книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

кика); Zi(t) — реальный сигнал на выходе датчика; yi(t) — погрешность на выходе датчика; zz(L) — сигнал на выходе интерполятора; у%(і) — погрешность на выхо­ де интерполятора.

— СО

Процесс Zi(t) подвергается дискретизации с интерва­ лом времени Т = const, а затем восстанавливается по формуле

Ü

— 2(1 — а) р*(/' - f t) — 2ар* (t' -f х —. Т) - f а (1 — а) [рх(/' -f

При Гр— >-0 формула (4-78) преобразуется к ранее по­ лученным зависимостям для дисперсии погрешности ли­ нейной интерполяции, что вытекает из равенства

00

lirn^ J Rx(t' z± t) exp dt' — Rx(i). (4-78) p о

Допустим далее, что ^х(т:) = з^ехр(—а | т | ). Тогда

164

Где 0<^а=т/Т <1; Ьі=иТѵ\ Ь^=аТ. Можно получиіъ также среднее значение дисперсии погрешности по фор­ муле

с одной стороны, по заданному значению интервала дис­ кретизации Т определить текущее, максимальное и сред­ нее значения дисперсии погрешности у%, с другой сторо­ ны, по заданным значениям максимальной или средней погрешности определить требуемый интервал Т. При этом нужно иметь в виду, что максимальная дисперсия погрешности в данном случае не соответствует т=0,5Т.

Продолжая рассмотрение коррелированных измере­ ний, остановимся на вопросе об оптимизации частоты из­ мерений. Как было показано в § 4-3, зависимость мак­ симальной дисперсии погрешности от интервала времени между измерениями Т при циклической дискретизации имеет характер монотонного возрастания. Как видно, по данному критерию оптимума не существует. Принци­ пиально ясно, что чем чаще производятся измерения, тем меньше погрешность. Однако существуют другие сообра­ жения, удерживающие разработчика от повышения ча­ стоты отсчетов. Среди'них отметим в первую очередь

165

экономические факторы. Как правило, повышение быс­ тродействия аппаратуры дается недаром: удорожается регистрирующая часть, снижается надежность как меха­ нических частей из-за ускорения износа, так и электрон­ ных из-за уменьшения помехоустойчивости, т. е. возра­ стают эксплуатационные расходы, удорожаются некото­ рые элементы (например, при переходе от обычных по­ лупроводниковых элементов к туннельным) и т. д. Ра­ зумеется, все эти факторы по-разному сказываются на различных диапазонах частот. Однако принципиально такая тенденция имеется.

С другой стороны, изменение погрешности измерений также связано со стоимостными показателями. Правда, эти связи далеко не всегда прослеживаются в конкрет­ ной форме, но принципиально они всегда существуют. Б ряде случаев существует возможность связать погреш­ ность с другими нестоимостными показателями качества, препятствующими повышению быстродействия.

Воспользуемся функцией штрафов, введенной в гл. 1, и применим формулу (1-51) для ряда конкретных при­ меров.

Пусть дискретизации подвергается непрерывный слу­ чайный процесс Х(1). По результатам дискретных во времени измерений, следующих друг за другом через время Т, с помощью ступенчатой интерполяции восста­ навливается непрерывный процесс. В отношении исход­ ного процесса Х(і) предполагается, что он центрирован­ ный и стационарный, а дисперсия его ах2 и нормирован­ ная автокорреляционная функция р.ѵ(т) известны. Пусть далее затраты на увеличение быстродействия на ограни­ ченном диапазоне возможных значений Т можно описать зависимостью £(Г) = k2/T+А3.

В роли критерия оценки качества интерполяции используем максимальную дисперсию.

Тогда в соответствии с (1-51) и формулой для макси­ мального значения дисперсии погрешности при ступен­ чатой интерполяции можно записать:

Ф(Г) =2kiOx4\—Рх(Т)]-\~kiOyz+ кг/Т-\-kz, (4-82)

где ki и k2— масштабные коэффициенты; /г3— константа, которая выражена в тех же единицах, что и функция штрафов; ау2— дисперсия погрешности измерения в узловых точках, т. е. «статическая» погрешность или погрешность в моменты снятия отсчетов. ■

166

Учитывая малость реально возможных значений Т по сравнению с интервалом корреляции процесса X(t), можно произвести разложение рх(Т) в степенной ряд и отбросить все члены, содержащие Г2 и более высокие степени Т. Например, при р^(т)=ехр(—аі|т |) можно формулу (4-82) переписать в виде

Следует отметить, что временное положение миниму­ ма >t(T) не зависит от статической погрешности у и кон­ станты k3.

