Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1272 вуза, 4677 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
21.10.2023
Размер:
9.54 Mб
Скачать
☆

и ПМ отсутствует, если выполняется неравенство, обрат­ ное (9.1.5). Следовательно, условные вероятности лож­ ной тревоги и пропуска ПМ сигнала будут определяться из выражений

Так как для критерия идеального наблюдателя и=1, то из выражений (9.1:6) и (9.1.7) находим, что

а = р = 1 - ф [ 1 Л ч я ) /2 ] ,

(9.1.8)

где Ф(и) — интеграл вероятности.

Вэтом случае вероятность правильного обнаружения

всоответствии с (9.1.3) будет равна

 

Р-

f r = l ] =

® [V W )/2 ]

.

(9.1.9)

Из полученных

выражений

(9.1.8) и

(9.1.9)

находим,

“У

0,

т. е. при очень малом

отношении сиг-

что при [х (Я)

нал/помеха, а

и р—>1, Р_^

W =

1J — 0,

а безусловные

вероятности ложной тревоги и пропуска ПМ сигнала, если p = q = 0,5, стремятся к 0,5.

Если [х (Я) —i-oo, что может наблюдаться при очень

больших отношениях сигнал/помеха или при deti?„(rf,; f„)—»О, а и р , так же как Р пр и Ря т, стремятся к нулю, а

Р-> [Y = 11—* 1. S=£О

При обнаружении ГТМ сигнала со случайной начальной фазой, равномерно распределенной на интервале [0; 2‘ат],

§50

необходимо

найти

распределения

f [Qn (A)/S) = 0] и

-> —>

 

 

 

/ [Q(A)/S)=^0]. На основании вышеизложенных допущений

можно положить,

что компоненты g c (А)

g s (А) и g s^(A)—

■—>

 

 

 

 

собой нормально распределенные

— &CjJA) представляют

случайные

величины,

средние

значения которых

при от-

сутствии

 

Г1М сигнала и -</г(/)]> — 0 равны

 

< г с й + ^ й > и

— 0

= ° .

< & , Й - £ с 1Й > = = °

 

 

 

5

 

 

 

х

-1-

при наличии ПМ сигнала

 

 

 

 

< gc (A)-f- g s (А) > Ц

=2(Х(А),

 

< £ , . ( * ) - £ С, Й > = 0 .

 

 

 

•S^O

 

 

-1-.

х

 

Дисперсяи этих

случайных

величин в соответствии

с (9.1.4)

и (8.4.12) определятся из выражений

 

 

 

<fec(A) + ^s(A)]-2KA)}2> =

 

=

 

7

 

^

 

 

 

 

 

| | 5 сг (^;

А) 0 (^,; С) S0 (£,; A) dt,d tz = рс (А),

 

 

< К г (Ч — ге±(Ч ]*> =

 

 

 

 

 

А) 0 (С; У 5S (С; А)

= |is (А),

< {{gc (А) + £s (А)] -

2р. (A)}[gs± (А)-

g e± (А)] >

=

 

 

г

 

^

 

 

 

 

 

-

Jj S cT ( f A)

0 (f,; Q

Ss (*„; A)dt.dt, = 0.

 

Следовательно, при отсутствии ПМ сигнала случай-

ная величина Q(A)

[23, 36] распределена по закону Релея

 

 

 

 

 

—>

 

Q2(А) 1

 

 

 

/[Q(A)/S) = 0] = - ^ e x p

 

 

 

v(i) Г

 

 

 

 

 

 

2р (Л)

 

 

а при наличии ПМ

сигнала [18,

36] распределение слу-

 

 

 

—У

 

 

 

 

 

чайной величины Q(А) имеет вид

/ [Q (А)/5) Ф 0]=

251

= - ^ - е х р / - - <Ш

± ^

) - 1у0 [С; ДО )]. (9.1.10)

2р (X)

(

4р (X)

J

Таким образом, случайная величина Q(X) имеет релеевское распределение, когда верна гипотеза До, и распределение вида (9.1.10), когда верна гипотеза Hi.

