книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

широкополосный усилитель 1, назначение которого — нормирование процесса, а затем через линейный ключ 2 на устройство сравнения 3. Одновременно генерируемый генератором шума 7 случайный сигнал y(t) через функ­ циональный преобразователь 6 и линейный ключ 4 также подается на устройство сравнения 3. Для синхронизации моментов снятия отсчетов процессов x(t) и y(t) линей­ ные ключи 2 и 4 управляются от единого генератора тактовых импульсов 5. В результате сравнения каждой пары значений x(ti) и y(t\) устройство сравнения 3 фор­ мирует величину z(li) по правилу

(5-104)

Практически z(l) — \ воплощается как наличие им­ пульса на выходе 3, а z(t) = 0 — как отсутствие импульса. Далее в устройстве имеются счетчики импульсов 8 и 9. Счетчик 8 фиксирует общее число сравнений N, а счет­ чик 9 — число сравнений с исходом z(ti) — V. Схема по­ строена таким образом, что счетчик 8 всегда накапли­ вает некоторое фиксированное число, как правило, N = = 10'!, где k = 2, 3, 4 (возможно либо постоянное /г, зало­ женное при создании схемы, либо переключение значе­ ний /г оператором с пульта прибора). После проведения N сравнений происходит считывание показаний 9 с по­ мощью устройства 10 и автоматический сброс счетчиков 8 и 9. Кроме того, имеются дешифратор 11 и цифропе­ чатающее устройство 12.

Рисунок 5-11 иллюстрирует работу АЦП. Нетрудно видеть, что отношение числа п (число явлений z(U) = 1) к общему числу сравнений N характеризует долю за­ штрихованной на рисунке площади в площади прямо­ угольника с площадью ХлансАѵ, т. е. вероятность попада­ ния случайной величины y(t) ниже кривой x(t). Поэто­ му n/N определяет среднее значение некоторой функции от x(t) на интервале времени (0, tn). В частности, при равномерном распределении вероятностей y(t{) величина n/N при N— >-оо сходится по вероятности к

о

что является несмещенной оценкой математического ожи­ дания X.

213

Рис. 5-11. Временной график работы АЦП по методу Монте-Карло.

Докажем ‘последнее утверждение и оценим диспер­ сию величины n/N при конечных значениях N. Вероят­ ность получения одного из двух возможных значений

214

мовой процесс, имеющий автокорреляционную функцию, близкую к дельта-функции Дирака. Итак, погрешность уменьшается сравнительно медленно при возрастании Лй Для сопоставления с методом аналого-цифрового пре­ образования, предусматривающим последующее интегри­ рование, отметим, что, как показано в ;[Л. 5-19], в этом последнем случае с ростом числа отсчетов N погреш­

ность убывает со скоростью порядка N У N. Однако каждое сравнение в методе Монте-Карло в принципе занимает меньше времени, чем аналого-цифровое преоб­ разование. Например, в преобразователе развертываю­ щего типа, выполненном на сопоставимых элементах, требуется в 2к раз больше времени, где k — число дво­ ичных разрядов. С помощью метода Монте-Карло воз­ можно также измерение в цифровой форме средних зна­ чений различных функций от исходного процесса, например моментов распределения вероятностей выше первого порядка. Для этого необходимо иметь шум У

215

с заданным, отличным от равномерного законом распреде­ ления вероятностей. Пусть, например, требуется получе­ ние среднего значения некоторой функции cp(X/L). Для этого шум у преобразуется в величину и безынерцион­ ным преобразователем по формуле п=і|і(у). Тогда, с одной стороны,

При этом устройство измеряет оценку второго на­ чального момента распределения. Подобным образом возможно измерение по методу Монте-Карло любых на­ чальных моментов распределения. Основную сложность при практическом воплощении схемы представляет гене­ рирование шумовых процессов с заданным законом рас­ пределения. Наиболее реально получение равномерного и нормального законов. В остальных случаях необходи­ мо непосредственно за генератором шума включать функциональный преобразователь (обычно нелинейный), описываемый соответствующим оператором. Исходя из особенностей схемы желательно, чтобы это был практи­ чески безынерционный элемент.

Изложенные соображения являются, кроме того, ис­ ходными для решения другой задачи — построения авто­ матической градуировочной установки по методу, опи­ санному в [Л. 5-20].