При других видах корреляционной функции также имеется экстремальное значение. Например, при р.х(т) = = ехр(—ссгт2) имеем:

Рассмотрим ту же ситуацию, ,что и в первом приме­ ре, но с применением линейной интерполяции. Тогда, учитывая результаты § 4-3, имеем:

167

и равен:

Как видно из приведенных примеров, формулы (4-84) и (4-85) почти совпадают соответственно с формулами (4-91) и (4-92), отличаясь лишь некоторыми численными коэффициентами. Как и следовало ожидать, абсолютное значение минимального штрафа при линейной интерпо­ ляции оказалось меньше, чем при ступенчатой. Понятно также смещение экстремума в сторону больших значе­ нии Т, т. е. тот факт, что при линейной интерполяции можно и целесообразно допустить увеличение интервала времени между измерениями по сравнению со ступенча­ той.

4-5. ВЛИЯНИЕ НЕТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ ДИСПЕРСИИ И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Из сказанного в предыдущем параграфе не следует делать вывод, что математически обоснованный выбор необходимой частоты измерений практически невозмо­ жен из-за отсутствия точных характеристик процессов. Наиболее реальным представляется решение задачи с помощью приведенных в предыдущем параграфе фор­ мул с подстановкой в них выборочных оценок р*(т) и ах2 и последующей оценкой неточности в определении по­ грешностей (т. е. «погрешности второго порядка»). В ка­ честве примера приведем такую «погрешность второго порядка» для формулы (4-44) в соответствии с [Л. 4-51].

Пусть объем выборки, по которому определяются ста­ тистические параметры процесса X(t), ограничен неко­ торым конечным количеством членов п и вместо истин­

ных значений параметров %(t), a2(t) и рx(t, f-f-T) извест­

ны их [оценки vx(t), S2ß ) и rx(t, t ß i ) , равные

1$?

В результатё вместо истинных значений математиче­ ского ожидйния !FB(0 и дисперсии <j2 (t) погрешности ап­

от конкретной выборки, по которой рассчитывались оцен­ ки S2& -H ), S2(ti) и rs (ti, ^ + t).

Запишемвыражение для дисперсии этой случайной величины, считая ее функцией трех других случайных величин и используя формулы линеаризации [Л. 4-43]. Тогда в первом приближении дисперсия

(4-96)

где все частные производные рассчитываются при зна­ чениях аргументов, равных их математическим ожидани-

169

ЙМ, и

a К — соответствующие корреляционные моменты, причем

ТС [S x (к -} - т), Sx(к)\ =

Проанализируемвыражение (4-96) подробнее. При достаточно больших объемах выборки оценки средне­ квадратических отклонений выборочных оценок диспер­ сии Sx(ti+x) и Sx(ti) распределены по закону, близкому к нормальному, и их дисперсии, как известно из [Л. 4-42], определяются из формул

170

несимметричное распределение, которое очень медленно сходится к нормальному. Р. Фишером было найдено та­ кое преобразование коэффициента корреляции, распре­ деление которого приближается к нормальному намного быстрее, чем распределение самого гх. Этим преобразо­ ванием является известное в статистике г-преобразова- ние коэффициента корреляции. Распределение случайной величины

к нормальному распределению с математическим ожида­ нием

которая не зависит от значения коэффициента корреля­

171

и, переходя в (4-109) от теоретических моментов к их оценкам, получаем;

ные значения соответствующих моментов; К — соответст­

Если дискретизируемый процесс стационарен, то вы­ ражение (4-110) можно существенно упростить. Дейст­ вительно, при условии стационарности

°x(ti+x) = a x2(ti)=oxz-, Ц4,х(£і + т) =

“ JJ.4, x ( t i ) — (J-4, *;

172