книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

леиия по ним довольно громоздки. Простейшие виды интерполяции показаны на рис. 4-3.

Наибольшее распространение в измерительной тех­ нике получила дискретизация с постоянным шагом Т, на­ зываемая часто циклической. В данной главе мы не за­ трагиваем методы восстановления функции при адаптив­ ной временной дискретизации (см. [Л. 4-47]).

Рис. 4-3. Виды интерполяции.

Перейдем к оценкам дисперсии и математического ожидания погрешностей при восстановлении случайного процесса по дискретным во времени отсчетам. Этому во­ просу посвящен целый ряд работ, например [Л. 4-18— 4-24, 4-26, 4-28, 4-29].

Отличительная особенность развиваемого ниже под­ хода состоит в обобщении задачи путем введения в рас­ смотрение нестационарного процесса X(t). н учета по­ грешностей измерения в узловых точках. Последнее обстоятельство позволяет увязать результаты гл. 3 и данного параграфа при расчете результирующей погреш­ ности системы. Пусть измерению подвергается нестацио­ нарный случайный процесс А'(П+У(£), представляющий собой сумму изменения истинного значения измеряемой величины и погрешности во времени. Измерения ведутся через интервал времени Т. Предполагается, что интер­ вал корреляции процесса X(t) больше Т. Погрешность

153

измерения в моменты отсчета У(ф) является случайной величиной, которую можно себе представить как времен­ ные сечения некоторого случайного процесса Y(t). В от­ ношении процесса Y(t). полагаем, что он стационарен н его интервал корреляции меньше Т, т. е. полагаем нали­ чие только аддитивных случайных погрешностей. Кроме того, считается, что взаимная корреляционная функция Х{і) и У(і) тождественно равна нулю на всем интервале существования RXJI — 0.

Текущее значение погрешности интерполяции степен­ ным полиномом п-и степени

Принимая математическое ожидание погрешности из­ мерения в узловых точках Т равным нулю, имеем мате­ матическое ожидание погрешности интерполяции в виде

154

Нетрудно видеть, что погрешность интерполяции представляет собой нестационарный случайный процесс вне зависимости от стационарности Х(і).

В частном случае при условии стационарности X(t) и Gvz=0 формула (4-44) принимает вид:

Для нестационарного процесса X(t) минимальное значение дисперсии погрешности достигается при т = 0 и равно Оу2. Максимальное значение может лежать в раз­

менном характере обеих этих функций максимум дости­ гается при х — Т. При линейной интерполяции восстанав­ ливающая функция имеет вид:

выражение для математического ожидания погрешности интерполяции

F В2(ti — т) = 'X(ti -f- х) — й. (ti) —ц[й(А -\~Т) —X (f*•)]. (4-47)

Дисперсию погрешности получаем в виде

айв2 х) = а* ^ г' "Ь х) + а2°х іи + Г) + \зх (ti) +

+~1ОД] (1 — а)2— 2ц (2 — а) Rxy (ti. U) -f- a?2 (ti + T) [а -j- -(-2(1 — ц) Ру (ti, ti -(- Т)\ -|- 2ц (1—a)Rx(ti, ti -f- Т) —

—(1 — 2ц) Rx(ti -f- т, ti) — 2ciRx(ti -f- X, ti -(- T) -(-

155

Минимальное значение дисперсии йбгреиіности, рав­ ное оѵ2 в этом случае, как и следовало ожидать, дости­ гается при т = 0 и х = Т. В частности для стационарного процесса Х(і) и нулевой дисперсии Y(t) имеем:

[(1 — ci)~ -f" а ~ 1 ""Ь (1 — Рэе ( Т ) - ■

— 2 (1 — а) р*(т) — 2арх (Т — т)|,

что соответствует результатам [Л. 4-19].

При стационарности процесса X(t) максимум диспер­ сии погрешности интерполяции при монотонном харак­ тере изменения автокорреляционной функции на участке Т соответствует т=0,57\ Для нестационарных процессов А’(£) лишь в отдельных частных случаях, весьма редких на практике, имеет этот максимум в середине интервала. Найти момент времени, соответствующий максимуму по­ грешности, целесообразно при задании конкретных видов зависимости рх и ах2 от времени.

Перейдем далее к оценке погрешности при восста­ новлении исходного процесса по условному математи­ ческому ожиданию. Рассмотрим последовательно две за­ дачи: при учете одного отсчета и при учете двух отсче­ тов. Для нормального процесса условное математическое

V o U u + 'l

При условии стационарности процесса X(t) и поло­ жив f f = 0, ву= 0 и Y — 0, получаем интерполирующую формулу в виде

zz(U+x) = а: ( А ) р * ( т ) ,

что соответствует результатам [Л. 4-31].

