Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хетагуров, Я. А. Повышение надежности цифровых устройств методами избыточного кодирования

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

8.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Это название связано			с тем, что, как было					доказано		Адамаром,
определитель некоторой		матрицы пор'ядка п из элементов								± 1	дости
гает максимального значения л " ' 2				тогда			и только тогда, когда				стро
ки матрицы ортогональны.
А,,-матрица	порядка		п. (л четно)				обладает		следующим		заме
чательным свойством. Если в А-матрнце							все элементы —1 заменить
на 0, то расстояние (по Хэммингу)				между любыми					двумя	ее строка
ми будет в точности равно н/2.
Например,
			1	1		1
	А4		1—1			1—1
	А4		1	1—1—1
			1	1—1—1
			1 —1 —1				1
В качестве	кодовых	слов выберем				строки матрицы А4 (при этом
-1 заменяется	на 0), а также их дополнения							по модулю 2:
			1 1 1 1
			1 0			1 0
			1 1 0			0
			1 0		0 1
			0	0 0 0
			0	1 0 1
			0	0J		1
			0	1 1 0
Полученное	кодовое		множество		содержит			т = 2 - 4 = 8		слов, ми

нимальное расстояние между которыми равно d=4/2=2, что соот ветствует оценке (4-17).


	Таким образом, если известна А„-матрица, то аналогичным об
разом		можно	построить код с параметрами: т = 2 л ,					d=n/2.
	Если в кодовой			книге, построенной			вышеописанным способом
с	помощью		An-матрицы, вычеркнуть крайний правый столбец
(в	принципе		можно вычеркнуть любой столбец), то в полученном
коде минимальное расстояние					уменьшится на 1 и его параметры
равны: т=2п,			d=n/2—1. Обозначим длину кодовых					слов через п*=
=n — 1,		тогда	параметры кода		(выраженные через его длину) равны:
т=2(п*		+ \),	2d+\=n*,	что соответствует			оценке (4-19).
	Прежде чем сформулировать					условие существования кодов, удов
летворяющих			оценкам	(4-17)	и	(4-19), следуя В. И. Левенштейну,

введем понятие «правильного числа к». Натуральное число k будем называть правильным, если существует А„-матрица порядка n=4k. Тогда условие существования кодов с заданными значениями d и п


можно сформулировать следующим образом: если d=2k,					n=2d=4k
или d—2k—1, re=4fe—1, то для справедливости				формулы	/п=2п=8/г
необходимо и достаточно, чтобы число k было				правильным.
Теперь необходимо рассмотреть метод построения кодов с за
данными	п и d, соответствующими	оценкам	(4-16) и (4-18). Пусть
заданы	матрицы A=\|la<jli и	В = \|\|6; д \|\|,	0 < t < m b		О^/г^/г,,

120

0 ^ / ^ m 2 , O ^ A ; ^ n 2 . Определим операцию							присоединения			матриц А
и'В	следующим	образом:
			«11^,2		• • • « ! „ ,	^11*12	•••		Ып2
	А +	В :	Я 2 \| Я	2 2	• • - Я 2 л ,	^21^22	•••		Ь2п2
	А +	В :
			« m i «m2' • •атп.			^ п и ^ т г -		• - Ь,
									П1Ла
где	т = м и н (т,,	т2). Операция присоединения							может быть выпол
нена и над одной и той же матрицей,						например			А + А + А = З А .
	В основу построения			рассматриваемых				ниже кодов		положен

следующий факт: если строки матрицы А образуют код с парамет

рами

;t|, d\ и /П[, а

строки

матрицы

В — код с параметрами

п2, d2

и пг2,

то

строки

матрицы а А + 6 В ,

где а

Ь — целые неотрицатель

ные числа, образуют код с параметрами

n =

ani+bn2;

d=ad\+bd2,

/я=мин {mi,

mi).

Если

2d>n^d

k=[d/(2d—я)],

где (И

означает

целую

часть

числа

х,

то алгоритм

построения

кода,

соответствующего оценкам

(4-16) и (4-18), будет следующим:

По заданным

значениям

d, п и ft из системы

уравнений

ka + (ft +

1) 6 =

(4-20)

(2k— 1) +

(2ft +

1) 6

вычисляются значения а и 6.

