книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

где G (ш) — энергетический спектр случайного про-

цесса УВых(0- Этот спектр может быть выражен через характеристики сигнала па входе и реальную и идеаль­ ную передаточные функции. Из определения корреля­ ционной функции можно вывести, что

Применяя теорему Винера — Хинчнна для левой и правой части равенства (2-40), имеем:

где G „(си) — взаимный энергетический спектр процес-

* В М Т 1

сов ^вых(0 в Ѵ(/). В пашем случае ZBblx(/) и (/) — стационарно связанные процессы. Согласно [Л. 2-5] имеем:

Подставляя (2-41) и (2-42) в (2-39), имеем общее выражение для дисперсий погрешности на выходе звена.

Подобный подход к задачам анализа точности бло­ ков идейно подготовлен работами по оптимальной филь­ трации (проблема Колмогорова — Винера). Однако ос­ новная направленность данной книги — не синтез опти­ мального оператора для подавления внешних помех, а отыскание такой формы нормирования несовершенст­ ва средств измерений, которая была бы удобна для оценки погрешности результата измерений.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 2-1. Рассмотрим погрешность, вносимую реальным усили­ телем из-за наличия инерционности. Допустим, что на вход усилителя поступают истинное значение измеряемой величины X{t), описываемое

как стационарный случайный процесс с автокорреляционной функцией

80

и аддитивная погрешность, накопленная на предыдущих звеньях Уих(0. с автокорреляционной функцией

где б (т) — дельта-функция Дирака. Как известно, автокорреляцион­ ная функция вида дельта-функции соответствует белому шуму.

Идеальная передаточная функция 1^и(/со)=/г,,. Поскольку реаль­ ный усилитель имеет некоторую инерционность, в первом приближе­ нии можно принять, что данное звено является апериодическим зве­ ном с коэффициентом усиления /гР и постоянной времени Гр, т. е.

Из условия аддитивности процессов X (/) и УПІ (/) вытекает, что RxyBX(х) = RyBX (z) = 0. Произведя косинус-преобразование Фурье от заданных значений автокорреляционных функций Rx и RyBX, получаем

соответствующие энергетические спектры

при любых ненулевых значениях 7’р.

Из последней формулы видно, что дисперсия погрешности возрас­ тает с ростом величин о2 и С2. Эти величины, в свою очередь,

характеризуют соответственно мощность процессов Х (і) и Увх(0-

Дисперсия погрешности на выходе звена растет с ростом дисперсий истинного значения измеряемой величины X и погрешности на входе

У.х(<).

При 7’р=0, т. е. при отсутствии инерционности звена, второй интеграл в формуле (2-47) равен не значению я/Гр, а 2л. Поэтому, если k„ = kp= k и 7'р=0, т. е. в случае идеального усилителя, диспер-

clbi йогрешности на выводе

Существует некоторое оптимальное значение реального коэффи­ циента усиления, обеспечивающее минимум дисперсии погрешности на выходе звена при фиксированном Гр:

ционности усилителя, необходимо с учетом формулы (2-49) добивать­ ся коэффициента усиления, отличного от ft«. Существование опти­ мального значения ТРФ0 возможно лишь при условии ftP>2ftH, кото­

рое обычно не выполняется.

Пример 2-2. Рассмотрим работу реальной дифференцирующей ЛС-цепочкн с учетом сопротивления утечки конденсатора RyT. Для

этого случая имеем:

где TP=RC.

Пусть стационарный процесс на входе Х (і) имеет нормирован­

ную автокорреляционную функцию вида

Погрешность на входе дифференциатора для упрощения после­ дующих расчетов примем тождественно равной нулю. Тогда

Для остальных энергетических спектров, входящих в формулу (2-41), имеем следующие значения:

Gv (w) = Gx, (со) = с ( с о ) .

82

Дисперсия погрешности на иыходе с учетом записанных выше соотношений и формулы (2-39) будет иметь вид:

(2-56)

где Ф, (х) — интеграл вероятностей (см. приложение 1); Дѵ(г), ѵ = 0,

I — цилиндрическая функция мнимого аргумента. Согласно (Л. 2-6 и 2-7]

здесь

Я''» (2)=JV(Z)+/WV(Z)

—цилиндрическая функция третьего рода (функция Ганкеля),

где Jy (z) и Яѵ(z) — соответственно функция Бесселя и функция

Неймана (цилиндрические функции первого и второго рода), задан­ ные таблицами [Л. 2-6].

