книги из ГПНТБ / Хетагуров, Я. А. Повышение надежности цифровых устройств методами избыточного кодирования

где F(x) —полином степени /г', который должен делить­ ся на G(x). Вообще говоря, в качестве многочлена F(x) можно выбрать любой полином степени я' с ненулевым свободным членом, который делится на G(x). Однако обычно этот полином отыскивается в виде

где k' — количество информационных символов в уко­ роченном коде,

90

Учитывая, что F(x) должен делиться на й(х), по­ лучаем:

R(х) = — х ' г _ ( 4 ' + 1 ) по модулю G(x),

где п — длина исходного циклического кода. Таким об­ разом, F(x) является полиномом обратной связи и при операции сдвига содержимого регистра кодовое слово (псевдоциклического кода) переходит в кодовое слово.

Например, в результате укорачивания на один разряд цикличе­ ского кода (7,4), порождаемого полиномом G(x) = l+xz+x3 (см. табл. 3-3), получаем систему разделенных контрольных соот­ ношений

Si=s 2 +s 4 ;

в регистре воздействует только на контрольные символы, не изменяя Л'=3 информационных символов. Поэтому при выполнении /г'=3 сдвигов на выходе мажоритарного элемента будут получены к' ин­ формационных СИМВОЛОВ S\, So, s3.

Г л а в а ч е т в е р т а я

НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ КОДИРОВАНИЯ И ДЕКОДИРОВАНИЯ

4-1. СВЕРТОЧНЫЕ К О Д Ы 1

Изучение сверточного кодирования и декодирования целесообразно начать с рассмотрения наиболее просто­ го случая, соответствующего скорости передачи £/«=1/2

1 Иногда их называют рекуррентными или непрерывными.

91

Двоичных единиц на выходной символ. В рассматривае­ мом случае кодер содержит один' вход и два выхода (рис. 4-1). В каждый дискретный момент времени на вход поступает информационный символ s, а с выходов

где с " — символ, считываемый со 2-го выхода в момент времени /.

Входную и выходные последовательности можно представить в виде полиномов

причем по условию С (х) = G (х) S (х). Полином G(x) на­

оказывать влияние на выходную контрольную последо­

92

При необходимости передачи информации по одному каналу связи на выходе кодера включается специальная коммутирующая схема, так как в каждый дискретный момент времени на его выходе возникают два символа.

По сравнению с ранее рассмотренными кодами, в ко­ торых кодовые слова имеют фиксированную длину /г разрядов, специфика сверточных кодов состоит в том, что они имеют древовидную структуру. Рассматривае­ мый бесконечный код можно описать с помощью сле­ дующей бесконечной порождающей матрицы:

Рис. 4-2. Древовидная структура сверточного кода, описываемого матрицей (4-2).

93

ных кодов. Вследствие помех принятые последователь­ ности отличаются от переданных, т. е.

S"{x)=S{x)+Bl)(x)\

C*{x)=C{x)+EW(x),

где

— шумовые последовательности, наложенные на ин­ формационную и контрольную последовательности. Если принятую информационную последовательность (воз­ можно искаженную) S*(x) закодировать и сложить (по модулю 2) с принятой контрольной последователь­ ностью, то получим корректирующую последователь­ ность (аналог синдрома или корректора в случае бло­ ковых кодов):

определяется исключительно шумами.

Схема КУ для сверточного кода, порождаемого по­ линомом G(x)*=g0+gix+ ... +grxr, показана на рис.4-3. После поступления на вход декодера г информационных символов (s*o, s*t, ...., s*r_i) содержимое ячеек нижнего регистра будет равно (k,—i, ..., k u k 0 ) . В следующем такте на информационный вход поступает символ s*r и вычисляется значение k r .

94

новой символ fig1' . Этот алгоритм реализуется с помощыо ЛС. Если бд1 '. 1,, то значение о0s0* инверти-

руется, т. е. So = s*o+e(1)o, и одновременно с помощью обратной связи производится коррекция содержимого нижнего регистра для исключения влияния е<-% Необхо­ димость коррекции легко усмотреть из выражения

К(х) = (x)G(х) + £<3Г(л-) = е{0]) G(х) +

О ,

+ e\])xG(х) + . . . + e'"jcr G (х) + £<=> (х).

Таким образом, если значение е^'о было определено правильно, то влияние этого символа на корректирую­ щую последовательность устраняется и с помощью того же алгоритма вычисляется e^i и т. д.

Рассмотренная схема декодирования имеет два су­ щественных недостатка: 1) в общем случае реализация

. S2, Si, SO

SJ. Si, Sg

Рис. 4-3. Схема КУ для сверточного кода, порождаемого полино­

ЛС требует больших затрат оборудования; 2) если при декодировании произошла ошибка (значение e^k опре­ делено неверно), то из-за наличия обратной связи в ниж­ нем регистре возникает так называемый «эффект раз­ множения ошибок», вследствие которого информацион­ ные символы Si+i, S j + 2 , .. . будут декодированы неверно.

Для устранения первого недостатка используются сверточные коды, допускающие мажоритарное декоди-

95

в систему контрольных соотношений. Имеет место оче­ видное неравенство m*<m. Для кодов с разделенными проверками при скорости 1/2 из (4-6) непосредственно следует, что

m*=N{N+\)l2 + \.

Смысл введенного понятия эффективного кодового ограничения становится совершенно ясным из утвержде­ ния: если количество возникших ошибок на длине пг* разрядов не превосходит [N/2], то символ е<-% может быть правильно декодирован с помощью мажоритарного элемента.

В табл. 4-2 представлены параметры сверточных ко­ дов при скорости передачи 1/2, полученных в соответст­ вии с табл. 4-1.

Неравенство m*<^m является нежелательным, так как в этом случае уменьшается эффективность исполь­ зования аппаратуры кодера и декодера. Поэтому были предприняты попытки найти такие сверточные коды, допускающие мажоритарное декодирование, чтобы

Т а б л и ц а 4-2

т * ~ т [Л. 30]. Эти коды были найдены вручную Месси, который для построения разделенных проверочных со­ отношений вычислял линейные комбинации строк мат­ рицы (4-5). Найденные им коды, соответствующие 1г/п = = 1/2, приведены в табл. 4: 3. •

38(2, 3, 16, 24, 26, 35)

Вкачестве примера построим схему декодера для свергочного кода с реализуемым кодовым расстоянием 8=N=A. Из табл. 4-3 на­

ходим порождающий полином G(x) = l+x3+xi+xs. При этом значе­

получаем схему КУ (рис. 4-4).

Для конструирования сверточных кодов с разделен­ ными проверками может быть использовано понятие со­ вершенного разностного множества [Л. 31]. Совокуп­ ность вычетов {cti, аг, . . . , ая) по модулю А называют 98

совершенным разностным мнооюеством, если всякое чис­ ло аФО по модулю А может быть выражено % спосо­ бами в виде разности

•а,—а;=,а по модулю А,

где си, а, — элементы разностного множества.

Для одного и того же модуля А может существовать несколько совершенных разностных множеств с различ-

жества, для которых А,= 1, ибо только в этом случае, как

мо уметь строить разностные множества с максимально возможным для данного А числом членов (число членов

называется ассоциированным с М полиномом и являет­ ся порождающим полиномом сверточного кода с разде-

99