Т а б л и ц а

4-10

Условие

существо

2d—л

вания кода

Матрица

(число

пра

вильное)

Четное Дробное

Нечетное Дробное Четное

Нечетное Дробное Нечетное

Четное Целое

Нечетное Целое Четное

ft И k + 1 А = - f - А"4 „ + - у A " 4 ( f t + 1 )

2~ и ft+1

k+l

2 и *

ft 2

			6
A =	aA' 2 S	+	- 2 - A " 4 ( h + 1 )
	a
А =	-тг A ' ^ - f ЬА'2 („+ 1 )
	д	a	All t
	л — 2		4h
	A =		а А ' 2 Л

2. Если d четно, то условия существования соответствующего кода и способ вычисления его матрицы представлены в табл. 4-10. Если же d нечетно, то в табл. 4-10 числа d и п заменяются соот ветственно на d-1-l н

В табл. 4-10 через А',, и А " п обозначены матрицы, получаемые из An-матрнцы следующим образом. Если в исходной А„-матрице крайний правый столбец поразрядно сложить со всеми к столбцами

матрицы, то правый столбец полученной						А * п матрицы			будет		со
стоять из нулей (минимальное расстояние						в	полученной		таким		об
разом матрице остается равным nj2). Матрица								А'„ получается из
матрицы	А*„ отбрасыванием столбца				из всех		нулей, а A " , i —			отбра
сыванием	двух	последних	столбцов		A * n	и	всех	строк,	у которых
в предпоследнем		столбце	(матрицы		А*„) стоит			нуль. Заметим,			что
минимальное расстояние между				строками		А'„ и		А" „ остается			рав
ным /г/2.
Например, пусть требуется				построить		код с параметрами:				/г=20
разрядов,	rf=12.	Тогда £=[12/(24—20)1=3, из уравнений							(4-20)		на
ходим: я = 4 , 6=0. Так как п — четное,						rf/(2d—п)—целое,				то	из

табл. 4-10 следует, что требуемый код существует, если число k—3

правильное. Кодовыми словами являются строки матрицы
А = ^ - А " 4 Н = 2 А " , 2	(4-21)

которая построена в конце параграфа.

В заключение рассмотрим некоторые теоремы (без доказатель ства) о существовании Ая -матриц.

Теорема 4-1. Если существует' АП 1 -матрица и АП з -матрица, то

существует An-матрнца порядка ft=/ti/i2.

Метод построения искомой Ап -матрнцы заключается в том, что вместо каждого элемента АП 1 -матрнцы подставляется АЛ з -матрнца,

умноженная на этот		элемент.
	Простейшая А2 -матрпца имеет вид:
		А . =	1	1
		А . =	I	—1
			I	—1
	Таким образом, согласно теореме 4-1 всегда может быть по
строена An-матрица		порядка	я = 2 ' , где i — любое целое положитель
ное	число. Например, из А 2		в соответствии с изложенным алгорнт
мом	получаем:
				1

А 4	=	I	—	А 8 =
		I	—
		1 —1

122

Теорема

4-2. Если

р—Р\ ,

где а — Натуральное

число,

p i — не

четное простое

число вида

Ak—1, то существует An-матрица

порядка

п=р+1.

какого порядка п могут быть

Из табл. 4-11 видно,

построены

А„-матрицы согласно теореме 4-2, если ос=1.

Т а б л и ц а

4-11

4k— 1

Р =

Р*

З 1

111

—

19'

23'

31'

371

—

43'

471

п =

р+1

—

Построение

А„-матриц

порядка

пф2{

связано

с использованием

понятия «символ Лежаидра», применяемого в теории чисел

[Л. 39].

Рассмотрим сравнение второй степени по модулю простого

числа

Pi>2

= а

pt).

х 2

(модуль

Если

0 < а ^ / ? | — 1 ,

то

это сравнение либо име<,г два

решения

(х0 ; —.to), либо

не имеет

ни одного решения. Все числа

a ( 0 < a ^

^ / J i — ' К

для которых

рассматриваемое

сравнение

имеет

два ре

шения,

называются

квадратичными

вычетами по модулю

Р\ и

соот

ветственно

все

числа а, для которых не существует

решении,—•

квадратичными

невычетами

по этому модулю. По любому

p i > 2

чис

ло

квадратичных

вычетов

равно

числу

квадратичных

невычетов.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы а было

квадра

тичным

вычетом по простому модулю Pi>2, является

справедливость

сравнения

a(Pi—])1-=[

по модулю

pt.

Если же

a (Pi—4/2 = — 1 П 0

модулю

Pi,

то а будет квадратичным

невычетом

(критерий

Эйлера).

Символ

Лежандра

для числа a по простому

модулю р\>2

будем

записывать

в виде

(a/Pi),

причем

(__

j +11

если а — квадратичный

вычет по модулю р , .

