книги из ГПНТБ / Хетагуров, Я. А. Повышение надежности цифровых устройств методами избыточного кодирования
.pdfhioU |
выбрано |
равным |
ОД, что соответствует вероятности |
|
безотказной |
работы |
неизбыточного |
устройства 0,9048. |
|
Это |
значение |
moXt можно рассматривать как граничное |
||
в том смысле, что обычно требуемая |
надежность устрой |
|||
ства |
на заданном интервале времени |
больше 0,9. Из по |
казанных зависимостей можно сделать следующие каче ственные выводы:
1) построение избыточного устройства с исправлени ем <7 = 2 ошибок целесообразно в том случае, когда коэф фициент избыточности a/i>>0,8, т. е. не менее 80%' аппа ратуры должно быть охвачено коррекцией ошибок;
2) если коэффициент избыточности а/6<0,8, то обыч но целесообразно исправление q— \ ошибки.
Полученные выражения и приведенные зависимости позволяют в каждом конкретном случае оценить эффект введения избыточности с позиций функциональной на дежности.
6-3. ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА ВЫХОДЕ УСТРОЙСТВ С КОНТРОЛЕМ
Введение избыточности позволяет улучшить не толь ко функциональную надежность, но и достоверность по лучаемой информации [см. (6-2)]. Однако основным и наиболее часто используемым методом повышения до стоверности информации является контроль. Для кон троля пересылок информации между различными устрой ствами (ЗУ и процессором, устройствами ввода —вывода и ЗУ, различными уровнями ЗУ и т. д.) в современных ЦВМ широко используется контроль по четности и контроль ное суммирование массивов информации. В ряде специа лизированных ЦВМ используется контроль по модулю
(обычно по модулю 3) всех этапов переработки и пере сылки информации. В системах передачи информации с обратной связью методы помехоустойчивого кодирова на ния используются для формирования контрольных кви танций. Таким образом, в настоящее время корректирую щие коды широко применяются в технике для контроля. Более того, можно утверждать, что пока это основная сфера эффективного применения методов помехоустойчи вого кодирования.
Достоверность информации на выходе устройства с контролем вычисляется в соответствии с выражением (§6-1):
/ ~ 3\ (t, , ) Р N (t + т) Рш (t + ,) RM (-с).
170
Основное внимание сосредоточим на вычислении пер вого сомножителя этого выражения S-K(t, т), произве дение остальных сомножителей равно в первом прибли жении вероятности функционально безотказной работы
неконтролируемой |
части аппаратуры. |
|
|
Если.исходное |
(неконтролируемое) устройство |
содер |
|
жит /е выходов, то для контроля |
его работы количество |
||
выходов увеличивается до п—к+г |
таким образом, |
чтобы |
при безошибочной работе выходные n-разрядные комби нации являлись кодовыми словами (см. рис. 1-8). Обычно используются разделимые корректирующие коды, что позволяет осуществить так называемый параллельный или независимый контроль. Схема контроля (СК) про
веряет соответствие кода на выходе |
контро^пуемого |
устройства множеству кодовых слов |
и при наличии |
ошибки («-разрядная выходная комбинация ие принад лежит множеству кодовых слов) выдает сигнал «ошиб ка». Таким образом, основное назначение СК — форми рование сигналов «ошибка» или «нет ошибки», и, следо вательно, СК принципиально не может вносить ошибки в выдаваемую информацию. Учитывая это обстоятель ство и пренебрегая вероятностью взаимной «компенса ции» ошибок, возникающих в устройстве и СК (под «компенсацией» понимается такая совокупность ошибок в устройстве и СК, которая приводит к выработке сиг нала «нет ошибки», в то время как выходное слово не является кодовым), при оценке значения 3\{t, т) мож но предполагать, что контролируемая часть СК является абсолютно надежной. При этом, однако, неконтролируе мая часть аппаратуры СК ие предполагается абсолют но надежной.