В случае стационарного процесса Х(і) подобный спо­ соб восстановления обеспечивает минимальное значение дисперсии погрешности интерполяции. Таким образом,

156

в последнем случае восстановление по условному мате­ матическому ожиданию является оптимальным, причем математическое ожидание погрешности интерполяции равно нулю и дисперсия погрешности

а2 = а2 [ 1 — р2'(*с)].

157

158

Для упрощения полученных зависимостей можно воспользоваться разложением автокорреляционной функции в ряд Тейлора. При син­ гулярности процесса А'(/)

Рассмотрим далее восстановление по условному математическо­ му ожиданию с учетом двух отсчетов. Для упрощения записи введем обозначения

(4-60)

Условное математическое ожидание для нормального процесса

159

Сравним далее ступенчатую интерполяцию с соответ­ ствующим случаем интерполяции по условному матема­ тическому ожиданию для стационарных процессов при у = 0. Разность дисперсий погрешностей равна:

т. е. заведомо положительна при всех значениях т. При т = 0 а2 = а 2 . .Выигрыш в среднеквадратическом зна-

чении погрешности тем больше, чем больше т. Это объяс­ няется тем, что кроме информации, содержащейся в от­ счетах, во втором случае учитывается информация о про­ цессе в целом путем использования статистических ха­ рактеристик.

При сравнении линейной интерполяции с интерполя­ цией по условному математическому ожиданию с уче­ том двух отсчетов видно, что последняя обеспечивает уменьшение среднеквадратической погрешности интер­ поляции.

4-4. ВЫБОР ЧАСТОТЫ ИЗМЕРЕНИЙ

В случае, если известна допустимая погрешность измерений, полученные в данном параграфе формулы дают возможность выбрать необходимую частоту измере­ ний. Такую операцию можно осуществить при задании конкретного вида автокорреляционной функции. По су­ ществу, любое выражение для среднеквадратического значения погрешности интерполяции представляет собой уравнение относительно интервала времени между изме­ рениями Т. Явные выражения для частоты измерений К=Т~1 при стационарности X(t) и заданном допустимом значении дисперсии погрешности 02доп указаны

втабл. 4-1.

Вряде случаев удобно выражать дисперсию погреш­ ности интерполяции через производные от автокорреля­ ционной функции в точке т = 0.

Например, воспользовавшись формулой (4-57), для ступенчатой интерполяции имеем:

4КДОП-- 0 > Р

160

автокорреляционной функции, соответствующий малым значениям аргумента. Это вытекает из самой сущности измерений и связано со стремлением получить сравни­ тельно малые погрешности. На таких участках даже не­ большая ошибка в определении автокорреляционной функции приводит к большой неточности в определении периода дискретизации. Между тем единственная воз­ можность выявления автокорреляционной функции реального случайного процесса связана со статистичес­ кой обработкой результатов предыдущих измерений, что заведомо приводит к весьма грубой оценке р*(т) как из-за малого объема выборки, так и из-за вычислений с приближенными числами. В следующем параграфе рассматривается влияние статистического характера оце­ нок параметров процесса на погрешности интерполяции.

Если дискретизации подвергается нестационарный случайный процесс, то при любом выборе частоты цикли­ ческой дискретизации максимальная дисперсия погреш­ ности интерполяции будет разной на различных интерва­ лах. Можно выбрать такие неравноотстоящие друг от друга моменты времени отсчетов, чтобы выровнять За­ данную характеристику погрешности. Например, в [Л. 4-32] подобная процедура была выполнена приме­ нительно к алгоритмам дискретизации при измерении температуры приземного слоя воздуха, а в ]Л. 4-23] — для измерения давления в магистральном газопроводе.

В ряде случаев требуется не восстановление исходно­ го процесса x{t), а получение некоторых функций от x(t). Например, в [Л. 4-49] рассматривается восстанов­ ление производных x(t) по дискретным отсчетам самого процесса, а в [Л. 4-50] — получение оценок статистичес­ ких характеристик процесса X(t) по дискретным отсче­ там.

Ранее указывалось, что выбор частоты дискретизации должен производиться с учетом того искажения сигнала, которое вносится предшествующими дискретизатору бло­ ками преобразования. Это обстоятельство учитывалось через величину y(U). Возможен непосредственный учет предыдущих блоков. Для примера рассмотрим дискрети­ зацию стационарного процесса на выходе инерционного датчика с последующим восстановлением процесса с по­ мощью линейной интерполяции. Введем следующие обо­ значения: x ( t ) — процесс, характеризующий изменение измеряемой величины во времени (входной сигнад дат-

162