книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

где Д — произвольная положительная малая величина. Отсюда вид­ но, насколько бывает важно в задаче обнаружения знать методы определения апостериорных плотностей вероятностей параметров поляризации ПМ сигналов, рассмотренные в работах [15, 30].

7.3.ЗАДАЧА ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПМ

СИГНАЛОВ

Рассмотренная в предыдущем параграфе задача обнаружения ПМ сигнала должна предшествовать задаче оценки его параметров поляризации в тех случаях, когда возможно отсутствие ПМ сигнала на входе приемной системы. Эти задачи имеют между собой орга­

дится в соответствие некоторая область пространства U. В этом

смысле это преобразование является необратимым. Кроме того, в задачах оценки параметров наблюдателю не просто необходимо определить, отличен ли сигнал от нуля или нет, а узнать с наиболь­ шей точностью значения параметров принятого сигнала. Следова­ тельно, здесь мы имеем не две точки, а целое пространство решений,

и приходим к необходимости разделения пространства U на обла­

сти, которым соответствуют различные решения.

Если параметры поляризации ПМ сигнала принимают дискрет-

—У

ные значения A-i, Х2....... Хт, то пространство U делится на т не-

перекрывающихся областей. Определение оптимальной системы оцен­ ки параметров поляризации сводится в таком случае к оптималь-

U1, U2........ Um различных решений, которое обеспечивает минимум

среднего риска

180

Однако могут быть случаи, когда при заданных X и Я* значения

функции потерь зависят еще от того, по какому правилу выбора

Таким образом, при оценке параметров поляризационной струк-

туры необходимо каждой возможной реализации и на входе опти­

мального приемника ПМ сигналов поставить в однозначное соот-

ветствие некоторое значение вектора X из области Л, т. е. сформиро-

вать некоторый функционал ф= ср[u(7,; X)J, называемый оценкой. Из-за наличия помех неизбежны ошибочные оценки параметров

поляризационной структуры. Каждое такое ошибочное решение со­ провождается некоторыми потерями, которые, в свою очередь характеризуются соответствующими функциями стоимости. В си­ стемах связи с дискретными сообщениями или параметрами наи­ большее распространение получила простоя функция стоимости. Под простой функцией стоимости понимается такая функция, когда стои­ мость правильной оценки параметра принимается равной гп, а стои­

А =1

где

Таким образом, согласно (7.3.6) определяется штраф гп за каж­ дый неверно оцененный параметр Як(£=1, 2 ,..., т) и меньший штраф Гп, если дана правильная оценка Хь — уь. Подставляя полу­

181

всем допустимым значениям каждого из поляризационных парамет­ ров A’h‘

Из выражения (7.3.7) следует, что для минимизации риска надо так выбрать правило выбора решений Р(у1и), чтобы максимизиро­

вать

Q* = Е Е \ д , А А) Р («А) A(y/«):

Л*-А *

Впринятых обозначениях средний риск (7.3.7) можно предста­

вить в более сжатой форме:

133

где Yj, = [Xft] — безусловная оценка максимального правдоподобий йараметра Xft, определяемая выражением

Необходимо отметить, что для принятой функции стоимости оценки параметров поляризационной структуры ПМ сигнала X4*, Х2* ,.. ., Хт* представляют безусловные оценки максимального прав-

доподобия yk=^k каждого из параметров Яд в отдельности. Пара­

метры поляризационной структуры сигнала статистически связаны

—> —►

между собой, что определяется Р(и/Х), причем каждая из веро­

ятностей Р{Хк) и Р(и/Хк) содержит такие связи, но безусловные

оценки максимального правдоподобия определяются независимо друг от друга. Следовательно, при простой функции цены опти­

и решений Л* непрерывно, то простую функцию цены можно пред­ ставить в виде

т

A*

183

Оптимизация будет достигаться путем выбора правила решения

/ (Тк/И). чтобы величина Qh (и, /) принимала максимальное значение.