Pi )

\—1,

если а — квадратичный невычет по

модулюР\.

Согласно критерию

Эйлера

а(Р1~^/2=(а/р,)

по модулю

р, , в частности

(—1/р,) =

( — 1 ) ( л —

по модулю

Pi.

В теории чисел доказываются следующие свойства

символов

Лежандра:

(a2 /Pi) = l , в частности

( l / p i ) = l ;

(a,a2 ... anlpi) = (a,/pi) . . . (a„/pi).

123

Матрицы Адамара, Которые существуют согласно теореме 4-2, строятся следующим образом:

	An = \\qti\\,		0 < « , / < Л ,		(4-22)
где элементы
((/	— 1,	если	0 < i ,	— 1 и i = j;
((/	—О/А),	если	0 < i ,	/ < / > , — 1 и	1ф\\
	1,	если	i = pi	или j = /?,.

В связи с тем что вычисление символов Лежандра с помощью критерия Эйлера является очень трудоемким процессом, укажем сле

дующий

способ вычисления

(а/р).

Если

я =

р*'р2'

••• pi* — каноническое разложение

а, то

(а/р)

= [р,/р)^

(рг/р)**...

(р,/р)а°,

причем,

так как

(pi/p) 2 = 1,

то можно

оставить

и притом

только

первой

степени

те сомножители,

которых

а,- — нечетны. Если

Р ; = 2 ,

то

если

р=

\ по модулю

8 или / > = 7

по модулю

Р /

[—1,

если

р =

3 по

модулю 8 или р=5

по модулю

множителям

вида

(р,7р), г-де р . < р , применяется

формула


( ^ ) = < - " 2		' ( £ ) - < - • > •		1	Ш -
где г — остаток от	деления		р на р.. Таким	образом, этот		процесс
сводит вычисление	символа		Лежандра (а/р)	к вычислению		других

символов Лежандра, в которых а заменяется меньшими числами.

Продолжая этот процесс, мы дойдем до символов вида (l/р) и			(2/р).
В частности, для p i = l l		получаем следующие значения	симво
лов Лежандра:
(1/11) = 1;
( 2 / 1 1 ) — 1 ;
(3/11) = (—1>5 1 (11/3) = ( - 1 ) • (2/3) = ( - 1 ) ( - 1 ) = 1;
(4/11) = (2V11) =	(2/1 l)z =	i ;
(5/11) = ( - i f 2	(11/5) = (1/5) = 1;

(6/11) = (2/11) (3/11) = — 1 ;

(7/11) = (-1)5 '3 (11/7) = ( - 1 ) (4/7) = ( - 1 ) ( 2 / 7 ) 2 = - 1 ;

(8/11) =	(2»/Н) = (2/11)3= (2/11) = _ 1 ;
(9/11) =		(3/11)2 =1;
(10/11) =		(2/11) ( 5 / 1 1 ) = - 1 .

124

Заметим, что количество квадратичных вычетов равно количе ству квадратичных невычетов.

Используя полученные значения символов Дежандра, а также учитывая, что при j<i

V 11

получаем значения элементов матрицы Ai2. Несмотря на кажущуюся сложность, матрица строится довольно просто: сначала выписывают ся все граничные элементы, а затем производится сдвиг вправо на 1 разряд первой строки, затем второй и т. д.:

1		1	1 —1
-1		1	1	1
1 —1			1	1
—1			—1	1
			1 —1
1 —1			—1	1	(4-23)
А ] 2		1 —1 —1			(4-23)
-1		1 —1 —1
-1	—1		1
-1	—1 —1

	-1 —1 —1
	1 —1 —1 —
1	1	1	1
Теорема 4-3. Если существует А„-матрица			( « i ^ 2 ) , то для лю

бого р, являющегося степенью нечетного простого числа, существует

An-матрица		порядка	« = r t i ( p + l ) .
	Согласно	теореме	4-3, можно построить матрицы порядка
28=2(13+1),		36=2(17+1), 40=2(19+1) и т. д. Построение искомой
Ал -матрицы порядка			гс=Я](р+1)	состоит	в подстановке вместо каж
дого	недиагонального		элемента	матрицы	(4-22)	порядка р + 1 матри
цы	А П ] умноженной		на этот элемент, а вместо каждого диагональ
ного	элемента — матрицы, полученной из				(—1)	А Я [ изменением зна

ков элементов всех нечетных по номеру строк, и перестановке со следующими за ними строками.