Поэтому вероятность ложной тревоги определяется по формуле

00

 

 

 

а

c/Q (Я) == ехр

М г \

4!х(Х) / ’

4|* (X) J

 

а вероятность пропуска ПМ сигнала—по формуле

м

 

 

 

Q2(X) +

2ц (X)

Q(И

dQ (Я).

 

Л

 

4р. (1)

|/~ 2,а(Х)

(9.1.11)

Определение интеграла (9.1.11) вызывает необходи­ мость пользоваться - табулированными функциями Рай­

са [22].

Для отыскания порога ограничения, минимизирую­ щего суммарную вероятность ошибки, продифференци­ руем выражение

Q (Я)

ехр

5 1 ^ -U Q (2 ) +

2р. (X)

 

4ц (X) J

 

 

Q2 (X) + 2ц (X)

Qft)

 

 

 

/о

 

 

4p (X)

|/2ц(Х) .

по переменному порогу ограничения, результат прирав­ няем к нулю, а затем прологарифмируем полученное равенство. После выполнения указанных операций на­ ходим

М*

Л Р + 2р (X)

,,„, [■

М

(9.1.12)

“ =

^

 

г---- —

4р (X)

4р. (X)

 

у 2р. (X)

 

Рассмотрим предельные случаи, которые позволяют

найти экстремальные значения

порога М.

 

252

1. При малых отношениях сигнал/помеха, когда

M / У 2(х(Я)> 1, 1п/о[М/К2ц(Я)] =5= Af/V^2|Д. (X). С учетом последнего выражения из (9.1.12) следует, что М =

=/ц (Я )/2 .

2.При больших отношениях сигнал/помеха, а также

при det^„(^; t2) —*0, когда

M /У 2р. (Я) < 1, ln/„ [MfV 2р(Я)] ж М 72р(Я).

В этом случае порог ограничения определится из (9.1.12)

как М = '|/Гр(Я).

В остальных случаях, отличных от рассмотренных экст­ ремальных, порог ограничения будет иметь величину

У ц( Я)/2<Ж < ]/"ц (Я), и для ее определения следует

рекомендовать расчет с помощью табулированных функ­ ций Райса.

Проведенный анализ оптимальных приемных систем обнаружения ПМ сигналов позволяет сделать вывод, что вероятности ложной тревоги и пропуска ПМ сигна-

лов зависят не только от pi(^), £=1, 2, которую по ана­ логии с одномерным случаем (36] можно принять как отношение сигнал/помеха на выходе приемной системы, но и от статистических свойств поля аддитивной помехи.

В частности, совершенно очевидно, что при det Rn (ti', h )— ►

— Н), т. е. когда основной вклад в поле помехи вносит полностью поляризованное поле, можно достичь увели­ чения вероятности правильного обнаружения ПМ сиг­ нала за счет перераспределения его мощности между ортогональными компонентами, оставляя неизменной суммарную мощность ПМ сигнала.

9.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМНЫХ СИСТЕМ БИНАРНЫХ ПМ СИГНАЛОВ

Пусть сообщение передается с помощью бинарных ПМ

сигналов S(t\ Я*) = || S, (£; Xi)St (t; Яг-)||, г = 1, 2. При

этом положим, что сигнал S (t\ Я,) соответствует единице,

а сигнал S (t; Я2)—нулю. На каждый из этих сигналов при

передаче воздействует аддитивная, в общем случае ча-

253

етинно поляризованная помеха, так что принимаемые колебания представляются в виде

u{t; Ai) = S(t; h) + n(f).