Рассмотрим общий метод оценки достоверности ин формации на выходе контролируемой части аппаратуры. Множество ошибок, возникающих на выходе устройства при неправильной работе любых i элементов, обозначим через Фг. Множество Ф» состоит из подмножества оди ночных ошибок /и, подмножества двойных ошибок %%\ и т. д., т. е.
<Pi=fliUhiU-[Jfni, |
|
|
где п — количество выходов |
контролируемого |
устрой |
ства. |
|
|
Естественно, некоторые из |
этих подмножеств |
могут |
оказаться пустыми. Кратность ошибки равна расстоянию
171
между правильной и ошибочной комбинацией сигналов на выходе, т. е. определяется в соответствии с принятой
метрикой. |
Для каждой |
конкретной |
схемы |
в прин |
|||||
ципе |
можно |
найти |
мощность |
множества |
Ф* |
и |
|||
всех |
его |
подмножеств |
(мощность |
множества |
Ф |
||||
будем |
|
обозначать |
\Ф\)- |
Если |
внутрисхемные |
||||
ошибки |
одинаковой |
кратности |
равновероятны |
(крат |
|||||
ность |
внутрисхемной |
ошибки |
равна |
числу |
непра |
вильно |
работающих |
элементов), |
то |
отношение |
||
I f j i l / I ^ l |
—рп |
можно интерпретировать как вероятность |
||||
возникновения |
на выходе |
устройства |
ошибки |
кратности |
||
/ при условии, что количество внутрисхемных |
ошибок |
|||||
равно г. Тогда |
вероятность появления |
ошибки |
кратности |
|||
/ на выходе равна: |
|
|
|
|
||
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
Pi = |
I,PoiPi. |
|
|
(6-8) |
где М — количество элементов в рассматриваемой |
схеме; |
|||||
pi — вероятность неправильной работы любых |
i |
элемен |
||||
тов схемы. Значение pt |
зависит от |
интервала времени |
||||
А) между двумя последовательными моментами |
контроля |
(предполагается независимость ошибок элементов):
Обычно to равно длительности выполнения контроли руемой операции.
В общем случае, когда контролируемая часть аппа ратуры состоит из избыточной и неизбыточной частей, значение рц, т. е. вероятность возникновения на выходе устройства ошибки кратности / при внутрисхемной ошиб ке кратности i, зависит от времени t, которое истекло с момента окончания профилактических или ремонтных работ (рис. 6-2). Наличие этой зависимости объясняется тем, что с течением времени избыточная часть аппара туры деградирует в сторону уменьшения избыточности вследствие возникновения отказов. Таким образом (6-8) можно записать следующим образом:
|
м |
w |
*,)»=: E f t * ю м ' . ) . |
|
i=i |
172
т. е. значение Pj(t, to) зависит от надежности элементов, их количества, длительности выполнения контролируемой операции и структуры (логической схемы расчета на дежности) устройства, которая в общем случае зависит от времени t.
Корректирующие свойства используемого корректи рующего кода в режиме обнаружения ошибок полно стью описываются значениями вероятностей обнаруже ния (или пропуска) ошибок различной кратности. Ве роятность обнаружения ошибки кратности / обозначим
Тогда вероятность возникновения обнаруживаемой ошибки равна:
п |
п М |
(Зоб. (t, t a ) = S |
MY(*,=2 S Ьрн (t) Pi (t0)- |
i=\ |
/=1 ; = i |
Аналогично можно получить выражение для вероят ности возникновения необнаруживаемой ошибки.
