книги из ГПНТБ / Хетагуров, Я. А. Повышение надежности цифровых устройств методами избыточного кодирования

называемой порождающей пли генераторной. Из опре­ деления базиса следует, что совокупность всех линейных комбинаций вектор-строк матрицы G, называемая про­ странством строк, образует векторное пространство раз­ мерности in.

Например, в качестве порождающей матрицы векторного пространства V„, образованного выше введением операций сложения по модулю 2 и умножения на скаляр над множеством я-разрядиых двоичных слов, может быть выбрана единичная матрица порядка п

слов, являющееся подпространством пространства Vn размерности п.

Для получения корректирующего кода длиной а раз­ рядов с заданным минимальным расстоянием d необхо­ димо выбрать некоторое подмножество Vk из Vn та.кпм образом, чтобы V), являлось векторным подпространст­ вом пространства У,,, а расстояние между любыми дву­ мя векторами из Vk должно быть не меньше требуемого значения d. Индекс k в обозначении векторного подпро­

равенства следует вывод: минимальное расстояние d линейного группового .кода равно минимальному весу его •ненулевых элементов.

Выбрав в Vk k базисных векторов, получим порож­ дающую матрицу G линейного кода. Перестановка столб­ цов и элементарные преобразования над строками ма­ трицы G (в алгебре под элементарными преобразования­ ми понимаются: перестановка любых двух строк матри­ цы, прибавление к одной строке другой, умноженной но

зО

скаляр) не изменяют пространства строк и, тем самым, минимального расстояния d. Любая матрица G с помо­ щью -указанных преобразований может быть приведена к виду

прямоугольная матрица размером (1Х/г). Произведение1 этой матрицы на матрицу G' равно:

равенства следует, что первые k .компонент выбираются

торых связаны условием: число столбцов первой матрицы равно числу

У=1

31

Таким образом, процедура кодирования (п, к) -кодом сводится iK решению (п—k) уравнений (2-1), позволяю­ щих вычислить значения контрольных разрядов. Исходя из этих уравнений можно записать матрицу Н размером

ному разряду кода, при этом столбцы подматрицы At соответствуют информационным разрядам, а столбцы ма­ трицы 1„_/£ — контрольным. Позиции единиц в i-м век­ тор-столбце подматрицы At показывают, в .каких кон­ трольных соотношениях типа (2-1) участвует г'-й инфор­ мационный разряд, т. е. значения каких контрольных разрядов зависят от значения t'-ro информационного раз­ ряда. Позиции единиц в г'-й вектор-строке .подматрицы А / показывают, какие разряды включаются в г'-ю сумму по модулю 2, значение которой приписывается t'-му кон­ трольному разряду.

Например, пусть контрольная матрица Н имеет вид:

Тогда при кодировании числа 1001 получаем 1001.001. Действи­ тельно, из первой вектор-строки Н следует, что значение первого контрольного разряда (счет информационных и контрольных разря­ дов условимся вести слева направо) равно сумме по модулю 2 зна­ чений первого, второго и четвертого информационных разрядов. В со­ ответствии с этим для кодируемого числа получаем 1+0 + 1=0. Ана­ логично вычисляются остальные разряды.

Матрицы С и Н связаны следующим легко-проверяе­ мым соотношением:

32

2-2. к о д ы х э м м и Н г А

Коды Хэмминга с минимальным расстоянием d=S наиболее просто описываются с помощью контрольной матрицы Н. Из теоремы 2-1 следует, что матрица Н, вектор-столбцы которой различны и отсутствует нулевой столбец, соответствует коду с минимальным расстоянием d=3. Действительно, в этом случае не существует таких двоичных коэффициентов ai и а2 , одновременно не рав­ ных нулю, что

где h\ и hj — вектор-столбцы рассматриваемой матри­ цы Н.