(9.2.1)

Определим среднюю вероятность ошибки при разли­ чении указанных ПМ сигналов, которая будет характе­ ризовать потенциальную помехоустойчивость приемной системы при данном способе передачи сообщений. При приеме таких сигналов реальной приемной системой помехоустойчивость может сколь угодно приближаться к потенциальной, но не может ее превысить. Поскольку

при бинарной передаче сообщений посылки ПМ сигна- —> —>

лов S (/; Aj), соответствующие 1 и 0, являются собы­ тиями взаимно исключающими друг друга, то средняя вероятность ошибки будет равна

Р0ш.ср.=Р (1) P (0/1) + P (0) P (1/0),

(9.2.2)

где jP (1), Р(0) — априорные

вероятности

передачи

соот­

ветственно S(t; А,) и S(t-,

А2); Р (0/1),

Р (1/0) — вероят­

ности

того, что при передаче ПМ сигнала с индексом /

будет

принят сигнал

с индексом i, i=^=:j, /=

1, 2. Часто

эта задача

бывает

симметричной в

том

смысле, что

Р(I) = Р (0)

и Р(0/1) = Р( 1 /0 ) . Тогда

для

вычисления

средней вероятности ошибки Яош.ср. достаточно вычис­ лить Р(0/1) или Р( 1/0).

Условная вероятность ошибочных решений Р (0/1)

будет равна вероятности удовлетворения неравенства между выходными эффектами оптимальной приемной системы бинарных ПМ сигналов

Г,(А2) > уД ) ,

(9.2.3)

где в качестве выходных эффектов взяты величины

('W) — {Л \и (1\

А)]}------ [т (А2)

g (Аг-; Aj) -)- In Р2,

т

 

 

0

 

 

Г

 

 

*j) = j j

X)0(^; tt) S ( t i; i j)dt1dtt,

0

 

 

Pi = P(l) при i= l, Pi = P(0) при i= 2 .

254

Подставляя в выражение

для g (Яг-; Xj) значение и (t\ Х^

в соответствии с (9.2.1), получаем

 

g(Xi\ Xj) — gs (Xj, Xj) -j- gn (Xj),

(9.2.5)

где

 

 

gs (k\ X ) = j J s r (*,;

X) 0 (/,; t2) S (t2; %) dt4L

 

-0

 

 

— сигнальная составляющая выходного эффекта;

т^

gn & ) = J j * пТ (tj 0 (t,) t2) S (t2\ X ) dt,dt2

о

— помеховая составляющая выходного эффекта. Раскрывая выражение для сигнальной составляю­

щей выходного эффекта, будем иметь

2|х (Яг) —■2 [{х,j (Xj) -(- (Яг) -f-

-Ь 2Pi21/^P'11

Р-22 Й)] при г = /;

gs (^ij ^д) '

(9.2.6)

 

X рК п У H n ( * i ) H n ( W

k, п=\

 

при г ф /,

k, п = 1 , 2,

где введены обозначения

т

Ркп(Х)—

о

i _ ______ Рч2 Q~i)

Г12— r ---- =;-------zt-

V P"!! (^4)^22 Qh)

а также принято, что

X)Qkn(ti', t2)S n (t2; Xdt.dt;,;

P.12 ___ ____

§ s h n

{ Xi t

; (9.2.7)

ХС \

Г Pfen

P i )

РйЛ (Я2)

Р12(^г) — Р“21 (Ф)■

С учетом полученных выражений (9.2.5) и (9.2.6) выходные эффекты оптимальной приемной системы би­ нарных ПМ сигналов, принимаемых на фоне аддитив-

255

ной помехи, можно представить в виде

Yz (Я,) = рп (Я1) -f- р22 (Я,)

 

2р^

Цл (Я,) р22 (Я1) -f-

 

 

 

+ gn(X> +

ln P (l),

(9.2.8)

X (^2) =

Pll (^2)

Рг2 (Яа)

^РпV

Рп (Я2) Р22 (^й) “Ь

2

 

 

г--------- --------- —

 

 

+2 S

Рьп

У

Pfcn (^ 1 )

( Я 2)

+ £„(Я2) + 1п Р(0). (9.2.9)

kt n—1

 

 

 

 

 

 

Подставляя

выражения

выходных эффектов (9.2.8)

и (9.2.9)

в неравенство

(9.2.3),

получаем

 

ёп (Я2) ёп (4)

Pn (^1)-(-'(*32(^1) "j-

+2р12 ри (Я0 |Х22 (Я,) -(- Ри (Я2) Н- Р22(Я2) +

+2Pj2l / Рп(Х)р22(Я2) —

PSn ^ Pftn (^ 1) P/m ( Я 2) + 1пР(1)/Р(0).