Достоверность получения безошибочного результата на выходе контролируемой части аппаратуры при вы полнении операции длительностью to равна:
^ к (t, t0)=5V(*. g + Q o 6 a % g = ^ 6 ' ( W +
n M
/ = i i = i
где &>5 (t, ta) — вероятность отсутствия ошибок на выходе
контролируемой части аппаратуры; Я — интенсивность возникновения ошибок в элементах устройства. Значе ние А. принимается равным сумме интенсивностей отказов
Хо и сбоев <кс: А , = < Х о + Л , с - |
безошибочной информации |
Вероятность получения |
|
(на выходе контролируемой |
аппаратуры), для получения |
которой затрачено время т и выполнено xlU контролируе
мых операций, |
равна: |
|
|
или при t > х |
i=o |
\ |
(6-Ю) |
|
| |
|
|
Переходим |
к 'инженерной оценке |
значения ^ [t<т) |
|
для некоторых |
часто используемых |
методов |
контроля. |
173
Наиболее простой случай — устройство состоит из п независимых и идентичных каналов, каждый из которых является неизбыточным и характеризуется интенсивно стью возникновения ошибок Л. В данном случае крат ность ошибки на выходе устройства / равна количеству неправильно работающих каналов i. В связи с тем, что устройство является неизбыточиым, рц явным образом не зависит от времени t и
^ (1 при i = /;
з г |
(О при |
Пусть используемый код имеет минимальное расстоя ние d, т. е. позволяет обнаружить любую ошибку крат ности d—1 или менее. Пренебрегая вероятностью обна ружения ошибок более высокой кратности, т. е. полагая £j = 0 при j^d, из выражения (6-9) с учетом сделанных выше замечаний получаем:
(/„) = e~nkt° |
+ J J ( « ) в - " - '> л '° (1 - |
е - " у , |
/=|
где Л — интенсивность возникновения ошибок в одном канале.
При малых значениях Л^о и /<Ся вероятность появле ния ошибки кратности / можно вычислить по формуле Пуассона:
(/")
Отсюда при с?<С/г
/=i |
/=о |
Раскладывая в последнем выражении экспоненциаль ную функцию в ряд, после соответствующих преобразо ваний получаем:
^ к ( ' , ) « 1 ~-ж(Юа- |
( 6 - п ) |
Выражение (6-11) позволяет оценить достоверность информации на выходе контролируемой аппаратуры, если ошибки на выходах устройства (канала передачи — хра нения информации) независимы и характеризуются одним и тем же значением интенсивности Л.
174
Например, при контроле количества единиц на четность или не четность (этот код имеет минимальное расстояние d= 2 и содержит один контрольный разряд)
*\ |
(к) ~ |
1 - |
л 2 (Ш72 = |
1 - |
(k + |
I ) 2 (А/,)2/2. |
|
Вычислим |
значение |
('о) для устройств |
(дзоичные сумматоры, |
||||
счетчики, сдвигающие регистры), в которых |
используется |
арифмети |
|||||
ческий разделимый |
код, |
порождаемый |
одним |
модулем |
(обычно |
||
выбираемое значение |
модуля равно 3 или 7). Напомним, |
что в дан |
ном случае используется понятие арифметического расстояния и
кратность ошибки па выходе устройства |
равна количеству неправиль |
|||||||||||
но работающих |
каналов. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Код, |
порождаемый |
модулем 3, содержит два контрольных |
раз |
|||||||||
ряда и позволяет обнаружить любую одиночную |
ошибку (вида |
4^2'), |
||||||||||
50% двойных |
и 75% тронных ошибок |
(табл. 5-5). И з (6-9) |
|
|||||||||
|
il\ (Q |
= e~nLi" |
+ ( " ) е - 1 |
|
" - |
' } |
А ' ° (1 - |
<?~л<0 ) + |
|
|||
|
|
+ |
0,5 |
( ^ е - ( " - 2 ) Л / 0 |
( |
| |
_ е - А < 0 ) |
2 + |
|
|||
|
|
+0,7 5 ( |
g ^ e - ( " - 3 ) A ' » ( l — e - A ' o ) i |
|
||||||||
или после соответствующих упрощений |
|
|
|
|
||||||||
(Q ъ |
1 - |
п(п— |
1) |
(Л/„)2 = |
1 - |
|
(/г + |
2 ) ( й + 1 ) |
|
|||