Рассмотрим далее инструментальные погрешности предложенного преобразователя. В силу особенностей

216

■построения данной схемы ко всем элементам предъявля­ ются весьма нежесткие требования. Основной источник инструментальных погрешностей — отличие w(y) от тре­ буемого вида. Представим плотность вероятностей в ви­ де ряда

где /пХі і+1—(/+ 1)-й начальный момент распределения вероятностной величины X. Тогда погрешность на выходе прибора за счет несовершенства воссоздания требуемого равномерного закона распределения У имеет вид:

fn

i=i

В заключение отметим еще один вид погрешностей АЦП, построенных по методу Монте-Карло, а именно погрешность от наличия зоны нечувствительности уст­ ройства сравнения и дрейфа этой зоны Г. Н. Солопченко и Ю. А. Нечаевым показано,.что при tN— ^oo эта погреш­ ность стремится к величине

где 7/0— математическое ожидание зоны дрейфа. Последняя формула выведена в предположении о ре-

леевском законе распределения дрейфа зоны нечувстви­ тельности устройства сравнения.

Таким образом, метод Монте-Карло позволяет стро­ ить АЦП для измерения средних значений, обладающие рядом существенных достоинств.

217

5-5. АНАЛИЗ РАБОТЫ СЧЕТЧИКОВ ИМПУЛЬСОВ

Особую группу измерительных приборов представляют собой счетчики импульсов. На вход этих устройств поступает дискретная во времени последовательность. Полезную информацию несет число импульсов за некоторое фиксированное время. 3 общем случае поток импульсов иа входе прибора характеризуется случайными интерва­ лами времени между импульсами, хотя в частных ситуациях возмо­ жен и регулярный поток с неизвестной частотой.

Для характеристики счетчика наибольшее значение имеет зада­ ние его емкости п. Входящий поток может представлять собой ста­

ционарную или нестационарную последовательность с заданными статистическими характеристиками. Допустим, с целью упрощения анализа, что входящий поток описывается как простейший, т. е. яв­ ляется стационарным, ординарным и без последействия (Л. 5-4]. Тог­ да достаточно задать его интенсивность X, равную математическому ожиданию числа импульсов в единицу времени. Предположим также, что относительно измеряемой величины счетчик выбран правильно, т. е. пропуски при счете исключены. Возможные состояния счетчика обозначим следующим образом:

/Іо — счетчик «запомнил» нуль импульсов; /11— в счетчике «запомнен» один импульс;

/1„ — счетчик полностью заполнен, т. е. в памяти п импульсов.

Процесс, протекающий в счетчике, согласно [Л. 5-5] представ­ ляет собой непрерывный стационарный марковский процесс с матри­ цей переходов

щающим, так как при переполнении счетчика никакие сигналы на входе не отражаются на его состоянии.

Динамический режим счетчика характеризуется матричным урав­

— преобразование Лапласа от матрицы-строки Р(1), характеризую­

Здесь ö ij — символ Кронекера

11 при і = /; (О при і ф \.

Это Матричное уравнение равнозначно системе дифференциаль­ ных уравнений во временном представлении

Р'О(О + *А (0 = 0;

/Л (0 — (0 + Хр, (0 = 0;

(5-124)

р 'я (0 — Хря - і (0 = 0,

где р,(/) вероятность того, что счетчик в момент времени і, исчис­

ляемый с начала работы в режиме данного измерения, окажется в состоянии Аі.

Естественно предположить, что матрица начальных состояний равна:

т. с. в начале работы в счетчике не хранилось ни одного импульса. Возвращаясь снова к преобразованию Лапласа и учитывая,

что преобразование р'і (s) = s p t (s) —рі(0), имеем:

Аналогично для поглощающего состояния можно получить:

СО

(5-128)

і—п

Естественно, что стараются сделать это последнее состояние нерабочим, т. е. величину рп {і) высшего порядка малости по сравне­

нию с остальными вероятностями:'

Математическое ожидание состояния счетчика через время t

после начала работы

i=0 i—0

а дисперсия этой величины также равна Х(. Нетрудно видеть, что

скорость поступления информации в счетчик при сделанных допуще­ ниях равна Xlog(Xe-1)- Действительно, каждый импульс несет ин-

219

формацию

где T — интервал времени между импульсами.

В силу простейшего характера потока

и'і(т) = А ехр(—Ат).

Поэтому

00

Н (т) =. — Ja exp (—Ат) log [A exp (—Ат)] = log (А/е).

