неодинаково. Для ряда физичес­ ких величин вообще реально существует лишь одна бес­ конечная реализация, которая при определенных усло­ виях может' быть искусственно разбита на ряд реализаций.

Для построения модели случайного процесса, описы­ вающего измеряемую физическую величину, пригодна следующая последовательность расчетов.

1. Исходный статистический материал сводится в таб­ лицы, где каждая строка соответствует одной реализа­ ции измеряемого процесса, а каждый столбец — значе­ ниям, имевшим место во всех реализациях в данном временном сечении (вопрос о выборе моментов времени при подробном рассмотрении дискретизации процесса пока оставим в стороне).

43

2.Вычисляется эмпирическая плотность вероятности

вформе гистограммы или полигона в тех временных сечениях, где объем выборки позволяет это сделать.

3.Строится временной ход выборочных оценок пер­ вых двух моментов распределения на всем протяжении реализаций. По возможности оценивается степень при­

ближения выборочных оценок к истинным в ряде вре­ менных сечений.

4. Для одномерных законов распределения, близких к нормальному, рассчитываются значения временного хода третьего и четвертого моментов и по ним с по­ мощью рядов Лагерра или Эджворта строятся эмпири- Ѵ^ческие законы распределения в аналитической форме. Для двумодальных и других законов, резко отличных от нормального, подбирается аналитическая зависимость,

Iсоответствующая результатам расчета по п. 2, и по одно­ му из критериев согласия проверяется соответствие ги­ стограммы теоретическому закону.

5. На основании проверки параметрических и непара­ метрических гипотез проверяется правильность выбора и группирования исходного статистического материала. Характер таких проверок весьма различен в зависимости от конкретных условий. Например, может требоваться проверка повторности расчетной выборки в каждом вре­ менном сечении. Если имеет место разбиение па реали­ зации искусственным образом, то законность такой про­ цедуры также надлежит проверить (например, с по­ мощью критерия Аббе [Л. 1-46]). Если исходный материал был выбран в нескольких опытах, то возмож­ ность группирования этих данных проверяется с по­ мощью соответствующих критериев (знаков, Вилкоксона или Н. В. Смирнова [Л. 1-56]).

6. Производится проверка соблюдения гипотез об эргодичности и статистической стационарности иссле­ дуемого процесса.

7. Вычисляются выборочные оценки функции авто­ корреляции, структурной функции или текущего спектра.

Если есть основания принять эргодическую гипотезу, то оценки моментов могут быть получены усреднением по времени. Так, выборочная оценка математического ожидания случайного процесса по дискретным отсчетам

44

причем это — несмещенная оценка, имеющая дисперсию

Более подробное рассмотрение вопроса о построении вероятностной модели измеряемого процесса на основа­ нии экспериментальных данных в виде, отвечающем тре­ бованиям информационной теории измерений, представ­ ляет собой предмет самостоятельного исследования, вы­ ходящего за рамки настоящей работы.

45

1-3. ОПИСАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ (СТАТИКА)

Вычисление погрешностей измерительных приборов и погрешностей результата измерения имеет свою, срав­ нительно большую историю. На основе определения по­ грешностей производится основное нормирование свойств всех средств измерения.

В качестве основной характеристики измерительного прибора сейчас используется понятие класса точности, определяемого величиной основной погрешности и уста­ новленного тем пли иным условным способом для раз­ личных видов приборов. Но хорошо известно (Л. 1-11], что класс прибора еще не определяет однозначно по­ грешность результата, реально имеющую место при из­ мерении с помощью данного прибора. В существующих стандартах частично учитываются условия эксплуатации прибора путем нормирования его дополнительных по­ грешностей от изменения температуры окружающей сре­ ды, влияния внешнего электромагнитного поля, влияния режима цепи (форма кривой, сдвиг фаз) и т. д. Кроме того, применяется целый ряд показателен, формально связанных с конструкцией прибора, например длина ра­ бочей части шкалы, время успокоения, чувствительность и др. Поскольку в силу указанных ранее причин сущест­ вующая система оценок оказалась несовершенной на современном этапе развития техники, появились много­ численные работы по поиску новых оценок либо на осно­ ве оригинальных идей, либо путем переработки извест­ ных идей теории связи применительно к задачам изме­ рительной техники. Принципиальным отличительным моментом всех этих работ является описание погрешно­ сти как случайной функции времени, т. е. случайного процесса. Такой подход хорошо согласуется с принятым нами выше описанием истинного значения измеряемой величины также на основе теории случайных процессов. Забегая несколько вперед, скажем, что и внешние фак­ торы, действующие на измерительное устройство (тем­ пература, влажность, напряжение питания и т. д.), долж­ ны описываться как случайные процессы. Тем самым обусловливается возможность введения действительно общих усредняющих критериев, частными случаями ко­ торых являются предельные статические оценки, приня­ тые в настоящее время (например, наибольшая приве­ денная погрешность). Логически обосновать целесооб­ разность применения этих методов несколько затрудни-