По аналогии с выражением (7.3.12а)

ционной структуры, определяемую выражением максимального прав­ доподобия

f (иДО (7.3.19)

при всех значениях Ль по области Л.

Таким образом, оптимальной оценкой параметра поляризацион­ ной структуры можно считать величину Хи, при которой безусловная

бирать значение Л.*=А,, соответствующее максимуму этой функции. Характер оптимальности оценок поляризационных параметров за­ ключается в том, что минимизируется средняя вероятность оши­ бочных решений.

Простую функцию стоимости желательно применять в системах с ПМ сигналами, в которых нет оснований различать стоимости, связанные с .различными ошибками. Однако в системах передачи количественной информации стоимость ошибки возрастает по мере увеличения абсолютной величины ошибки. Поэтому величина функ­

ции стоимости r(X; X*) также должна возрастать по мере увели­

чения ошибки, допускаемой системой с ПМ сигналами.

—^

При оценке векторного параметра X можно пользоваться в прак­

тике инженерных расчетов квадратичной функцией стоимости, которую можно представить в виде

i, k=l

184

где lki,*ll — некоторая симметричная неособенная матрица, /-0> 0.

Эта функция стоимости равна квадрату расстояния оценки от истинного значения .параметра. Широкое применение ее обусловле­ но тем, что она удобна с математической точки зрения, достаточно хорошо учитывает большие значения ошибок по сравнению с ма­ лыми и, кроме того, в некоторых случаях приводит к методам, ос­ нованным на критерии минимума среднеквадратической ошибки для линейных систем с ПМ сигналами.

Средний риск определяется в этом случае выражением

т

Q го S £ da ^ (Xt — X*t) (Х„ — Х \ ) f (Л) f (и/Х) dX. (7.3.22)

Если функция стоимости дифференцируема по отношению к опе­ рации оценки, то получается следующее условие минимума среднего риска:

Минимизация среднего риска (7.3.22) приводит к минимизации эллипсоида рассеяния совместных оценок параметров поляриза­ ционной структуры, который определяется матрицей ll<?mm г,/ J с эле­

ментами (7.3.23). Для практики определения качественных харак­ теристик радиолиний с ПМ сигналами наибольший интерес пред­ ставляют диагональные элементы матрицы ll<7min т,а11, которые

определяют дисперсии различных параметров поляризации, образую- —>

щих X*. При допущении некоррелированности параметров поляри­ зационной структуры матрица Н^шш t,kII вырождается в диагональ­

ную и оптимизация заключается в минимизации дисперсий ошибок по каждому из Параметров.

Подставляя в (7.3.24) квадратичную функцию стоимости

(7.3.21), получаем

р

Л

—v —v

где f (и, X )— совместная плотность вероятности входных колебаний

и н параметров X.

185

Таким образом, независимо от вида матрицы ||г*а|| оптимальная

оценка определяется из системы уравнений

аналогичной (36].

Мы рассмотрели решения по оценке поляризационных парамет­ ров, получаемые при использовании двух наиболее распространенных функций стоимости: простой и квадратичной. Хотя число возможных функций стоимости в теории не ограничивается, в практике оно огра­ ничивается реально существующими способами передачи информации, видом сигналов и т. д. Поэтому применения других разумных функ­ ций стоимости может привести к получению новых оптимальных операторов оценки параметров поляризационной структуры. Однако оператор оптимальной приемной системы в очень многих, практи­ чески важных случаях остается некритичным к виду априорного распределения, к выбору критерия качества системы. Это объясняет­ ся тем, что оценка параметров поляризационной структуры ПМ

сигнала необходима тогда, когда априорное распределение вероят-

—> —>

ности f(k), существенно шире апостериорного /)(А,/«), а следователь-

но, и функции правдоподобия f(uf\).

