книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

легко распространяются на случай мультипликативной

погрешностей сводится к ранее рассмотренной задаче анализа аналого-цифрового преобразования при аддитив­ ных погрешностях.

Явные формулы для вычисления количества инфор­ мации при других законах распределения вероятностей

X и Твх приведены в [Л. 3-й7, 3-18, 3-27].

При N—->-оо приведенные формулы хорошо согласу­ ются с ранее полученными зависимостями для звеньев непрерывного преобразования информации (см. § 2-6).

Перейдем далее к выбору целесообразного числа де­ лений по критерию количества информации. Из графика на рис. 3-3 видно, что малое число делений N приводит к неоправданным потерям информации. С другой сторо­ ны, увеличение числа делений до бесконечности также нецелесообразно, так как практически не дает выигрыша в количестве информации, удорожая в то же время изде­ лие. Отсутствие экстремумов у кривой на рис. 3-3 не

133

позволяет сделать однозначные рекомендации. Однако если задаться целесообразным соотношением /лгДманс=

=0, где /маис—количество информации без квантования,

а/ Лг — то же, но при квантовании с числом делений N, то

можно указать целесообразное число делений. Например, из формулы (3-38) имеем:

График зависимости N от L/ct при различных значе­ ниях Ѳ показан на рис. 3-5.

Возможен и другой подход к определению целесооб­ разного числа областей квантования, основанный на экономических критериях и не связанный с информаци­ онными оценками. Запишем соотношение

134

Наименьший срок окупаемости может быть получен из уравнения

(3-44)

В ряде случаев при выборе измерительного прибора прибегают к так называемому «запасу по шкале», т. е. берут щрибор, имеющий заведомо более широкий диапа­ зон, чем область возможных изменений измеряемой ве­ личины. Иногда это вынуждается отсутствием в распо­

прибора с целью приписать изделие к определенному классу (тогда оговаривают так называемую «рабочую часть шкалы»). При этом следует иметь в виду, что ин­ формационные свойства прибора ухудшаются, так как вместо величины L во все вышеприведенные формулы следует подставлять реальную область возможных зн а­ чений х. В заключение отметим, что, как нетрудно ви­ деть, информационный показатель связан неоднозначно с дисперсией ошибки. Каким из критериев следует вос­ пользоваться, зависит от характера решаемой задачи, т. е. от назначения средств измерения.

Г Л А В А Ч Е Т В Е Р Т А Я

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ

4-1. О РОЛИ ТЕОРЕМЫ ОТСЧЕТОВ

Под дискретизацией понимается замена исходной непрерывной во времени реализации процесса x(t) неко­ торой дискретной во времени последовательностью чи­ сел— результатов измерений в фиксированные моменты времени, по которым можно затем восстановить исход­ ную реализацию с заданной точностью.

Алгоритм дискретизации может быть основан на:

1) измерении в заранее назначенные моменты време­ ни, не зависящие от хода реализации x(t), например через равные интервалы времени ('циклическая дискре­ тизация);

135

2) измерении в моменты времени, определяемые ходом данной реализации (спорадическая и адаптивная дискретизация);

3) измерении в случайные моменты времени, не свя­ занные однозначно с данной реализацией (например, измерение «по вызову»),

В настоящее время наибольшее распространение 'по­ лучили алгоритмы первой из перечисленных групп, причем главным образом (применяется циклическая диск­ ретизация. Этому виду дискретизации уделяется основ­ ное внимание в данной главе. Рассмотрим в первую очередь те возможности, которые открывает применение различных вариантов теоремы отсчетов.

Остановимся прежде всего на теореме Котельникова, называемой также теоремой отсчетов, а в иностранной литературе — теоремой Шеннона. Опуская доказатель­ ства этой теоремы, имеющиеся в многочисленной лите­ ратуре по теории информации, например в [Л. 1-24, 4-2], поиведем лишь одну из возможных ее формулировок: «Любая реализация случайного процесса со спектром, находящимся в интервале от 0 до F, полностью опреде­ ляется последовательностью ее значений в точках, отстоя­ щих на ѴзЛ единиц времени друг от друга». Теорема Котельникова обобщается на случай ограниченного спектра, не содержащего низших частот. Известны так­ же работы, в которых теорема отсчетов распространя­ ется на случайные процессы с неограниченным спектром, основная часть энергии которых сосредоточена в некото­ ром интервале частот [Л. 4-3—4-7]. Отличительной осо­ бенностью их является рассмотрение сигналов с ограни­ ченным спектром как известного приближения к модели сигнала с неограниченным спектром.