о

Законность (5-131) вытекает из отсутствия последействия в по­ токе импульсов на входе.

Счетчик хранит информацию лишь о числе импульсов, поступив­ ших за время его работы, но нс о фазе их поступления. Поэтому количество информации на выходе этого прибора заведомо меньше, чем на входе. Для оценки этой величины вычислим энтропию состоя­ нии счетчика в .момент времени і. Искомая величина

П

220

Из табл. 5-3 видно, что /е,- убывает при увеличении і весьма

быстро.

При больших значениях kt можно воспользоваться формулой

■Обе иоследіиие формулы имеют ясное физическое истолкование. Энтропия (т. е. неопределенность) в показаниях счетчика тем боль­ ше, чем больше времени прошло с момента начала работы и чем больше интенсивность потока импульсов на входе.

Г Л А В А ШЕ СТ АЯ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ СОГЛАСОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА С ОБЪЕКТОМ ИЗМЕРЕНИЯ

6-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Кроме задач описания и сравнения различных из­ мерительных устройств, в ряде случаев возникает необ­ ходимость выбора системы, наилучшей по какому-то по­ казателю при заданных ограничениях. Математически эти задачи описываются как поиск частных или глобаль­ ных условных или безусловных экстремумов. Другими словами, требуется решить задачу оптимизации. В зави­ симости от вида критерия требуется получить либо мак­ симум, либо минимум. Например, можно максимизиро­ вать количество информации на одно измерение или на­ дежность или же минимизировать среднеквадратическую погрешность, массу, габариты и т. д. В данной главе в основном рассматриваются задачи оптимизации по ин­ формационным критериям и среднеквадратическим по­ грешностям. Поскольку оба ряда показателей существен­ но зависят от распределения вероятностей истинного значения измеряемой величины х, то рекомендации, по­ лученные для одного объекта исследования, не подходят для других, если те имеют иное вероятностное описа­ ние. Поэтому оптимизация может быть названа статистическим согласованием измерительного прибора с измеряемым параметром. Аналогичным образом может быть поставлена задача статистического согласования средств измерений с внешними условиями. Например, можно находить условия, при которых будет максималь­ ное количество информации на одно измерение в вольт­ метре при заданной статистике температуры окружаю­

221

щей среды. Характер ограничений, естественно, меня­ ется.

Так же, как и в предыдущей главе, вначале будет рассматриваться статический режим, а затем динамиче­ ский. В данной главе рассматриваются не все возмож­ ные вопросы оптимизации, а лишь отдельные аспекты. Например, при построении ИИС из блоков перед проек­ тировщиком системы стоит проблема выбора такого наібора средств, который обеспечил бы наилучшее в опре­ деленном смысле слова распределение требований к ме­ трологическим характеристикам блоков.

Изложенные в предыдущих главах методы анализа различного вида блоков измерительных систем позволя­ ют перейти к анализу метрологических характеристик многоблочных систем. Действительно, если система со­ держит несколько аналоговых звеньев, то идеальный н реальный операторы легко вычисляются для такой сово­ купности по известным характеристикам отдельных бло­ ков. Например, при последовательном соединении ли­ нейных звеньев результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций. Методы опре­ деления передаточной функции для более сложных со­ единений также хорошо известны из теории автоматиче­ ского регулирования (см., например, [Л. 6-1]). По ре­ зультирующим реальной и идеальной передаточным функциям совокупности звеньев методами, изложенными в гл. 2, может быть определена дисперсия погрешности. Если последующие звенья осуществляют дискретизацию и квантование, то рассмотренные в гл. 3—5 методы оцен­ ки погрешностей позволяют проанализировать эту ситуа­ цию с учетом погрешностей, накопленных на предыду­ щих звеньях, т. е. звеньях аналогового преобразования.

Таким образом, характер рассмотрения информаци­ онных и среднеквадратических характеристик в данной работе таков, что нет необходимости анализировать си­ стему в целом, так как каждое звено (блок) в измери­ тельном тракте, рассматриваемое как некоторое t-е по порядку, можно анализировать отдельно.

Однако это вовсе не означает, что тем самым решена проблема синтеза. Существует множество различных ва­ риантов построения ИИС, обеспечивающих операцию измерения с заданной точностью. Выбор наилучшего ва­ рианта, как правило, не может быть осуществлен с по­ мощью только метрологических или информационных ха­

222