* 4 |
' |
t |
^ |
V |
(Л*„)*. (6-12) |
|||||||
Код, |
порождаемый |
модулем |
7, содержит три контрольных |
раз |
ряда и позволяет обнаружить любую одиночную ошибку, 85% двой ных и около 86% тройных ошибок. Поэтому
|
^ к ( С о ) = е - л Л ' ° + | " j <?-("-') л / 0 ( 1 _ е - л л , ) |
+ |
|||||
+ |
0.85 ( £ ) |
' ~ ( " ~ 2 ) А ' ° |
(1 - |
е~к'Г |
+ 0,86 ( з ) Х |
||
|
|
Хе~[п~3) |
л ' ° (1 — й _ А ' » ) 3 |
|
|||
или после соответствующих упрощений |
|
|
|||||
«^к (Q |
1 — 0,15 (л - |
1) л ( A / 0 ) 2 = |
1 — 0,15 (Л + 2) (6 + |
3) ( Л д 2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(6-13) |
Полученные |
для |
неизбыточных |
устройств |
значения |
|||
^ к ( ^ 0 ) |
позволяют |
оценить |
Зк(%). |
В частности, для |
устройств с независимыми ошибками, учитывая выра жения (6-10),
^ , W « [ l - / i d ( A / 0 ) « / d ! ] T / \
175
Так как nd(M0)d/dl<^l, то, ограничиваясь первыми двумя членами формулы Ньютона, имеем:
S\(x)~l-,i*(At0)^ld\t0. (6-14)
Аналогичное выражение можно получить для арифме тических кодов:
М * |
1 - п (а - |
1) (Л*0 )Ч/4/в = 1 - |
л ( я - 1 ) |
A V / 4 |
(порождающий модуль равен 3); |
|
|
||
^ к |
(%) « 1 - |
0,15 (/г - 1) ii (At0)\/t0 |
= 1 |
- |
|
- 0 , 1 5 ( / г - к 1 ) > Л 2 / 0 т |
|
|
(порождающий модуль равен 7).
Уменьшение вероятности выдачи неправильного от вета из контролируемой части аппаратуры по сравнению с отсутствием контроля процесса получения ответа равно:
— i — ^>к(х) ^ л" (Af0)"VdK0 ~ л" (Л*.)*-! '
Например, пусть /г=20; d = 2 ; Л = 1 0 - 2 |
1/ч; <t0=\0-5 с, |
тогда |
|
9 * ~ 2 1 M 2 0 : M 0 - ° = 0 - 0 9 - 1 0 7 ~ 1 Q 8 |
Р й 3 - |
Этот простой пример дает наглядное |
представление |
о высокой эффективности использования корректирую щих кодов для обнаружения ошибок, т. е. повышения достоверности получаемой информации. Правда, реаль
ный |
выигрыш |
в достоверности |
будет меньше |
в связи |
с наличием неконтролируемой |
аппаратуры. |
|
||
В |
заключение |
оценим J*x(t, т) |
для избыточного |
устройства |
(рис. 6-8). Пусть используемый корректирующий код имеет мини мальное расстояние d=4, т. е. позволяет исправить любую одиноч ную ошибку и обнаружить любую ошибку кратности два в устрой стве А. Исправление и обнаружение ошибок производится следую щим образом. С помощью СД вычисляется г-разрядный корректор. Д л я обнаружения корректоров, соответствующих одиночным ошиб кам, используются конъюнкоры &, каждый нз которых содержит г
входов. Выходы коныонкторов соединены с сумматорами по |
моду |
лю 2, с помощью которых производится исправление ошибки. |
Сово |
купность этих п сумматоров но модулю 2 назовем блоком коррекции (БК) . При возникновении на выходе устройства А любой ошибки кратности 2 значение r-разрядного корректора отлично от нуля и не совпадает ни с одним из значений корректоров, на которые «настрое ны» схемы совпадения. Поэтому на выходе собирательной схемы, подключенной к выходам первой СД (СД1), возникает сигнал, а на
176
выходе собирательной схемы, подключенной к выходам &, |
сигнала |
не возникнет и на выходе сумматора по модулю 2 появится |
сигнал |
«ошибка». Рассматриваемая схема контроля позволяет также обна ружить часть ошибок, которые могут возникнуть в СД1 и схемах совпадения. Например, если устройство А и СД1 работают безоши бочно, т. е. значение корректора равно нулю, а на выходе одной из схем совпадения возникнет сигнал, то будет выработан сигнал «ошиб-
Ошибка
Рис. 6-8. Структурная схема устройства с коррекцией одиночной ошибки и обнаружением ошибок более высокой кратности.