Отметим некоторые особенности теоремы Котельни­ кова. Прежде всего эта теорема сформулирована для детерминированных функций, а не случайных процессов, что плохо согласуется с принятой нами моделью истин­ ного значения измеряемой величины и погрешности. Кроме того, теорема Котельникова приводит к громозд­ ким расчетам при восстановлении функции по дискрет­ ным отсчетам, так .как в качестве восстанавливающего полинома используется выражение

00

136

Это означает, что если -на ограниченном участке вре­ мени наблюдения в соответствии с рекомендациями тео­ ремы нами взяты 2FTn значений, то восстановить даже детерминированную функцию по этим отсчетам в точно­ сти нельзя, так как неизвестные нам отсчеты, лежащие за пределами этого интервала, также должны вносить свой вклад в восстановление исходного процесса. Кроме того, сами члены ряда в формуле (4-1) неудобны для расчетов. Часто их характеризуют как отклик фильтра нижних частот на бесконечно короткий импульс. Однако при этом нарушается принцип причинно-следственной связи, так как следствие (отклик) начинается, вообще говоря, за бесконечно большое время до причины (им­ пульса). Практически можно брать ограниченное число членов ряда и считать, что восстановление идет с соот­ ветствующей задержкой. В [Л. 4-8] было показано, что конечный ряд вида (4-1) дает сравнительно медленную сходимость к исходной функции по мере увеличения числа слагаемых. Согласно этой работе для восстанав­ ливающей функции

не зависит), имеем приближение к исходному процессу

с частотой только меньше, чем rF, т. е. предполагалось, что преобразование Фурье — Стильтьеса постоянно для всех частот выше rF, а число к выбиралось из условия

2РТЯ— 1/2 < k (t) < 2FTa+ 1/2,

где Ги — интервал наблюдения (длительность сигнала). Например, при N=24, Т7= 1000 Гц и rF—750 Гц

погрешность менее 0,068max \x(t)\.

Скорость схождения к исходной функции по мере роста N может быть увеличена применением разложе-

. 137

Полагая по-прежнему 7Ѵ= 24, і7—1000. Гц и 9=0,25,

Возможен также другой подход к теореме отсчетов, предложенный в [Л. 4-9]. При этом исходный непрерыв­ ный процесс заменяется последовательностью дискрет­ ных во времени отсчетов, следующих в 2 раза реже, чем по теореме Котельникова. Однако во время каждого отсчета считывается сама функция и ее первая произ­ водная. Восстанавливающая функция имеет вид:

ОО

Здесь также возможно усеченное разложение, при котором восстанавливающая функция согласно [Л. 4-9] имеет вид:

k + N

138

где

Ft— \ / 2 ^ k ( t ) ^ F i + \ / 2 .

Ошибка этого разложения не превосходит по абсо­ лютной величине

Зависимость от ‘времени ошибки в восстановлении функции с помощью теоремы Котельникова по конечно­ му числу отсчетов была получена в виде [Л. 4-10]

погрешности во времени показано на рис. 4-1, откуда видно, что погрешность равна нулю в точках отсчета, имеет частные максимумы в серединах интервалов меж­ ду отсчетами и глобальные максимумы на расстоянии VvF от краев интервала наблюдения Тв. График на­ глядно показывает неправильность бытующего мнения о возможности полного безошибочного восстановления

lx(t)-z(t)\

ГГУУтуу^пгѵзПГ(Т\

-Т н О l i t

Рис. 4-1. Зависимость от времени ошибки в восстановлении функции с помощью теоремы Котельникова по конечному числу отсчетов.

функции на отрезке Та по 2FTUотсчетам. Ошибка равна нулю лишь при интервале наблюдения от —оо до +оо. В этом находит свое отражение значительно более общая закономерность, связанная с возможностью предсказания конечного будущего.

Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. Пусть на основании наблюдения конечного интервала времени Тн нами получен некоторый отрезок реализации случай­ ного процесса x(t). Допустим, задано, что все реализа­

139

ции x ( t ) представляют собой аналитические функции, т. е. как x ( t ) , так и производные любой кратности от него по t — непрерывные функции времени. Тогда на ос­ новании теоремы единственности [Л. 4-11] можно утвер­ ждать, что функция (данная реализация) имеет единст­ венное продолжение за пределами участка Ги. На пер­ вый взгляд кажется, будто высказанное положение рав­ нозначно утверждению о возможности предсказания дальнейшего хода реализации на неограниченный отрезок времени снеограниченной точностью На самом деле это не так. Для предсказания (экстраполяции) и восстанов­ ления непрерывной функции (интерполяции) необходи­ мо построить многочлен, аппроксимирующий исходную функцию. Этот многочлен не может быть построен точно по конечному отрезку реализации, в чем мы убеждались на примере ряда Котельникова. Предсказание возможно лишь с отличной от нуля погрешностью, причем точность падает по мере удаления от точек отсчета.

чайный процесс с дискретным временем. Известно [Л. 4-45], что наи­

линейной оболочки этих величин в комплексном гильбертовом про­ странстве всех случайных величин с конечным вторым моментом. Для определения величины среднеквадратической погрешности

с некоррелированными значениями, стационарно связанный с X{U)\ ай — числовой коэффициент, определяемый равенством

ah= X {U )X *(ti- k),

где знак «*» означает комплексную сопряженность.

Тогда дисперсия погрешности прогноза обусловлена только ве­

140

При т -* оо дисперсия погрешности экстраполяции стремится к

СО

S К І 2. т> е- к дисперсии регулярной составляющей процесса X (/t).

fc=o

Более подробное изложение задачи линейного прогноза и опре­ деление связанных с ним понятий можно найти в [Л. 4-45].

Возвращаясь к обсуждению теоремы отсчетов, отме­ тим, что нигде не оговаривался вид спектра. Этой теоре­ ме удовлетворяет любая функция с ограниченным спек­ тром вне зависимости от формы кривой, описывающей этот спектр.

В [Л. 4-40] показывается, что ряд (4-1) приближает исходную функцию в среднеквадратическом смысле и в случае, если Х(і) есть непрерывный в среднеквадрати­ ческом и стационарный в широком смысле слова случай­ ный процесс. Естественно, что этот факт не противоречит высказанным выше соображениям о неудобстве примене­ ния теоремы отсчетов в нашем случае. Однако теорема устанавливает другую важную закономерность — число степеней свободы. В ряде случаев отсчеты, взятые по Котельникову, не коррелированы. Это, впрочем, не зна­ чит, что значения процесса X(t), отстоящие, например, на интервал 1,5/2F, также не коррелированы между собой. Покажем это на примере. Пусть задана реализа­ ция стационарного процесса X(t), имеющего энергети­ ческий спектр

А* при'0< I со I < I ш2I ;

(4-12)

О при

где иг есть граничная частота, или частота среза (заме­ тим, что такая модель соответствует сингулярности про­ цесса) .

В соответствии с теоремой Котельникова отсчеты сле­ дует брать через интервалы Т = я сог-1- С помощью коси­ нус-преобразования Фурье найдем автокорреляционную функцию

При t= £wd~ i = k T автокорреляционная функция об­ ращается в нуль, где h= 1, 2, 3 ... Вид этой функции по-

141

казан на рис. 4-2. Итак, в точках отсчета автокорреля­ ционная функция обращается в нуль, но в промежутках между точками отсчета она отлична от нуля. Корреля­ ционные связи ослабевают по мере увеличения т. Ниже будет показано, что функция автокорреляции знакопере­ менна для всех процессов со спектром с разрывом пер-

Рис. 4-2. Автокорреляционная функция процесса с ограниченным спектром.

вого рода на граничной частоте. Поэтому показанная на данном примере картина в некотором смысле слова ти­ пична.

Докажем следующее утверждение, имеющее непосредственное отношение к рассматриваемому вопросу.

У т в е р ж д е н и е . Если функция f(x ) непрерывна при хф А ,

кусочно-непрерывно дифференцируема и, кроме того, удовлетворяет условиям

то косинус-преобразованне Фурье этой функции является знакопере­ менной функцией, причем меняет знак бесконечное число раз.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим

f( x ) — a = <р(х),

где а= іпН (х)>0; х<=[0, А]. Продолжим функцию f(x ), а следова­

тельно, и ф(х) на отрицательную полуось четным образом. Функция ф(х) непрерывна во всей области определения, а функция f(x) имеет разрывы в точках х ± А и кусочно-непрерывную производную.

Косинус-преобразование Фурье для функции f(x) имеет вид:

143