(9.2.10)

_k,п—1

Случайная величина, стоящая в левой части нера­ венства (9.2.10), представляет собой нормальную слу­ чайную величину со средним значением, равным нулю,

так как < n ( t) > = 0. Для определения дисперсии этой

случайной величины найдем корреляционную функцию

ёп_(^Д ёп (^j) X ---

Г v ^

-

J Ш

V*'

0^ ^ < п & )”Т& ) >

0V*’ и х

 

о

 

 

 

X

s (4; X ) Г1 dti =

f f s r (4; X ) 0 (4; t2) S (t2, %) d t . d t ^

 

 

/=1

0

 

 

 

 

=

(9.2.11)

С учетом (9.2.11) искомая дисперсия случайной ве­ личины, стоящей в левой части неравенства (9.2.10), будет определена как

X [gn (Р-2 )-- ёп (^-l)J“ X 2 i Рл (Я2)X Р2 2 (Яз) -)-

256

 

(я2) p.22(я2)

(я,) -f-

 

~Ь 14>2 (^l)

2p}J]

/ " (Я,) P-22 (Я,) --

 

— 2 S

Phn

(^-l) P-ftn (Я 2)

(9.2.12)

n —1

 

 

 

 

Вероятность выполнения неравенства (9.2.10)

в соот­

ветствии со сделанными замечаниями определится по формуле

p (o /i) = - = _ L _ = = x

КаяСГ&ЛЪ)-&,(*,)]•>

X J ехР

М„

где

ig. ( 4 T „g.(M P _ _

u Ign(l2) - g„(l,)l.

2< [gn(A2)-g „ (M l2>

\

 

(9.2.13)

М0 —

( X j ) - f -

р-(Я.,) — 2 S

 

Р|,п

НЧЩ ( Я 1) 4/171 (Я 2)

 

 

ft, «=1

 

 

 

Подставляя в (9.2.13) соответствующие значения, по­

лучим условную

вероятность

ошибочного решения

 

 

 

 

 

Р_0) 1

 

где

Р (0 /1 )= 1 — Ф а + 2 а ЫР( 0) J’

( 9 . 2 . 1 4 )

 

 

 

 

 

 

 

1 /

4 (^-1) 4-11 (Я2) — 2

 

2

 

 

Л

 

$kn

V

(^-l) l^kTi (^2)

а = 1/

 

 

k, n = I

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

(9.2.15)

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичные рассуждения, проведенные для услов­

ной вероятности

ошибочного

 

решения

Р(1/0),

приводят

к результату, что

 

 

 

Р ( 0 ) '

 

 

Я (1 /0 )= 1 — Ф

'

I 1

1

(9.2.16)

 

 

2а

ПР(1)

 

 

 

 

 

Подставляя полученные выражения для условных вероятностей ошибочных решений (9.2.14) и (9.2.16) в (9.2.2), найдем общую формулу средней вероятности

17—667

257

ошибочных решений оптимальной приемной системы бинарных ПМ сигналов:

ОШ ср •

Р (1 )Н — Ф

+ 2

а Р (0)

К

 

 

+

р (0) {■ — ф [“ + 2 Г 1пЯ т т ]}' (9'2Л7)

Из полученной формулы (9.2.17) с учетом (9.2.15) следует, что средняя вероятность ошибочных решений при различении двух детерминированных ПМ сигналов зависит от величины а и априорных вероятностей Р(0)

иР( 1) .