А — устройство с избыточным |
количеством выходов; |
СД — схема вычисле |
|||||
ния /--разрядного корректора; |
БК — блок |
коррекции. |
|
||||
ка». Кроме того, некоторые |
ошибки в |
СД1 |
могут приводить |
к появ |
|||
лению корректоров, которые |
не |
совпадают |
с |
корректорами |
одиноч |
||
ных ошибок. Назначение СД2 будет пояснено |
ниже. |
|
|||||
Относительно устройств |
А, СД1, |
схем |
совпадения & и |
режима |
|||
эксплуатации сделаем следующие |
предположения. |
|
|||||
1. Устройство А состоит |
из |
п независимых |
и идентичных кана |
лов, каждый из которых характеризуется интенсивностью возникно вения ошибок
|
|
Л = Л 0 + Л с , |
|
|
где |
Ло — интенсивность |
возникновения |
отказов; Л 0 |
— интенсивность |
возникновения сбоев. |
|
|
|
|
|
2. Интенсивность возникновения ошибок в СД1 |
равна: |
||
|
|
А , = А о +Яе, |
|
|
где |
Я,о, %а — интенсивности отказов и |
сбоев соответственно. |
||
|
3. Суммарная интенсивность возникновения ошибок в схемах |
|||
совпадения равна К*. |
|
|
|
|
|
4. Ремонт схемы в |
процессе работы |
не производится. |
С целью упрощения расчетов будем пренебрегать вероятностью обнаружения ошибок кратности 3 и более. Эти, а также другие упрощения, которые вводятся ниже, приводят к некоторому умень шению реального значения достоверности и потому вполне допу
стимы. |
|
12—236 |
177 |
Учитывай сделанные предположения, сформулируем условий, при которых при выполнении контролируемой операции длительно
стью /о, начинающейся в момент |
времени |
/ (рис. 6-2), в |
контролируе |
||||
мой |
части |
аппаратуры |
будет |
получена |
безошибочная |
информация |
|
И Л И |
возникнет обнаруживаемая |
ошибка. |
К контролируемой части |
||||
аппаратуры |
относятся: А, СД1, |
схемы совпадения. |
|
||||
|
Искомая вероятность |
3**(t, to) равна |
произведению |
вероятности |
отсутствия к моменту времени / необнаружпваемых отказов в конт ролируемой части аппаратуры на вероятность получения безошибоч ной информации или возникновения обнаруживаемой ошибки в тече ние выполнения операции длительностью /о. Первый из этих сомно
жителей можно определить как вероятность |
безотказной работы |
СД1 |
|||||||
в течение времени |
/: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
при условии |
отсутствия |
отказов |
в |
устройстве А |
||||
в течение времени' I возникновение отказа |
в |
СД1 |
может |
привести |
|||||
к трем |
возможным |
последствиям: |
|
|
|
СД1 |
|
|
|
1) |
значение г-разрядного корректора на |
выходе |
равно |
||||||
нулю; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
значение корректора соответствует одиночной ошибке; |
|
|||||||
3) |
значение корректора не равно нулю |
и |
не соответствует |
оди |
|||||
ночной |
ошибке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
этих трех |
последствий |
самым неблагоприятным |
является |
второе, так как при этом происходит ложная коррекция одного из выходов устройства А (необнаруживаемый отказ).