46

тельно. В этом отношении положение напоминает перво­ начальное состояние теории случайных погрешностей,

вкоторой, по меткому выражению Липпмаиа, «все верят

взакон погрешностей, ибо экспериментаторы думают,

что этот закон — математическая теорема, а математики считают, что он установлен экспериментальным путем» (цитируется по книге М. Ф. Маликова {Л. 1-11]). В этой связи М. Ф. Маликов сделал вывод о невозможности обоснования теории погрешностей «одними логическими предпосылками» (там же). Соображения остаются в си­ ле и при переходе от теории вероятностей к теории слу­ чайных процессов.

Ниже приведено систематическое описание различных характеристик погрешности, многие из которых получили в последние годы применение в теоретических исследо­ ваниях, но еще недостаточно используются на практике к пока не закреплены законодательно. Все они пред­ ставляют собой различные функционалы от многомер­ ной плотности вероятностей случайного процесса, описы­ вающего реальную погрешность при измерении.

В настоящее время наиболее широко употребляют следующие характеристики погрешности: максимальную, среднюю и среднеквадратическую погрешность. Эти функционалы плотности вероятности на первом этапе определяются для одномерных распределений, т. е. в ста­ тике. В этом случае представляет интерес прежде всего зависимость между погрешностью и измеряемой величи­ ной. Если ау.г.(х )— распределение вероятностен измеряе­ мой величины X, а гих (у) —распределение погрешностей Y при заданном значении X, то нас интересует функ­

ционал £[ш*(*),дав(0|*)].

т. е. распределение вероятностей погрешности с учетом измеряемой величины.

Распределения wx {x) и wu(y\x) должны быть огра­ ничены пределами шкалы. Поэтому должны выполнять­

где предел интегрирования L соответствует полной шка­ ле прибора.

47

Ограничение функций zvx (x) и wv(tj|,ѵ) пределами шкалы (О, L) по сравнению с бесконечными пределами несущественно меняет вид этих функций, если средне­ квадратические значения X и погрешности много меньше L, а X лежит далеко от края шкалы. В этом и только в этом случае поправками закона распределения на его усеченность можно пренебречь. Если процесс X (7) под­ чиняется нормальному закону, то усеченная плотность вероятностей имеет вид:

где Фі — функция, описанная в приложении 1. Если X — L/2 и Ол-CL, то С і^ І.

Аналогично при нормальном законе распределения погрешности

48

но принять за математическое ожидание погрешности. Если прибор в некоторой точке шкалы х имеет только систематическую погрешность у, то это означает, что распределение вероятностей выродилось в дельта-функ­ цию Дирака

Щ{у\х)=&{у— у).

Дельта-функция Дирака определяется условиями

8(9) , оо нр,, , = 0;

I 0 при у ф 0.

Пользуясь заимствованной из теории связи термино­ логией, будем различать погрешности а д д и т и в н ы е , т. е. такие, вероятностные распределения которых не за­ висят от значения измеряемой величины:

где уо — значение погрешности при х = 0, а k — постоян­ ная. Естественно, что в измерительных устройствах воз­ можен и другой характер зависимости погрешности от

Рис. 1-4. Зависимость математического ожидания погрешности от шкалы прибора.

измеряемой величины, но аддитивные и мультипликатив­ ные погрешности могут служить весьма полезной мо­ делью, охватывающей значительную часть реальных си­ туаций. В соответствии с этим формулами определяются различные моменты от распределения вероятности в каждой точке шкалы. Например, на рис. 1-4 показано