Поэтому f(%) в окрестностях максимума функции правдоподо-

Кроме того, в реальных условиях работы системы функция апо-

— ¥ — >

стериорного распределения вероятности f(k/u) практически имеет

нормальный закон распределения. Чтобы конкретизировать задачу синтеза оптимальных структурных схем приемных систем ПМ сигна­ лов, остановимся несколько подробней на анализе аддитивных и мультипликативных помех и механизме их воздействия на параметры поляризации сигнала.

7.4.ВОЗДЕЙСТВИЕ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ НА ПМ СИГНАЛ

На двухкомпонентную антенну приемной системы ПМ сигналов кроме полезного сигнала, несущего инфор­ мацию о переданном сообщении в поляризационной структуре, поступают аддитивные помехи, которые, складываясь с собственными шумами антенны и прием-

186

йбго тракта, снижают или полностью исключают воз­ можность обнаружения, различения, а также оценки параметров поляризации ПМ сигналов. Чувствитель­ ность современных приемных систем, использующих малошумящие СВЧ усилители, определяется в основном помехами, действующими непосредственно на входе приемного устройства [36, 37, 38]. В радиолиниях связи, использующих ПМ сигналы, применение которых осо­ бенно перспективно в сантиметровом, миллиметровом и более коротких диапазонах волн [12, 13], естественные помехи, действующие на входе приемной системы, со­ здаются излучением окружающей среды и космическим

излучением. Будем представлять их в виде вектора

—>

n0(t), компоненты которого считаем стационарными и

стационарно связанными нормальными процессами (с ну­ левыми средними <«ог>=0, i = l , 2) и корреляционной матрицей

где [ ]т — индекс транспонирования.

Кроме перечисленных помех, в СВЧ диапазонах волн имеют место хаотические отражения, которые возникают в силу различного рода обстоятельств [5, 15]. Помеху, обусловленную хаотическим отражением ПМ сигнала, можно описать вектором случайных импульсных харак­

теристик h(t; т), компоненты которого имеют нулевые средние C ftjft т )> = 0, i, /= 1, 2, и корреляционную

матрицу

Тогда помеха, вызванная хаотическими отражениями, пересчитанная на вход двухкомпонентной антенны, опре­ деляется из выражения

187

Корреляционная матрица компонент nei(t) определяет­

ся как

будут также нормальными случайными процессами с ну­ левыми средними < n i(t)> = 0 и корреляционной мат­

рицей

* . (*.; Q = < ? i (/,) 7 &)> = = R a (g g + Re (g g.

(7.4.6)

Аналогичные рассуждения можно распространить и на помехи, возникающие в антенно-волноводных системах. Поэтому в дальнейшем используется суммарный вектор

«(/) аддитивной помехи, которая считается стационар­ ным процессом, т. е. ее ортогональные компоненты щ (0 стационарны и стационарно связаны. В очень многих практически важных приложениях аддитивную помеху можно считать широкополосной в том смысле, что ши­ рина энергетического спектра значительно больше ши­ рины спектра ПМ сигнала. В то же время ее можно считать узкополосной в том смысле, что ширина энерге­ тического спектра помехи во много раз меньше цен­ тральной частоты спектра соо. Компоненты такой помехи в ортогонально-круговом базисе в точке приема можно представить в виде

где cti(t) и <р;(/)— соответственно амплитуды и фазы

компонент, представляющие собой медленно меняющие­ ся случайные функции по сравнению с со/.

Вводя в рассмотрение квадратуры аддитивной по­ мехи, (7.4.7) можно записать как

188

где я 0 = < л ( 0 > # 0 .

Известно, что строго монохроматическая аддитивная помеха всегда полностью поляризована [7]. Неполяризованная помеха характеризуется тем, что конец электри­ ческого (магнитного) вектора движется совершенно не­ регулярно. В общем случае изменение векторов поля помехи не является ни вполне регулярным, ни вполне нерегулярным. Поэтому в большинстве практических задач мы встречаемся с квазимонохроматической поме­ хой, обладающей частичной поляризацией. К частично поляризованным помехам относятся электромагнитные поля с функциональной поляризацией, когда параметры поляризации изменяются во времени по произвольному,

189