Для |
конкретной схемы СД1 |
можно |
оценить условные |
вероят |
||
ности pi, |
pa, |
рз рассматриваемых |
последствий (Р1+Р2+Рз = |
1). Ори |
||
ентируясь |
на |
наиболее неблагоприятный |
случай, когда р2^> |
|
(pi+Pa), |
т. е. Р2«1, вычисляем вероятность отсутствия к моменту времени /
необнаруживаемых |
отказов в |
контролируемой |
части |
аппаратуры: |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
V (1 _ е- V ) ^ i _ iot |
|
|
|
|||
при |
i u W < ! l , Xot<^\, |
что |
совпадает с |
выражением (6-15). |
|
|
||||||
|
При |
оценке |
вероятности |
получения безошибочной |
информации |
|||||||
или |
возникновения |
обнаруживаемой |
ошибки в |
течение времени |
to |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6-1 |
||
|
|
|
|
Количество ошибок |
|
|
|
|
|
|||
Состояние |
А |
|
за |
время |
ta |
|
Примечание |
|
|
|||
в момент |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
А |
СД1 |
& |
|
|
|
|
|
|
Отказов |
нет |
0 |
0 |
_ |
Информация |
не |
содержит |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ошибок или ошибка |
обнару |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
живается |
|
|
|
|
То |
же |
|
|
1 или 2 |
0 |
Ошибка исправляется |
или |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
обнаруживается |
|
|
||
Одиночный |
0 или 1 |
0 |
0 |
То же |
|
|
|
|||||
отказ |
|
|
— |
— |
— |
Отказ |
обнаружен |
|
|
|||
Более |
одного |
|
|
отказа
178
необходимо учесть три возможных состояния устройства Л к момен
ту t: 1) в А |
отказов |
нет; 2) в Л существует в точности один отказав |
ший канал; |
3) в Л |
существует два или более отказавших каналов. |
В табл. 6-1 приведены доп}'сшмые количества ошибок в контроли руемых блоках в зависимости от исходного (в момент f) состояния устройства Л, при которых гарантируется отсутствие необнаружен
ных ошибок. В табл. 6-1 приняты |
следующие |
обозначения: 0 — нет |
||||
ошибок, |
1 или 2 — одиночная или двойная ошибка, |
допускает |
||||
ся любое |
состояние блока. |
|
|
|
|
|
Учитывая |
(6-15), на основании |
табл. 6-1 |
получаем: |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—nA0tX |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
X |
(иА„0 |
.•/„ ^ |
("MO |
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
+ |
^ 2 j j ^ l > |
( 1 _ V |
) ^ x |
||
|
|
^ |
(/Ш0 )< |
|
|
|
|
|
2j—71- |
|
|
x |
|
|
|
/ =0 |
|
|
|
|
|
Х , - - » ( п А 0 0 ^ ^ - - Ь ^ ( |
^ } ; |
||||
|
|
i=0 |
i= 2 |
|
' |
X
b=0
X
: ( 1 - М ) [ 1 - ( А + Л*) t0] X
|
i =0 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
+ i - |
|
|
|
2 |
J |_ |
|
( " + ! ) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 - Х в |
* - ( \ + |
л * ) < л - ( л Л * 0 ) * / 2 |
(6-16) |
|||
при M < 1 , (X + |
X*) f0 < |
1, |
/ Ш 0 < 1 |
, |
п Л 0 < < 1 . |
|
|
С помощью |
(6-16) |
можно |
также |
оценить достоверность |
инфор |
мации, для получения которой затрачено время т и выполнено т/^о
контролируемых |
операций: |
|
J>& |
(г, г) ^ 1 - V —:(*• + А*) ' — (лАд*х/2«в . |
(6-17) |
12* |
179 |