книги из ГПНТБ / Хетагуров, Я. А. Повышение надежности цифровых устройств методами избыточного кодирования

строке. Следовательно, итеративный код содержит по крайней мере WiW2 единиц, т. е. d=d^d2.

Рассмотрим двумерный итеративный код, получае­ мый с помощью простейшего кода с проверкой на чет­

Правые части этих выражений тождественно равны. Если же используется контроль по нечетности, то

110

Отсюда

h

ляет обнаружить любую нечетную ошибку, а также зна­ чительную долю четных ошибок (Л. 33].

Структура ошибок кратности 4, не обнаруживаемых кодом, по­ казана на рис. 4-8,а. Количество четырехкратных ошибок, имеющих

показанную структуру, равно ») 00- Отсюда получаем долю иеобиаруживаемых ошибок кратности 4

Например, если «i = 10, л 2 = Ю 0 , то / ч « 6 - Ю - 6 .

Структура иеобиаруживаемых ошибок кратности 6 показана на рис. 4-8,6. Эти ошибки расположены в трех столбцах по две в каж­ дом. Количество различных столбцов первого типа равно ^ 9 ^ - ^то -

рои столбец может быть выбран 2(Л(—2) способами. Третий столбец однозначно определяется первыми двумя. Все три столбца могут

быть выбраны ( з I способами. Таким образом, доля необнаруживае-

111

мых ошибок кратности 6

В работе [Л. 34] получена формула для верхней гра­ ницы вероятности пропуска ошибки в х-мерном итера­ тивном коде с контролем по четности в каждом «на­ правлении»:

( ^ 2 ^ Для и = _ 2 ;

(4-12)

где tii обозначает длину кода в i - u направлении. Эти формулы справедливы для двоичного симметричного ка­ нала (ДСК) с вероятностью возникновения ошибки в одном разряде <7<0,5.

112

п = 3х , k = 2' , d = 2х .

В заключение заметим, что изложенный подход к построению итеративных кодов применим и для сверточных кодов.

4-3. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ КОДЫ ДЛ Я АСИММЕТРИЧНЫХ КАНАЛОВ

В настоящее время можно выделить два основных направления синтеза корректирующих кодов для обна­ ружения и исправления асимметричных ошибок: 1) ко­ ды с постоянным весом; 2) коды с суммированием.

Исторически раньше были предложены коды с по­ стоянным весом, которые характеризуются тем, что количество единичных символов для любого кодового слова длины п разрядов постоянно и равно т. Такие коды принято обозначать «от из п», количество кодовых

слов не превышает величины ^ ^ j • Например, код «4 из 8» используется в некоторых системах и позволяет закодировать ^4 ^ =70 различных слов (букв). В неко-

торых ЦВМ, оперирующих с .цифрами в двоичио-деся- тичном коде, для помехоустойчивого кодирования деся­ тичных цифр использовался, в частности, код «2 из 5». В этом случае десятичные цифры могут быть закодиро­ ваны, как показано в табл. 4-7. Использование такого кода возможно в трактах хранения и передачи инфор­ мации, но выполнение арифметических операций в этом коде сопряжено с определенными трудностями. Для выполнения арифметических операций более удобным является код «2 из 7», два варианта построения кото­ рого представлены в табл. 4-8.

Коды с постоянным весом позволяют обнаружить любую одиночную ошибку. Их возможность обнаружи­

рии канала. Так, в полностью асимметричном канале обнаруживается ошибка произвольной кратности, но в ДСК возможно, например, возникновение необнаруживаемых ошибок кратности 2 (если в одном из разря­ дов произошел переход 0—И, а в другом 1—ИЗ).

Оценить сверху вероятность пропуска двойной ошиб­ ки можно следующим образом. Пусть передача инфор­ мации производится по ДСК без памяти и появление любого кодового слова равновероятно. Из последнего допущения следует равновероятность появления симво-

114

лов 1 и 0 на любой позиции слова и искомая вероят­ ность

Количество разрядов я, которое необходимо для представления двоичных /г-разрядных слов с помощью

Для исправления одиночных ошибок в кодовых сло­ вах с постоянным весом предложен следующий способ

зом относительно одной из (лг+1) переменных, если т остальных известны. Действительно, если одиночная ошибка возникла в той части слова, вес которой дол­ жен оставаться постоянным, то номер искаженного раз­ ряда определяется из сравнения по модулю п

'm—1

R — ^ <Xj-, если вес слова уменьшился на единицу;

^' т-Ы

J] o.i — R, если вес слова увеличился на единицу.

