книги из ГПНТБ / Хетагуров, Я. А. Повышение надежности цифровых устройств методами избыточного кодирования

Заметим, что формально процедуре отбрасывания определенных столбцов подматрицы А матрицы Н = ||А1|| соответствует приравнивание нулю соответствующих ин­ формационных разрядов. Отбрасывать можно любой столбец, «о предпочтительнее (с точки зрения экономии аппаратуры) тот из них, который содержит наибольшее количество единиц. Получаемые таким образом укоро­ ченные коды также являются групповыми.

Коды Хэмминга оптимальны в том смысле, что они требуют минимального количества дополнительных (кон­ трольных) разрядов.

:2 - 3 . НИЗКОПЛОТНОСТНЫЕ к о д ы

Трудности, связанные с практической реализацией де­ кодирования, заставляют искать специальные классы ко­ дов, для которых существует простой метод декодирова­ ния. К таким кодам относятся ннзкоплотностные коды.

Низкбплотностные коды описываются матрицей, со­ держащей преимущественно нули и сравнительно не­ большое число единиц. Тем самым уменьшается количе­ ство символов, входящих в контрольные' соотношения. Определим «изкоплотностный (п, j , k) -код как код дли­ ной п разрядов с к информационными разрядами и с контрольной матрицей, каждая строка которой содер­ жит не более / единиц.

Используя понятия контрольной матрицы Н, условия

трице Н не превышает г]. Если учесть, что контрольная матрица, соответствующая разделимому коду, имеет

любой из столбцов подматрицы А содержит по крайней мере две единицы (иначе не было бы удовлетворено условие 2), то k^.r(j—1)/2. Последнее неравенство яв­ ляется верхней границей для к .

40

дов к . Эта граница достигается в том случае, если в про­ цессе кодирования каждый информационный символ

Мажоритарный принцип введения избыточности явля­ ется частным классом корректирующих кодов и может быть формально задан с помощью порождающей или контрольной матриц. Минимальное расстояние в таком коде равно 3 (этот факт следует из того, что строки порождающей матрицы содержат три единицы). Если информационные S{ и контрольные d разряды нумеро­ вать слева направо, то из приведенной матрицы Н сле­ дует, что каждый информационный символ описывается тремя независимыми уравнениями, первое из которых является тождеством:

положить, что вероятность искажения одновременно двух (трех) одинаковых символов ничтожно мала, то посим­ вольное декодирование по принципу большинства позво­ ляет исправить значительное количество ошибок (но не больше к ) .

Пусть /=3 , тогда k<^r. Принцип построения матри­ цы, обеспечивающей достижение верхней границы для к

41

(&=/•), показан на примере (8, 3, 4)-кода

Минимальное 'расстояние в этом коде равно трем. Из данной матрицы следует, что информационные и кон­ трольные символы низкоплотностного (п, 3, /г/2)-кода связаны соотношением

в котором индексы берутся да модулю /г. Из последнего соотношения следуют три уравнения для вычисления лю­ бого информационного разряда s,-, первое из которых является тождеством:

В уравнениях (2-8) индексы берутся по модулю k. Например, если i—1>=0, то значение индекса равно k и т. д. Таким образом, для декодирования (п, 3, /г/2)- кода могут быть использованы трехвходовые мажори­ тарные элементы.

Если / = 4 , то А^Зг/2 . Верхняя граница для It будет достигнута в том случае, если

Последнее 'неравенство будет справедливо при г ^ 4 . Другими словами, если /"^4 и является четным, то ра­ венство &=Зг/2 может быть удовлетворено. Если же г является нечетным числом, то может быть удовлетворено равенство &= (Зг—1)/2.

42

Аналогично могут быть рассмотрены низколлотностиые (п, } , А)-коды при />4 . Так как рассмотренные коды имеют d=3, то они могут быть получены из кодов Хэмминга с помощью укорачивания. .

где т > 3 — любое целое положительное число, а Ь<т —

следующим образом. Первая вектор-строка go состоит из

трицу, в качестве столбцов которой выбраны все возмож­ ные т-разрядные двоичные числа (начиная с нуля). Эти т строк gu ..., gm называют базисными векторами, первогог.порядка.:. Вычисляя -скалярные произведения пар gigj (L¥=j) базисных векторов первого порядка, получаембазисные векторы второго порядка. Базисные векторы третьего порядка равны скалярному произведению трех векторов первого порядка и т. д. Таким образом, если

43

строится матрица G для кода порядка б, то она содер­ жит

В данном кодовом векторе нельзя указать какие из разрядов являются информационными, а какие — кон­ трольными.

Процесс декодирования (извлечения информационно­ го слова из кодового) кодов Р—М отличается от декоди­ рования кодов Хэмминга. Это отличие заключается в том, что каждый из информационных символов st- может быть описан не менее чем <i=2 m - s независимыми уравнениями (контрольными соотношениями), аргументами которых являются символы bi кодового слова. Анализ результа­ тов решения этих уравнений по принципу большинства позволяет определить значения s,-. Тем самым при исправлении ошибок исключается этап определения ме­ ста ошибок, как это имело место в случае ранее рас-

44

смотренных кодов. Поэтому говорят, что коды Р—М по­ зволяют использовать мажоритарный принцип декодиро­ вания.