Если в теореме 4-2 ограничиться случаем, когда р является нечетным простым, то три приведенные теоремы и способы построе ния Ап-матриц позволяют построить искомые матрицы для правиль

ных	чисел	k^.\Z.		В табл.	4-12 показано, какие из приведенных тео
рем	следует		использовать		для построения Ап - матриц	при	k^\2.
В работе		[Л.	38]	можно	найти таблицу правильных	чисел	й ^ 2 5 0 ,

а также другие известные теоремы о существовании Ап - матриц и способы их построения.

125

																			Т а б л и ц а					4-12
									Какую															Какую
	Представление								теорему						Представление								теорему
k			л=<1&						с л е д у е т				k				n=4k						следует
								использо															использо
									вать															вать
1	4=2=								4-1				7	28=2(13+1)										4-3
2	8=2»								4-1				8	32=2 6										4-1
3	12=11 + 1								4-2				9	36=2(17+1)										4-3
4	16=2*								4-1				10	40=2(19+1)										4-3
5	20=19+1								4-2				11	44=43+1										4-2
6	24=2(11 + 1)								4-3				12	48=4(11 + 1)										4-3
Построим				матрицу				(4-21),				соответствующую						коду			с	параметра-
ми: я = 2 0 ,		d=12, m=6 .						Из		(4-23)			следует, что
0	1 0		1 1 1 0				0	0	1 0		1			1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
0 0		1 0		1 1 1 0				0 0		1 1				1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0
1 0		0	1 0		1 1 1			0 0 0 1						0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0
0	1 0		0	1 0			1 1	1 0		0 1				1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0
0 0		1 0		0	1 0		1	1 1 0			1			1	1 0 1				1 0 1 0 0 0 1 0
А, , = 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1														1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0
1 0		0 0		1 0		0 1		0	1 1 1					0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0
1 1 0			0 0		1 0		0	1 0		1 1				0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0
1 1 1 0				0 0			1 0	0	1 0		1			0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1														1 0 0 0 1 I 1 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0 0								1 0 0 '1						0 I 0 0 0 I 1 1 0 I 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1								1 1 1 1						0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
		I 0 I о о о 1 1 1 0 1													1 0 1 0 0 0 1 1 1 0
		1	1 0		1 0		0	0	1 1 1 0						0	1 1 0			1 0		0 0		1 I
		0	1 1 0				1 0	0 0		1 1 1			А"		1 0		1 1 0			1 0 0 0 1
		1 0 1 1 0 1						0 0 0 1 1					А"		1 1 0 1 1 0 1 0 0 0
		1 0 1 1 0 1						0 0 0 1 1					Л 12		1 1 0 1 1 0 1 0 0 0
		1 1 0			1 1 0			1 0		0 0 1					0 0 0			1 1 1			0	1 1 0
\i	1	1 1 1 0					1 1	0	1 0		0 0				0	1 0		0 0		1 1 1 0				1
\i	1	0	1 1 1 0				1	1 0		1 0		0			0	1 0		0 0		1 1 1 0				1
Л 1 2		0	1 1 1 0				1	1 0		1 0		0
		0 0		1 1 1 0				1 1 0			1 0
		0 0 0			1		1 1	0	1 1 0			1
		1 0 0 0					1 1	1 0		1 1 0
		0	1 0 0 0 1					1 1 0			1 1
		0	0 0 0 0 0					0 0 0 0 0

126

Таким образом
	1 0		1 0		0	0	1	1 1 0			1 0		1	0	0	0	1	1	1	0
	0	1 1 0			1 0		0 0		1 1 0			1 1		0	1 0		0	0	1 1
	1 0		1 1 0			1 0 0			0	1 1 0			1	1	0	1 0		0	0 1
А =	2 А " 1 2 =			1 1 0			1	0	0	0	1	1 0		1 1 0			1 0		0	0
	1 1 0
	0	0	0	1	1	1 0		1	1 0		0	0	0	1 1 1 0				1 1 0
	0	1 0		0	0	1 1		1 0		1 0		1 0 0			0	1 1 1 0				1
				Г л а в а					п я т а я
КОДЫ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ И ИСПРАВЛЕНИЯ
	АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОШИБОК
	5-1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ AN-											И / Ш + В - К О Д Ы
В рассматриваемом классе кодов кодовыми словами
являются числа		AN		или			AN + B,					где		N — число,						которое
должно быть закодировано, а Л												и В — константы. При
этом,	если ANi	и AN2			являются							кодовыми						словами, то
	ANi±AN2=A(Ni±Nz),											ANi-AN2=AzNtN2,

ANi/AN2=NilN2.

Таким образом, принятая форма кодовых слов нару шается при операциях умножения и деления.