Априорные вероятности Р(0) и Р(1) определяются статистическими свойствами передаваемых сообщений. Величина а зависит не только от энергии эквивалент­

ного сигнала

^экв (^! Я)— S Я,) ^ (i\ Я2)

при данном уровне помех, как это мы находим у опти­ мальных приемных систем бинарных одномерных сигна­ лов [36], но и от взаимной корреляции ортогональных компонент ПМ сигналов и аддитивной помехи.

При равенстве априорных вероятностей появления ПМ сигналов Р(\) =Р(0) =0,5:

1п (Р (1)/Р (0))= 1 п (Р (0)/Р (1))= 0, Р (1/0)= Р (0/1),

(9.2.18)

формула средней вероятности ошибочных решений упро­ щается и принимает вид

ЯошсР= 1 - Ф ( а ) .

(9.2.19)

Далее можно рассмотреть определение Рошср для случая различения квазидетерминированных ПМ сигна­ лов и получить результаты, аналогичные результатам хорошо известных работ [18, 36] с учетом двумерного характера ПМ сигналов и аддитивных помех. Поэтому мы остановимся здесь только на определении оптималь­ ного порога ограничения при различении ПМ сигналов со случайной начальной фазой.

Используя свойство узкополосности принимаемых колебаний, на основании (8.5.8), (8.5.10) и (8.5.12) для

среднего значения случайной величины Q(M; Яг) полу-

258

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

Q ( X,

0) > =

2 [ix (Я,) - р (Я,;

Я,)]

(9.2.20)

при наличии ПМ сигнала S(t\

Я,),

 

 

 

 

 

 

 

< Q (О, X )

> =

2 [it (X; X) ~

Р Й ]

(9-2.21)

при наличии ПМ сигнала S(t\

Я2).

 

 

 

 

 

Дисперсия в обеих случаях будет одна

и та же:

 

 

 

< [< 2 Й

0)— < Q

(Я,; 0)> 12>

=

 

 

 

=

<

[Q (0;

Я2) — <

Q (0; Я2) > ] 2 >

=

 

 

 

 

= 2 [(а(Я1) —|—н* (Я2) — 2[х(Я,; Я2)|,

(9.2.22)

где

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[X(Яг-; X )

=

 

4

 

( ^

Й

0 (^.;

4)

5

(4;

Й ф /.

 

“J J

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

квадратурные

составляющие

[С (Я,) — С (Я2)]

и [Р (Я,) — Р (Я2)]

распределены по нормальному закону, то

случайные

величины С^Я,;

0)

и Q (0; Я2) будут иметь рас­

пределения

вероятностей, описываемые законом Райса,

 

f [Q(я>;

0)] =

-

 

Q(Я,; 0)

 

 

■х

 

 

 

 

(^i;

 

 

 

 

 

 

2 [,^ (X.) + tx (Л2) —

X,)]

 

х exp J — Qa(A>; 0) + 4 [цн.-«2 (AА,) + jx2н-

(ЯXi,; АГ2), -2|,Ха(Х(АХА,; А,)] ^

 

 

 

 

 

4 [,а (Ai) + (х (А2) — 2,а (Х-j; Аг)]

 

 

 

 

X

л

Q (X,; Q J N X Q - M X . ; х , ) ]

 

I

(9.2.23)

 

 

 

 

 

fx

(Ai) -р Н- (Аг) — 2|х (А,;

А2)

 

Г

 

/ [Q (0; Я2)]

= ________Q(0; Аг)

 

 

 

X

 

 

 

 

 

2 [ Н - ( А 1) + Н - ( А г ) - 2 1а ( А 1;

X,)]

 

Хехр

 

 

Q2 (0; X,) +

4 [tx« ( А2) +

(А2;

А,)

 

 

 

 

 

4 [,а (X,) +

(X (А2) —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2,а (А.) и- (А,; А,)]

Л

Q ( 0; X ) [к- ( Х , ; ~ х , ) - к - ( х 8)]

 

2|х (А[;

А2)]

 

Н- (Ai) + Н- (Аг) — 2[х (А,;

А2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.2.24)

25 9

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности