книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

31

В частном случае, при независимости Ui и U, (І Ф j) сумма (1-5) представляет собой каноническое разложе­ ние (Л. 1-1].

в данном случае вся пестациопармость сводится к изме­ нению математического ожидания во времени.

4. X( t)= X ; а,(/)=я|)(П,

где я|)(і)— неслучайная функция времени, и р.ѵ(^і, t2) — = P x { t z —fi), т. e. вся нестациоиарность связана с измене­ нием дисперсии во времени.

Другой формой записи той же модели является:

X (t) = X* (t)11• (t - t 0 + 0,57) - 1 • ( * - / „ - 0,57)].

Другими словами, процесс является стационарным па ограниченном участке времени и тождественно равным нулю вне этого интервала.

6.Периодические случайные процессы—это процессы,

укоторых основные статистические характеристики по­ вторяются через интервал времени Т. Для периодическо- . го в узком смысле слова нестационарного случайного процесса п-мериая плотность вероятности wn при любом

побладает свойством

Для периодического в широком смысле слова процес­

са

32

Другим важным аспектом описания случайных про­ цессов являются их эргодические свойства. Здесь так же, как и при описании стационарности, можно говорить об эргодичности в узком смысле слова, когда все статисти­ ческие характеристики, вычисленные по различным реа­ лизациям, совпадают, т. е. средние по времени равны средним по ансамблю возможных значений. Для эргодическпх в широком смысле слова случайных процессов это выполняется лишь для первых двух моментов. Схо­ димость оценок параметра по времени и ансамблю можно понимать либо по вероятности, либо по среднеквадрати­ ческой ошибке, либо с вероятностью единица [Л. 1-2]. Последнее наиболее употребительно, так как представля­ ет собою равномерную сходимость по вероятности. При проверке эргодичности по этому критерию средние по времени вычисляются по реализациям конечной длитель­ ности. Эргодичность может соблюдаться по одним харак­ теристикам и не соблюдаться по другим. Существует также понятие об эргодических свойствах нестационар­ ного процесса, на котором мы останавливаться не будем, отослав читателя, например, к [Л. 1-48].

В зависимости от вида многомерного закона распре­ деления будем различать процессы нормальные (гаус­ совские), релеевские, линейные и т. д. Каждый из них может быть охарактеризован своей «-мерной плотностью вероятностей, записанной в аналитической форме. Для

Как по аргументу х, так и по аргументу t многомер­ ная плотность вероятностей либо может быть непрерыв­ ной функцией, либо тождественно равняться нулю в не-

которых областях и иметь отличные от нуля значения лишь при фиксированных значениях х пли t. В послед­ нем случае имеет место дискретность соответственно по уровню или во времени. Дискретные во времени процес­ сы называют дискретными последовательностями.

Если появление отличного от нуля значения в слу­ чайной последовательности рассматривать как событие, то такую последовательность можно рассматривать как поток событий. В зависимости от закона распределения интервалов времени между появлениями ненулевых зна­ чений x(t) может иметь место регулярный поток, про­ стейший поток, поток Пальма и т. д. Они также могут быть стационарными и нестационарными.

Для стационарного пуассоновского или простейшего потока выполняются одновременно три условия:

1) стационарности — вероятность проявления некото­ рого числа событии в течение отрезка времени т зависит только от самой величины т и не зависит от расположе­ ния этого отрезка на временной осп;

с вероятностями появления нуля или одного события за то же время;

3) отсутствия последействия — появление некоторого числа событий за любой интервал времени Ті еще ничего не говорит о вероятности некоторого числа событий за любой другой интервал тг, если ті и Тг не перекрываются хоть отчасти.

Для стационарного пуассоновского потока вероят­

Для длин интервалов между событиями в пауссоновском потоке справедливо следующее выражение для плотности вероятности:

Эрланговский поток /г-го порядка получается из про­ стейшего при выбрасывании к следующих друг за дру­ гом во времени значений x(t) и оставлении (/г+ 1)-го. Для него

wh{T) =X(XT)h(k\)-' схр (—XT) при 7>0. (1-11)

34

Поток Пальма (поток с ограниченным последействи­ ем) представляет собой ординарный поток с независимы­ ми промежутками времени между ненулевыми значения­ ми x(t) (простейший поток или поток Эрланга в част­ ном случае).