В реальных условиях во многих случаях сопротивлением утечки можно пренебречь. Например, для конденсаторов типа КСО, С= =30 000 пФ, U —500 В, при Ч-20°С сопротивление утечки составляет приблизительно 105 МОм. Даже для конденсаторов типа КБГ, С—

=0,2 мкФ, £/=400 В, при тех же условиях сопротивление утечки со­

ставляет приблизительно 50 000 МОм. Полагая в формуле (2-56) RIRyr~Q, получаем следующую более простую зависимость для дис­

персии погрешности

(2-58)

Из полученной формулы следует, что с увеличением дисперсии процесса дисперсия погрешности дифференциатора растет. Эта зави­ симость отражает мультипликативный характер погрешности диффе­ ренцирующего устройства, что можно было ожидать, исходя из ка­ чественной картины работы устройства [Л. 2-13].

Пример 2-3. Рассмотрим погрешности осциллографического галь­ ванометра. В этом случае согласно [Л. 2-8]

(2-59)

где kp — коэффициент передачи в статическом режиме (чувствитель­

ность); ß — степень успокоения, или относительное затухание, зави­ сящее от вязкости жидкости; ме —■угловая частота собственных ко­ лебаний.

Что касается идеальной передаточной функции, то естественно записать ее в виде WB(jw) = к я, где /г„ — .масштабирующий множи­

тель. Если на вход гальванометра поступает сигнал без погрешно­ сти, то

со

da. (2-60)

i r

—СО

Вчастности, при

84

имеем:

Таким образом, осциллографический гальванометр на резонанс­ ной частоте вносит погрешность как при ß>0, т. е. когда он является колебательным звеном, так и при ß<0, когда он является апериоди­ ческим звеном.

Итак, с помощью задания реальной передаточной функции звена можно определить дисперсию погрешно­ сти на выходе с учетом статистических характеристик измеряемого процесса и погрешностей на входе, а также погрешностей, вносимых самим звеном. Последние за­ даются в виде различия реальной и желательной пере­ даточных функций. Если желательный сигнал не должен запаздывать относительно x(t), то постоянная времени Тѵ в реальной передаточной функции говорит по сущест­ ву о внесении звеном погрешностей, обусловленных его инерционностью. Мультипликативные погрешности ха­ рактеризуются различием в коэффициентах усиления к„ и Ар. Если данное звено вносит аддитивные погрешно­ сти, то дисперсия их должна добавляться к вычисленно­

му выше значению о2 , т. е. аддитивные погрешности •JвыХ

удобно задавать приведенными к выходу блока.

В ряде задач требуется знание закона распределения вероятностей сигнала на выходе звеньев. Подобные ха­ рактеристики рассмотрены, например, в [Л. 2-9], а при­ менительно к типовым измерительным звеньям в статике приведены в табл. 2-1.

Отметим одно обстоятельство, используемое в ходе дальнейших выкладок и доказанное, в частности, в ![Л. 2-9]. Если отличный от нормального случайный про­ цесс с интервалом корреляции то воздействует на инер­ ционный линейный 'блок, то процесс на выходе блока приближается к нормальному, причем приближение это тем лучше, чем сильнее выполняется неравенство тоС <СГР, где Гр—постоянная времени блока. Любое линей­ ное преобразование сохраняет нормальный характер про­ цесса.

85

87

88

Во всем приведенном выше в данном -параграфе рас­ смотрении предполагалось, что параметры реальной пе­ редаточной функций ие меняются во времени. Между тем изменение передаточной функции во времени прин­ ципиально возможно как под влиянием внешних факто­ ров, о чем будет сказано в последующих главах, так и в связи с явлениями, изучаемыми теорией надежности. Кроме того, при производстве унифицированных блоков из-за несовершенства технологии имеется разброс пара­ метров по множеству выпускаемых устройств, определяю­ щий случайный характер коэффициентов в реальной пе­

средняя по множеству блоков данного типа передаточ­ ная функция определяется как

Эти характеристики описывают все средства измере­ ния данного типа в совокупности. Отсюда можно полу­ чить математическое ожидание дисперсии погрешности по'множеству блоков. В частности, для случая, рассмо­ тренного в примере 2-1, при независимости kv и Тр

—0 0

92