Если ошибка произошла в контрольных разрядах, то вес соответствующей части слова равен т и значение ошибки вычисляется из сравнения

т

AR = R* — щ по модулю п,

»=1

где R* — искаженный контрольный код.

икодовое слово равно 10110001100. Пусть получено слово

10110000100, тогда номер ошибочного разряда равен:

/ = 4 — 5 = — 1 = 7 по модулю 8,

и поскольку вес слова уменьшился на единицу, то в седьмом раз­ ряде необходимо записать 1.

Рассматриваемые ниже корректирующие коды с сум­ мированием относятся к числу разделимых и конструи­ руются следующим образом [Л. 36, 37].

Пусть Vh — множество ^-разрядных двоичных инфор­ мационных слов. Разобьем Vh на непересекающиеся подмножества W0, Wi, . . . , Wft такие, что элементы каж­

116

r=log2 (/+l) =log2 /V.

рования контрольных разрядов, исключающий возмож­ ность пропуска ошибки. Например, для получения кор­ ректирующего кода, обнаруживающего любую асиммет­ ричную ошибку" кратности 2 или менее, требуется два дополнительных разряда, в которые запишем остаток от деления количества единиц на информационных по­ зициях на N=3. Тогда следующее слово является кодо­ вым: 00...00101. Легко видеть, что возникновение двой­ ной асимметричной ошибки (типа 1—Я)) переводит исходное слово в слово 00 ... 00000, которое также явля­ ется кодовым. Чтобы исключить это нежелательное яв­ ление, кодирование контрольного числа должно выпол­ няться с соблюдением условия: если возникающие асим­

да используется обратный код остатка от деления ко­

контрольного кода используется остаток от деления количества нулей на информационных позициях на мо­ дуль N.

Например, пусть заданы информационные слова 11011101, 00100100 и требуется их закодировать таким образом, чтобы обнару­ живалась любая асимметричная ошибка кратности 5 или менее.

117

Таким образом, корректирующие коды с суммирова­ нием чрезвычайно эффективны для полностью асим­

мированием обнаружит любую одиночную ошибку и значительную часть многократных ошибок.

Оценить сверху вероятность пропуска двойной ошиб­ ки можно с помощью выражения (4-14), если не учиты­ вать вероятность искажения контрольных разрядов, так как обычно r<^k.

Приписывание информационным разрядам весов, от­ личных от единицы, позволяет построить коды, которые будут обнаруживать все ошибки четной кратности в лю­ бом канале. Однако сложность построения таких кодов быстро возрастает с увеличением кратности обнаружи­ ваемых ошибок.

Процедура «взвешивания» информационных разря­ дов позволяет также синтезировать коды для обнаруже­ ния любой вспышки ошибок длины не более b в произ­ вольном канале и ошибки любой кратности в полностью

контрольного кода используется записанный в инверс­ ном порядке обратный код суммы весов, соответствую­ щих информационным позициям, на которых располо­ жены единицы. Требуемое количество дополнительных (контрольных) разрядов

r=\og2[k(2b-l)!b],

где k — количество информационных разрядов.

Например, для обнаружения любой вспышки ошибок длины 3 или менее следует использовать веса 1, 2, 4. Пусть ft = 6 разрядов и

118

fpedyeTCH закодировать число ilOlOl. Кодовое представление этого числа имеет вид:

4-4. КОДЫ, ПОЛУЧАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ АДАМАРА 1

Пусть Vn — множество всех /г-разрядных двоичных последова­ тельностей. Тогда рассматриваемые ниже корректирующие коды, получаемые с помощью матриц Адамара, можно определить как не­

ной матрицы Н оказывается неприемлемым. Единственным способом описания кода является задание кодовой книги ||^С||, содержащей т

1 В основу данного параграфа положена работа В. И. Левенштейна [Л. 38].

119