Важным классом случайных последовательностей являются марковские процессы. Случайная последова­ тельность называется марковской, если справедливо ра­ венство

образует марковскую последовательность вне зависимо­ сти от значений {^}, г= 1 ,2 ,..., п.

Наиболее полным описанием случайного процесса является многомерная плотность вероятности. Однако это описание для большинства технических приложений излишне подробно и громоздко. В связи с этим прибега­ ют к сокращенному, неполному описанию. Так в ряде случаев пользуются тем или иным конечным числом мо­ ментов одномерного распределения вероятности. Для нестационарных процессов эти моменты являются функ­ циями времени, для стационарных — от времени не за­ висят. При некоторых законах распределения конечное число моментов полностью характеризует одномерную плотность вероятности. Например, в случае нормального закона первые два момента (математическое ожидание и дисперсия) однозначно определяют плотность вероят­ ности. Естественно, что одномерный закон распределе­ ния ничего не говорит о скорости изменения процесса. Имеются специальные характеристики изменчивости, простейшие из которых — автокорреляционная функция и спектр. Поскольку вопросу описания случайных про­ цессов посвящена обширная литература (см. например, [Л. 1-1—1-3] и многие другие), в настоящей книге мы не будем вдаваться в подробное рассмотрение. Ограни­ чимся лишь кратким перечислением применяемых в кни­ ге динамических характеристик:

Gx (со) — энергетический спектр (спектральная плот­ ность энергии) случайного процесса X (t). Это неотрица­ тельная вещественная функция частоты со. Величина

Gx (o))d(i)/2n представляет собой мощность спектральных составляющих процесса X(t), заключенных в диапазоне

Последняя характеристика особенно удобна для опи­ сания приращений случайного процесса. При стацио­ нарности процесса Х(і) формула (1-13) значительно упрощается, принимая вид:

Наряду с этими динамическими характеристиками употребляются такие, как интервал корреляции, положе­ ние и значение максимума энергетического спектра, ши­ рина спектра случайного процесса, граничные частоты. Последние две характеристики задаются при определен­ ном уровне отсечки спектра, т. е. при

Gx (шс) = kt sup [GaН ],

ш

где ki — заранее оговоренное значение (например, при­ нимают ki = 0,01). Подобные характеристики являются менее информативными, чем полное задание спектра или корреляционной функции, и могут быть получены непо­ средственно из Gx(isi) и Rx{т) [Л. 1-4].

36

Известно [Л. 1-2], что энергетический спектр и авто­ корреляционная функция связаны соотношениями Вине­ ра—Хинчина. Поскольку имеются различные модифика­ ции спектральных представлений, то форма записи этих соотношений также различна. Так, для двустороннего спектра, т. е. спектра, определенного как в области по­ ложительных, так и в области отрицательных значений [необходимое условие G*((o) = GX(—со)] имеем при ста­ ционарности процесса

Энергетические спектры и автокорреляционные функ­ ции некоторых наиболее часто встречающихся процессов приведены в табл. 1-2.

Каждая реализация случайного процесса X(t) может быть представлена в виде интеграла или ряда Фурье. Поэтому случайный процесс X(t) во времени однозначно соответствует случайной функции в частотной области — спектру, который следует понимать как ансамбль спек­ тров реализаций случайного процесса. Аналогично мож­ но говорить об автокорреляционной функции одной реа­ лизации случайного процесса (т. е. детерминированной функции) и автокорреляционной функции процесса в це­ лом, представляющей собой случайный процесс. То, что часто на практике рисуют как автокорреляционную функцию или энергетический спектр случайного процес­ са, есть «среднее» значение, относительно которого

37

Т а б л и ц а 1-2'

Связь автокорреляционных функций и спектров