Константа В вводится для получения корректирую щего кода, обеспечивающего простой переход от пря мого кода к обратному при записи отрицательных чисел. Пусть используется /n-ичная система счисления и для

представления		закодированных	чисел	используется
п значащих разрядов (без учета			знакового		разряда).
Число N,	обратное числу -N, можно найти из				известного
равенства		_
		N=NMai<c—N,
где Ммакс	= тх—1	— максимальное	значение	кодируемых

чисел, которое не должно превышать значения, опреде ляемого из условий существования корректирующего ко да (z<n).

Константу В находим из условия, что кодовое пред ставление числа N должно получаться дополнением каждой цифры кодового слова, соответствующего числу

127

N, до m—1. Это условие можно записать следующим образом:

(AN+B) + (AN + B) =тп—\

или

AN+2B+A (-Ямакс—N) = тп— 1.

Из последнего равенства получаем выражение для вычисления константы В:

B=(mn—\—ANMai<c)/2.

В частности, если используется двоичная система ( т = 2), то

В = ( 2 » - 1 - Л # „ а к с ) / 2 .

Следующие две теоремы определяют условия суще ствования арифметических кодов для обнаружения и исправления одиночных ошибок.

Теорема 5-1. Нечетное число Аф\ порождает ЛЛ^-код произвольной длины п двоичных разрядов с обнаруже нием любой одиночной ошибки вида ±'2', г д е О ^ г ^ п — 1 .

Доказательство. Пусть при передаче, хранении или обработке информации в кодовом слове возникла оди ночная ошибка, т. е. получено слово AN±2'. Тогда

AuV±2i =Hi±'2i по модулю А, так как по определению ЛАЛкода

,4JV=0. по модулю А.

Но так как А — нечетное число, то при любом i

± 2 * ^ 0 по модулю А.

Другими словами, не существует одиночной ошибки, которая не будет обнаружена этим кодом. Тем самым теорема доказана.

Из теоремы 5-1 следует, что наименьшая величина А, гарантирующая обнаружение одиночной ошибки, равна 3. В табл. 5-1 приведены параметры некоторых арифмети ческих кодов вида 3N + B, позволяющих обнаружить одиночные ошибки. Эти коды имеют минимальное рас

стояние	(арифметическое)		d=2.	Количество избыточных
разрядов	г	определяется	следующим		образом:
		г =	я — П о ,
где По — минимальное целое				число,	удовлетворяющее
неравенству		2na^NMaKpj

128

		Т а б л и ц а		5-1
Диапазон кодируе	Код 3N + 3 (.1=2)	Длина кодово	Количество
мых чисел N	Код 3N + 3 (.1=2)	го слова п	избыточных
мых чисел N		го слова п	разрядов	г\
			разрядов	г\
0 - 7	3N+5	5	2
0—15	ЗМ-г-Э	6	2
0—31	ЗЛЧ-17	7	2
0—63	3W+33	8	2
0—127	3N+65	9	2
0—255	ЗЛЧ-129	10	2
0—511	ЗЛГ+257	11	2
0—1023	3/V+513	12	2
0—262143	З А / + 1 3 1 0 7 8	20	2

По модулю А существует А классов вычетов, в ка

честве	представителей которых обычно выбирают числа
0, 1,	(А—1). Функцией Эйлера ср(Л) называется

число классов по модулю А, взаимно простых с этим

модулем,	или, другими				словами,			число	натуральных
чисел, не	превосходящих А					и	взаимно		простых		с А.
В частности,		если		А — простое			число, то			у(А)=А—1.
Порядком	класса		вычетов а называют наименьшее число
ефО, которое удовлетворяет						сравнению
			а е = 1		по модулю А.
Если порядок			е —ср(Л), то класс вычетов а называют
первообразным			элементом			(первообразным				корнем).
Если известен первообразный элемент а, то										через его
степени а°=1 , а1 , а2 ,					а А - 2	можно		вычислить все не
нулевые классы вычетов по модулю А.
Теорема	5-2. Нечетное число Аф\							порождает			ариф
метический АЛГ-код, позволяющий								исправить			любую
одиночную	ошибку			вида	± 2 \ при условии, что все ко
дируемые числа N не превышают							величину
	Д	+	— 1 , если			2	= ч - 1 по модулю А;
^ о =										(5-1)
—2			1> если при любом л; 2Ж:^)— 1 по модулю А,
где е — порядок			класса		вычетов 2 по модулю					А.
Доказательство.				Так как А—нечетное					число, то
			±2{Ф0		по модулю			А,

9—236

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