Для определенности выберем в качестве вектор-столб­ цов матрицы Н различные четырехразрядные двоичные числа (исключая число нуль):

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 н = 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Перестановкой столбцов, содержащих одну единицу, показанную матрицу можно привести к виду

(15, 11) с минимальным расстоянием d=3. Использова­ ние такого кода позволяет исправить любую одиночную ошибку или обнаружить произвольную ошибку кратно­ сти 2. Если нумерацию информационных и контрольных, разрядов разделимого кода производить слева направо, то в соответствии с матрицей Н получаем систему ли­ нейных уравнений, с помощью которых вычисляются кон­ трольные разряды

c,== - ,+s e +s 7 + se + s i + s 1 0 + s11; '

^ = s2 + s3 + s4 + s8 + so + sio + s n; . (2-6)

желательным. В этом случае необходимо предусматри­ вать только обнаружение ошибки (принятое слово содер­ жит ошибки, если корректор не равен нулю). Доля Pi обнаруживаемых ошибок кратности i ( i ^ 3 ) определяет­ ся из соотношений

возникновении которых сумма соответствующих столб­ цов матрицы Н не равна нулю.

Резюмируя вышесказанное относительно кода Хэмминга, можно отметить следующее: этот код с г кон­

В табл. 2-1 приведены параметры неукороченных кодов этого класса, 'представляющих интерес с точки зрения их использования в ЦВМ.

Значение отношения kin является важной характери­

в табл. 2-1 приведены параметры кодов с минимальным расстоянием d=4. Эти коды получаются из вышерассмотренных кодов Хэмминга добавлением одного кон­ трольного соотношения, представляющего собой резуль­ тат суммирования по модулю 2 всех разрядов кодового слова. При этом контрольная матрица Н [на примере

37

рассматриваемого нами кода (15, l l ) j имеет вид:

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1,0 о о 1 1 1 1 о 1 о о о

Hje.u"—[J 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 I 0 I 0 I 0 0 0 I 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

В этом случае операция кодирования может выпол­ няться б два этапа. На .первом этапе вычисляется кодо­ вое слово при использовании матрицы Н, соответствую­ щей коду с d=3, а на втором этапе добавляется один дополнительный .контрольный разряд, в котором записы­ вается результат суммирования по модулю 2 всех раз­ рядов кодового слова, полученного на первом этапе. Таким образом, коды Хэмминга с d=A имеют парамет­ ры: п—2г разрядов, из которых (г + 1) являются кон­ трольными.

из двух самостоятельных операций: 1) вычисления /--раз­ рядного корректора, соответствующего коду с d=3; 2) .проверки последнего контрольного соотношения. Воз­ можные результаты выполнения этих операций и соот­ ветствующие им выводы приведены в табл. 2-2.

Дополнительное контрольное соотношение, вводимое для увеличения минимального расстояния кода Хэммин­ га, можно представить следующим образом:

38

Учитывая (2-6), после линейных преобразований по­ лучаем:

Система уравнений (2-6) и шоследнее соотношение для с5 позволяет записать контрольную -матрицу для рас­ сматриваемого разделимого кода в виде

Если контрольная матрица кода с минимальным рас­ стоянием d=4 приведена к виду Н = ||А1||, то процедура декодирования может выполняться следующим образом:

1)вычисляется корректор;

2)сравнивается корректор (если последний не равен

нулю) с вектор-столбцами матрицы Н и при совпадении с одним из столбцов фиксируется местоположение ошиб­

Иногда при практическом использовании кодов встречается за­ дача получения укороченного кода с заданным минимальным рас­ стоянием (d=3 или 4). Пусть, например, требуется получить - код, содержащий 10 информационных разрядов (4=10). Из табл. 2-1 видно, что неукороченные коды содержат k=A разряда, что недоста­ точно, или k—М разрядов, что больше требуемого. Укороченный код строится следующим образом. Записывается матрица Н для неуко­ роченного кода (с требуемым минимальным расстоянием), в котором количество информационных разрядов k больше требуемого kr. За­ тем отбрасываются произвольные (k—k') столбцов подматрицы А и

38