Простота структуры порождающей матрицы G, соот­ ветствующей кодам Р—М, позволяет установить связь между Si и Ь;, т. е. записать контрольные соотношения без обращения к специальным алгебраическим приемам. В первую очередь записываются уравнения для симво­ лов Si, соответствующих базисным векторам наивысшего порядка i&, затем — порядка (6—1) и т. д. «Соответствие» между информационными символами s,- и базисными

цах матрицы G показывают, какие именно информацион­ ные символы Si определяют значения символов bj кодо­ вого слова.

Например, из приведенной матрицы следует, что

6i=50 -rS4;

Поэтому общий принцип поиска контрольных соотно­ шений заключается в том, чтобы найти такие совокуп­ ности столбцов матрицы G, сумма которых является век­ тором, только одна координата которого равна 1. Место­ положение этих столбцов указывает, какие символы bj входят в данное соотношение.

Например, в приведенной матрице сумма первых че­ тырех столбцов равна 00 ... 01. На основании этого мож­ но записать уравнение связи

45

Таким образом, из матрицы G получено четыре 'неза­ висимых (в том смысле, что ни один из аргументов не входит в -более чем одно уравнение) уравнения для вы­ числения информационного символа Sio. Симметричность матрицы G существенно облегчает поиск контрольных соотношений. Информационные символы, значения кото­ рых найдены по принципу большинства, используются для вычисления -значений символов, соответствующих ба­ зисным векторам более низкого порядка.

В заключение необходимо отметить, что матрицу G кода Р—М можно, привести к виду G = ||If e A|| и исправ­ ление ошибок производить, дешифрируя вычисленный корректор.

2-5. ПОСТРОЕНИЕ КОДОВ Д Л Я ИСПРАВЛЕНИЯ ОШИБОК ЗАДАННОГО ВИДА

В ряде случаев требуется .построить линейный груп­ повой код, обеспечивающий обнаружение и исправление любой ошибки из заданного множества Ф, в качестве

46

элементов которого обычно выбираются наиболее верЭятные ошибки.

Рассмотрим возможный метод решения этой задачи. Линейный .групповой код полностью описывается кон­ трольной матрицей Н. Поэтому поставленная задача сво­ дится к отысканию таких значений корректоров, соот­ ветствующих одиночным ошибкам (или вектор-столб­ цов Н), что различным ошибкам из множества Ф будут

соответствовать различные корректоры.

Элементы заданного множества ошибок обозначим

позиции (символы) ошибочных векторов справа налево. На основе заданных значений Ei построим следующую (QXn)-матрицу возможных ошибочных последователь­ ностей:

—£an е2, n - i •

еВпеЯ,п—\ •

Каждый из столбцов матрицы М содержит по край­ ней мере одну единицу, так как в противном случае в соответствующих разрядах кода ошибки возникнуть не могут и их следует исключить из рассмотрения.

Вычеркивая в матрице М все столбцы, кроме правых двух, и исключая из рассмотрения повторяющиеся и ну­ левые строки, получим матрицу М2 . Естественно, количе­ ство строк в Мг не превышает трех, но и не меньше двух.

лим множество Ai корректоров, соответствующих раз­ личным ошибочным последовательностям, которые явля­ ются строками матрицы М2 . Объединив элементы множе­ ства Ai и ранее выбранные корректоры для одиночных ошибок, получим множество «используемых» корректо­

ров А2.

Аналогично предыдущему построим матрицу М3 , вы­ черкивая все столбцы в М, кроме трех правых. В качест­ ве корректора h3, соответствующего ошибке в третьем

47

разряде, выберем двоичный «од, соответствующий наи­ меньшему числу, не -принадлежащему множеству А2. За­ тем вычисляем множество корректоров, соответствующих строкам матрицы Мз. Так как по условию строки матри­ цы М3 различны, то и все рассматриваемые корректоры должны быть различны. В противном случае значение /г3 выбрано неправильно и следует выбрать число на едини­ цу больше, чем 'рассмотренное. После этого вычисляют­ ся значения корректоров (с новым значением /13), соот­ ветствующих строкам М3 . Процесс выбора значения Лз оканчивается, если все рассматриваемые корректоры раз­ личны. Объединяя корректоры h3, hi, hi и их комбина­ ции, соответствующие строкам М3 , получаем множество

Затем строится матрица М<„ выбирается hi и т. д. Процесс, построения • кода заканчивается после того,

как будет выбрано значение корректора 1гп- Однако этот процесс при необходимости может быть закончен на любом шаге (при этом будет получен более короткий код). Контрольная матрица Н для построенного кода имеет вид:

'48